2026年因数倍数测试题和答案

2026年因数倍数测试题和答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.下列各数中，既是48的因数又是72的因数且为最大者的是A.12B.24C.36D.482.若a=2³×3²×5，则a的正因数个数为A.12B.18C.24D.303.已知两数的最小公倍数为180，最大公因数为15，若其中一数是45，则另一数为A.30B.60C.75D.904.在1～100中，能被6整除但不能被9整除的整数共有A.11B.12C.13D.145.若m是n的倍数，则下列说法一定正确的是A.m>nB.n是m的因数C.m与n互质D.m与n的最大公因数是n6.下列各组数中，公因数只有1的是A.26与39B.34与51C.35与64D.42与567.若一个数的最大因数与最小倍数的和为62，则该数是A.30B.31C.32D.338.已知a=2×3×7，b=2²×3×5，则[a,b]（最小公倍数）为A.210B.420C.630D.8409.若x是y的因数，y是z的因数，则下列关系正确的是A.x一定是z的因数B.z一定是x的因数C.x与z互质D.y是x与z的最大公因数10.在1～200中，能被4或5整除的整数个数为A.80B.90C.100D.110二、填空题，(总共10题，每题2分)。11.60的所有正因数中，质因数的和为________。12.若a=2⁴×3×5²，则a的正因数个数为________。13.已知两数的最大公因数为8，最小公倍数为192，则这两数之积为________。14.在1～150中，能被3和5同时整除的数有________个。15.若一个数的最大因数与最小倍数的差为0，则该数为________。16.若m与n互质，且m=35，n=18，则[m,n]=________。17.若a是b的倍数，b是c的倍数，c=4，b=12，则a的最小可能值为________。18.若一个数的平方等于196，则该数的所有正因数之和为________。19.若x与y的最大公因数为1，且x=13，y=20，则x与y的最小公倍数为________。20.在1～100中，能被2、3、5同时整除的数有________个。三、判断题，(总共10题，每题2分)。21.任何正整数的最小倍数都是它本身。22.若a是b的因数，则a一定小于b。23.两个不同的质数的最小公倍数就是它们的乘积。24.若两个数互质，则它们的最大公因数一定是1。25.1是任何正整数的因数。26.若a与b的最大公因数为1，则a与b一定都是质数。27.若一个数的个位是0，则它一定是2和5的倍数。28.若a是b的倍数，则a与b的最小公倍数是a。29.两个偶数的最小公倍数一定是偶数。30.若a与b的最大公因数为d，则a/d与b/d互质。四、简答题，(总共4题，每题5分)。31.试说明如何用短除法求两个数的最小公倍数，并以求84与90的最小公倍数为例写出步骤。32.简述“若a是b的倍数，则a与b的最大公因数是b”的理由，并举一例验证。33.解释为什么两个连续正整数一定互质，并给出证明思路。34.说明如何利用质因数分解法求最大公因数，并以求180与252的最大公因数为例写出过程。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。35.讨论：当两个数都扩大相同的倍数后，它们的最大公因数与最小公倍数分别如何变化？请给出结论并举例验证。36.讨论：若三个数两两互质，则它们的最小公倍数与乘积之间有何关系？请举例说明。37.讨论：在1～n范围内，能被a或b整除的整数个数公式是什么？请推导并验证n=120，a=6，b=8的情形。38.讨论：为什么“最大因数+最小倍数=2×该数”对所有正整数成立？请给出代数解释并举例。答案与解析一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.B8.B9.A10.C二、填空题11.1012.3013.153614.1015.任意正整数16.63017.1218.2419.26020.3三、判断题21.√22.×23.√24.√25.√26.×27.√28.√29.√30.√四、简答题31.短除法步骤：1.用两数公有质因数连续去除，直到商互质；2.将所有除数与最后两商相乘即得最小公倍数。84与90：先同除2得42、45；再同除3得14、15；14与15互质，故最小公倍数=2×3×14×15=1260。32.因a是b的倍数，可设a=kb，k为正整数。b的因数含b本身，且b是a与b的公因数中最大者，故最大公因数为b。例：a=36，b=9，36÷9=4，最大公因数确为9。33.设两连续整数为n与n+1，若它们有公因数d>1，则d整除n与n+1的差1，矛盾，故d=1。思路：利用公因数整除差的性质。34.质因数分解法：1.分别分解两数为质因数幂形式；2.对公共质因数取最小指数相乘。180=2²×3²×5，252=2²×3²×7，公共部分2²×3²=36，故最大公因数为36。五、讨论题35.设原两数为a、b，最大公因数d，最小公倍数m；同乘k后得ka、kb，新最大公因数kd，新最小公倍数km。例：a=12，b=18，d=6，m=36；乘3后36、54，新最大公因数18=3×6，新最小公倍数108=3×36。36.若a、b、c两两互质，则[a,b,c]=a×b×c。例：a=4，b=9，c=5，最小公倍数180=4×9×5。37.公式：n/a+n/b–n/[a,b]