第18章矩形菱形与正方形章末复习课件华东师大版数学八年级下册

章末复习知识结构四边形平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且有一个角是直角一个角是直角对角线相等一组邻边相等一个角是直角两组对边分别平行一组邻边相等对角线互相垂直三个角是直角四条边都相等四边形平行四边形矩形菱形正方形四边形及特殊四边形的关系：矩形的性质1.矩形的四个角都是直角．2.矩形的两条对角线相等．矩形的判定1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.ABDCO1.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB

的度数是(

)

A.45°B.55°C.65°D.75°D2.如图，点O为矩形ABCD的对角线的交点，点E在

BC上，点P为DE的中点.若AD＝18，AB

＝5，

OP＝3，则CP的长为_______.6.5菱形的性质1.菱形的四条边都相等．2.菱形的对角都相等．菱形的判定3.菱形的两条对角线互相垂直平分．1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边都相等的四边形是菱形.ABCDO1.如图，在菱形ABCD

中，∠ABC

＝80°，BA

＝BE，则∠AED

的度数为（）A.95°B.105°C.100°D.110°D

－123.如图，在□ABCD

中，AE

平分∠BAD

交BC

于点E，

点F

在AD

上，AF＝AB，连结BF

交AE

于点O，

连结EF．（1）求证:四边形ABEF

是菱形;（2）若BF＝8，AE＝6，求CD

的长．（1）证明:∵四边形ABCD

是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE．∵AE

平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴EB＝AB．∵AF＝AB，∴EB＝AF．又∵EB∥AF，∴四边形ABEF

是平行四边形．又∵EB＝AB，∴四边形ABEF是菱形．（2）解:∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AE＝6，

∴∠AOB

＝90°，∴CD＝AB＝5．

正方形的性质1.正方形的四个角都是直角．2.正方形的四条边都相等．正方形的判定3.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.4.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.1.有一组邻边相等的矩形是正方形2.有一个角为直角的菱形是正方形.ABCDO1.如图，正方形ABCD

的对角线BD

是菱形BEFD

的一边，菱形BEFD

的对角线BF

交CD

于点P

，则∠FPC

的度数是______.

112.5°2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，MD⊥AC

于

点D，ME⊥BC

于点E，连结CM

、DE.若不增加任

何字母与辅助线，使四边形MECD

是正方形，则还需

增加一个条件:____________________.CE

＝CD(答案不唯一)复习题A组1.在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.（1）如果∠ABO+∠ADO=90°，那么□ABCD

一定是_____形；（2）如果∠AOB=∠AOD，那么□ABCD一定是____形；（3）如果AB=BC，AC=BD，那么□ABCD

一定是______形.矩菱正方2.如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、AD的长分别为

15cm和25cm，∠BAD的平分线与边BC相交于点E.求BE和CE的长.解:在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，BC＝AD＝25

cm.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝15cm，∴CE＝BC－BE＝25－15＝10(cm).ABDCE3.已知正方形纸片ABCD

的一条对角线AC

的长为4cm，

求该正方形的边长和面积.（长度精确到0.1cm）解:设正方形的边长为xcm，则x2+x2

＝42，

∴S正方形＝x2＝8(cm2).即正方形的边长约为2.8

cm，面积为8

cm2

.4.已知菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比

为1∶2，求较短的对角线长.解:如图，在菱形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC.∴∠BAD

+∠B＝180°.又∵∠B

∶∠BAD＝1∶2，∴∠B＝60°，∠BAD＝120°.连结AC，则△ABC为等边三角形，

即菱形较短的对角线长为5cm.5.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=CD.求证：四边形ABCD是矩形.证明:如图，连结AC.在Rt△ABC和Rt△CDA中，∵AC＝CA，AB＝CD，∴Rt△ABC≌Rt△CDA，∴BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).ABDC6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，求OH的长.解:∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD

＝AD，AC⊥BD.∵菱形ABCD的周长为28，

∵H为边AD的中点，∴OH为Rt△AOD

斜边上的中线，

ACBDOH7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE、

AGFC都是正方形，求证：BG=EC.证明:∵四边形ABDE、AGFC

都是正方形，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠CAE＝90°－∠BAC，∠GAB＝90°－∠BAC，∴∠CAE＝∠GAB，∴△ABG≌△AEC，∴BG＝EC.ABEDGCF8.如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、

F分别是AB、CD的中点.求证：四边形DEBF是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵点E、F

