吉林省延边朝鲜族自治州（汉族）高中联谊校2025-2026学年高二上学期期末考试数学

吉林省延边朝鲜族自治州（汉族）高中联谊校高二上学期1月期末质量检测数学试题（A卷）一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B．C．1 D．不存在2．已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．3．如果，，那么直线不通过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（

）A． B． C．9 D．125．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（

）A． B．C． D．6．若直线与圆相离，则点（

）A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定7．已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（

）A．15 B．12 C．9 D．10二、多选题9．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（

）A．曲线不可能是圆；B．若，则曲线为椭圆；C．若曲线为双曲线，则或；D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则．10．下列给出的命题为真命题的是（

）A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底B．若四点共面，为该平面外一点，且，则C．若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内D．若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为211．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（

）A．所在的圆截直线所得弦的长为B．与的公切线的方程为C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为D．动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为三、填空题12．若直线与平行，则与的距离为.13．已知与相交于点，则14．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率.四、解答题15．已知抛物线，并且经过点.(1)求抛物线方程；(2)若直线与抛物线交于两点，求.16．已知的三个顶点分别为，求：(1)边所在直线的方程；(2)边上的垂直平分线所在直线的方程；(3)的面积.17．已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.(1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求切线的方程.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，，（i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．已知椭圆的方程为，其过点且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；(3)点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值．1．B根据倾斜角的概念即可求解.【详解】直线垂直于轴，故倾斜角为．故选：B2．C通过2a=b，直接求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长2a、虚轴长：2b，∴2a=b，即a=b．∴渐近线方程为：y＝±x=．故选C．3．C结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解．【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限．故选：C．4．D结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解.【详解】由题意可知，如图：

，即的周长为12，故选：D5．B根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】依题意可得.故选：B6．B根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解.【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部.故选：B.7．B根据抛物线的定义和性质，结合图象求出的最小值.【详解】抛物线，即，其焦点为，准线方程为，易知在抛物线的内部，点即为焦点，如图所示，过点作于点，则，即，显然当三点共线时最小，最小值为，即的最小值为4，故选：B.8．D利用向量的基本定理将用进行表示，结合已知，进行整理得到，根据空间向量基本定理可知在平面内存在一点，从而得到，即可得到，利用三棱锥的体积公式求出．【详解】

因为，则，即，即，所以，因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点，使得成立，即，所以，即，则，又三棱锥的体积为15，则．故选：D．9．CD根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断.【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误；对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误；对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确；对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确；故选：CD.10．ABD利用不共面来确定基底可判断A，利用四点共面的性质可判断B，利用向量法来确定线面关系可判断C，利用投影向量公式可判断D．【详解】因为为空间的一组基底，所以不共面，而在确定的平面内，所以也与不共面，即也是空间的一组基底，故A正确；若四点共面，为该平面外一点，且，则，故B正确；因为，所以，则直线在平面内或，故C错误；由空间向量在方向上的投影向量的模长，故D正确；故选：ABD11．BCD由题知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可．【详解】，，所在圆的方程分别为，，，对于A，所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，则所求弦长为，故A不正确；对于B，设与的公切线直线斜率存在，则设公切线方程为，则，所以，，所以与的公切线的方程为，即，故B正确；对于C，由及，两式相减得，即公共弦所在直线方程为，故C正确；对于D，关于直线的对称点为，则由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为，故D正确．故选：BCD.12．/根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离.【详解】因为直线与平行，所以，解得，所以，又，所以与的距离.故答案为：13．首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长.【详解】两圆相减得直线的方程，圆心到直线的距离，所以.故答案为：14．设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率.【详解】设，由双曲线定义可得，即，所以，又，，在中，由余弦定理得，即，解得，故离心率.故答案为：15．(1)(2)16（1）将代入抛物线方程即可求解；（2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线方程为.（2）设，联立消去可得，.由一元二次方程根与系数的关系得，.方法一：.方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点，如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为.由抛物线的定义可知，.于是.由方法一可得，于是.16．(1)(2)(3)3（1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解；（2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解；（3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，则的方程为，即.（2）解：因为，可得，且的中点为，则边上的垂直平分线所在直线的斜率为，所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即．（3）解：由且的方程，可得点到的距离为，又由，可得，所以的面积为.17．(1)(2)或.（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果；（2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果.【详解】（1）圆的圆心为，由圆心在直线上可得，即圆心；易知圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得；所以圆的方程为；（2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为，显然到的距离等于3，符合题意；当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为，则圆心到的距离为，解得；此时切线方程为，即；综上可知，切线的方程为或.18．(1)证明见解析;(2)（i）；（ii）存在，.【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，为棱的中点，，（i），，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，平面的一个法向量为，，则二面角的正弦值为；（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，设，，则，，由（2）知平面的一个法向量为，，点到平面的距离是，，，.