黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．设，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，满足，，，则（

）A． B．1 C．2 D．33．在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形4．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（

）A．相交B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线5．已知单位向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（

）A． B．C． D．7．直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（

）A．2 B． C． D．8．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（

）A． B． C． D．二、多选题9．中，，，则（

）A． B．的角平分线交AB于D，则C． D．在上的投影向量是10．已知复数（i为虚数单位），则（

）A．的共轭复数为 B．的虚部为C． D．11．如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（

）A．平面 B．与所成角为45°C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为三、填空题12．已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________．13．将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____.14．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．四、解答题15．已知向量，.(1)求；(2)若与垂直，求实数的值.16．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.(1)求角C及边c的值；(2)求的最大值.17．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.(1)求圆柱的底面半径；(2)求三棱柱的体积与表面积.18．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

(1)求证：D，B，F，E四点共面；(2)求证：平面；(3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.(1)若，求的值；(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.参考答案题号12345678910答案BBBDBDDCACDBD题号11答案ABD12．13．14．/15．（1）由，，可得：，所以.（2），，因为与垂直，所以，解得.16．（1）由，根据余弦定理，得，因为，则.由，得，根据正弦定理，得，则.（2）由（1）知，，则，即，当且仅当时等号成立，则的最大值为4.17．（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.由题意.即圆柱的底面半径为3.（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，由正弦定理。，解得，则，又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以；则三棱柱的表面积为.18．（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，

又在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以D，B，F，E四点共面；（2）连接、分别交于点H、O，连接，在正方体中，且，所以，则，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（3）存在，且，理由如下：因为，所以，，又，，平面，平面，平面，延长交于，延长交于，连接，

为中点，易得，，分别为的中点，易得，，，，又，即，四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以时，平面平面．19．1）在中，由正弦定理，得，又是锐角三角形，所以.而分别是以为边的等边三角形的中心，所以，从而.（2）由（1）知，在中，设，，由余弦定理得，即，故，故，同理，所以.而在中由余弦定理