分别是AB、CD的中点，

又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形.∵AB＝2AD，∴AD＝AE.又∵∠DAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AE.∴DE

＝BE，∴四边形DEBF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).ABCDFEB组9.如图，在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点F是

BC的中点，以BD为边作等边三角形BDE，连结点A、E，

求证：四边形AEBF是矩形.AEBCDFAEBCDF证明:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，∴AF和BD是等边三角形ABC的两条高，∠ABC＝60°，∴AF

＝BD，且AF⊥BC，BD平分∠ABC，∠CBD＝30°.又∵△BDE

是等边三角形，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∴BE＝AF，∠EBF＝∠DBF

+∠CBD＝60°+30°＝90°，∴EB⊥BC.又∵AF⊥BC，∴BE∥AF，∴四边形AEBF是平行四边形.又∵∠EBF＝90°，∴四边形AEBF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB

的中点，AE//CD，CE//AB，试判断四边形ADCE的形状，

并证明你的结论.ACBED解:四边形ADCE是菱形.证明如下:∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，

∴AD＝CD.∴四边形ADCE是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).11.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//CA，AE//BD.（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是怎样的四边形？请给出证明.EABCDO（1）证明:∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE

是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴四边形AODE是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).（2）解:四边形AODE是矩形.证明如下:∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形，∴AC

⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).EABCDO12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.（1）求证：四边形CFDE是矩形；（2）求证：四边形CFDE是菱形.ABCEFD证明:（1）∵DE

⊥BC，DF

⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°.又∵∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).ABCEFD（2）如图，过点D作DG

⊥AB于点G.由（1）知四边形CFDE是矩形，∴CF

＝DE，DF＝CE.∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理，DE＝DG，∴DE＝DF，∴CF＝DE＝DF＝CE，∴四边形CFDE是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).G13.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点，如果这两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样旋转，这两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，想一想，这是为什么？BADCA′B′C′O解:如图，设A′O、C′O

分别交AB、BC于点E、F.∵四边形ABCD

是正方形，∴OA＝OB，∠OAE

＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°.又∵∠A′OC′＝90°，∴∠AOE

+∠BOE＝∠BOF

+∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE

≌△BOF，∴S△AOE

＝S△BOF

.

∵正方形ABCD与正方形A′B′C′O的边长相等，∴S正方形ABCD＝S正方形A′B′C′O，

∴无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一.BADCA′B′C′O提示:根据矩形和菱形的判定定理画图.14.尽可能多地用各种方法分别作一个矩形和一个菱形.C组15.如图，在△ABC中，边BC上是否存在点P，过点P分别

作AB、AC的平行线，交AC和AB于点D、E，使四边形

ADPE为菱形？请说明理由.ABC解:存在.如图，作∠BAC的平分线交BC于点P，过点P作PD∥AB，PE∥AC，分别交AC、AB

于点D、E，则四边形ADPE为菱形.理由:∵PD∥AB，PE∥AC，∴四边形ADPE为平行四边形，∠1＝∠2.∵AP平分∠BAC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴PD＝AD，∴四边形ADPE为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).ABCPDE12316.如图，根据图形解答下列问题：（1）以△ABC的三边为边分别作等边三角形ACD、等边三角形ABE和等边三角形BCF，判断四边形ADFE的形状.解:（1）四边形ADFE为平行四边形.理由如下:∵△BCF和△ABE都是等边三角形，∴BC＝BF，BA＝BE，∠CBF

＝∠ABE＝60°.∴∠ABC＝60°－∠FBA，∠EBF＝60°－∠FBA，∴∠ABC＝∠EBF，∴△ABC≌△EBF，∴AC＝EF.同理得△ABC≌△DFC，∴AB＝DF.∵AC＝AD，AB＝AE，∴EF＝AD，DF＝AE.∴四边形ADFE是平行四边形.ABCDEF（2）不一定存在□ADFE.理由如下:当∠BAC

≠60°时，由（1）知，四边形ADFE

是平行四边形，此时存在□ADFE.ABCDEF（2）在小题（1）中，是否一定存在□ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不一定存在，请说明理由·（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（5）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？（3）当∠BAC＝150°时，四边形ADFE

是矩形.（4）当AB＝AC

≠BC时，四边形ADFE是菱形.（5）当∠BAC＝150°，AB＝AC时，四边形ADFE是正方形.ABCDEF17.如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，连结DE，

以DE为边作正方形EDHI.试用该图形证明勾股定理：

CD²+CE²=DE².（提示：运用面积割补法