福建省三明市2026届高三下学期毕业班质量检测数学试卷（含答案）

福建三明市2026届高三毕业班质量检测数学试题一、单选题1．若，则（

）A． B．i C． D．12．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知，向量在向量上的投影向量为，则的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．94．下列区间是函数的一个单调递增区间的是（

）A． B． C． D．5．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为（

）A． B． C．1 D．6．已知函数的定义域为，，，且当时，，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥内切球表面上的一点，则点M到直线CD距离的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．若样本数据的平均数为2，则数据的平均数为4B．根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05C．在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D．若，，，则10．记为数列的前n项和，已知，则（

）A．当是等比数列时，且B．当时，C．当时，数列的前n项和为D．当时，数列中，第5项的值最大11．如图，在棱长为2的正方体中，P（与点不重合）是正方体侧面内的动点，下列说法正确的是（

）A．平面平面B．若动点P到直线AB的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分C．当时，过点P作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为D．线段AD绕旋转一周的过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为三、填空题12．的展开式中的系数为________．（结果用数字表示）13．设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________.14．定义：平面内，图形上的所有点在直线l上的射影所组成的图形称为在l上的射影．若边长为m的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之和为8，则m的取值范围为________．四、解答题15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球和3个白球，从中随机摸出2个球．(1)求摸到的两个球颜色相同的概率；(2)用表示摸出的球为白球的个数，求的分布列及均值．16．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．(1)求A；(2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围．17．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，底面ABCD为等腰梯形，且，，，且四面体AFDC的体积为．(1)求t的值；(2)若E为AD的中点，过点E，F的平面与AC平行，交PC于点G，求平面ABG与平面ABCD夹角的余弦值．18．已知函数．(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若，求证：；(3)若，，关于x的不等式恒成立，求的最大值．19．在平面直角坐标系xOy中，M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限，若四边形OAMB的面积为2．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)直线与曲线C交于点，（在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与曲线C交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，，．证明：①共线；②为定值，，．参考答案1．C2．D3．D4．B5．D6．B7．A8．B9．BD10．ACD11．ABD12．24013．/14．15．（1）设事件“摸到的两个球颜色相同”，事件“摸到的两个球为红球”，事件“摸到的两个球为白球”，则．因为，互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得．（2）的可能取值为，则，所以的分布列为：012的均值为.16．（1）解法一：因为，，由余弦定理，得，整理得，则，因为，所以；解法二：因为，，所以，由正弦定理，得，即，整理，得，因为，所以，即，因为，所以；（2）解法一：因为，所以，，即，，故，．所以H为的垂心．连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，．在四边形ADHE中，由，得，则，在中，设，，则，由正弦定理，得，所以，，则，因为，所以，所以，所以．即面积的取值范围为解法二：因为，所以，，即，，故，．所以H为的垂心．连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，．在四边形ADHE中，由，得，则，在中，由余弦定理，得所以，得，，当且仅当时，等号成立，所以，又，故面积的取值范围为.17．（1）在平面PAD中，过点F作AD的垂线，垂足为Q，因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD在梯形ABCD中，过点C作，垂足为H，则，故，所以，解得在中，过点P作，垂足为O，则，因为，，所以．所以因为，所以，所以；（2）解法一：由（1）知O点即为E点，F为线段AP上靠近A的一个三等分点，在线段PC上取一点G，使因为，所以，又因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG取BC的中点M，连接EM，则，由（1）知平面ABCD，所以，，以E为原点，EM，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，所以，因为．设平面ABG的法向量为，则．所以．所以．取，则，．所以是平面ABG的一个法向量．因为平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为．设平面ABG与平面ABCD的夹角为，则．即平面ABG与平面ABCD夹角的余弦值为．解法二：由（1）知O点即为E点，F为线段AP上靠近A的一个三等分点，在线段PC上取一点G，使．因为，所以，又因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG连接CE，则，又，所以四边形ABCE为菱形．在线段CE上取点H，使得，连接GH，则，由（1）知平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以．在平面ABCD内过点H作，交AB的延长线于点T，则HT为菱形ABCE，AB边上的高．连接GT，则平面GHT，所以，所以为二面角的一个平面角，在菱形ABCE中，，，所以AB边上的高为，即，又，所以，所以．所以平面ABG与平面ABCD夹角的余弦值为．18．（1）法1：的定义域为，令，即，即．令，则（ⅰ）当时，，则在上单调递增，至多有一个零点，不合题意，舍去；（ⅱ）当时，当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减．所以在处取得最大值，最大值为，①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，故没有零点；③当时，，即，又时，；时，．所以在上有一个零点，在上有一个零点，故在上有两个零点；综上，实数a的取值范围为．法2：的定义域为，令，即，即，即，设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减，所以．又，当时，；时，．画出的大致图象如图所示．函数有两个零点，等价于函数的图象与直线有两个交点．由图象可得，实数a的取值范围为.（2）法1：因为，所以，故要证，只需证，即证，令，则，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，故，即，因此当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为．所以，命题得证.法2：因为，所以，故要证，只需证，即证，即证，令，则．令，则；令，则．所以在上单调递减，在上单调递增，故，令，从而只需证．令，则，所以在上单调递增，故，所以，从而成立．（3）时，恒成立，即恒成立，即恒成立．设函数，则恒成立，（ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减．且当时，，与题意不符；（ⅱ）当时，，当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减．所以，依题意，，即，所以，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得最大值，最大值为．故所以，当，时等号成立．综上所述，的最大值为.19．（1）设，由与垂直，得四边形OAMB是矩形，故，即，整理得，因为A，B两点分别在第一、四象限，所以动点M的轨