人教A版高中数学必修第二册 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教学教学课件

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8.3.2

球的体积和表面积

立体几何初步立体图形的直观图简单几何体的表面积和体积本章框架基本立体图形柱体锥体台体球体棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台柱体锥体台体球复习回顾柱体、锥体、台体的表面积展开图数学思想：立体图形平面化各面面积之和柱体、锥体、台体的体积□柱体

V

=Sh复习回顾同学们，你能列举下生活中的球体吗?2021年6月23日，国家重大科技基础设施

“地球模拟装置”——寰，

在北京怀柔科学城东区落成启用，

这是我国首个研制成功的地球系统

数值模拟大科学装置.把地球搬进实验室?在地球模拟实验室的科普展厅，悬挂着直径3米、清晰度达到5K的LED

球形屏，装置模拟实验的部分结果

会通过球体进行可视化直观展示.展厅中这个直径3米LED

球形屏上风起云涌，颇为壮观.它究竟有多大，

占据多大空间?表面积多少呢?想一想如何求球的体积呢?思考：当球的半径变化时，球的体积

随之改变，你是否每次都要这样测量

呢?祖恒，字景烁，是著名数学家祖冲之的儿子，也是南北

朝时代的伟大科学家。他于5

世纪末提出祖恒原理。在欧洲

直到17世纪，才有意大利数学

家卡瓦列里提出相关结论，比

西方国家的数学家早一千多年。知识拓展祖暄原理祖冲之

祖

暄

(geng)祖恒原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体(它们的形状可以不同),被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面(阴影部分)的面积

都相等，那么这两个几何体的体积一定相等。⑥你能自己推导一遍吗?半径为R

的半球

底面半径和高都为R的圆柱、圆锥图1

用祖暄原理证明球体积公式k底面半径和高都为R的圆柱、圆锥S

圆

S圆环

根据祖暄原理，这两个几何体的体积相等半径为R

的半球挖

去

一

个

圆

锥球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法

用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法.球的表面积4等份

8等份16等份

32等份我们把一个半径为R的圆分成无穷等份，然后如上图重新拼接起来，把一个圆看成是边长分别是

pR

和R的矩形.那么圆的面积就是pR².圆的面积下面，我们再次运用这种分割取极限

的思想方法来推导球的表面积公式.球的表面积球的表面积DS;球面被分割成n

个网格，表面积分别为：DS₁,DS₂,DS₃,L,DSn则球的表面积：S=DS₁+

DS₂+DS₃+L+DS设“小锥体”的体积为DV,则球的体积为：V=DV₁+DV₂+DV₃+L+DVn球的表面积第

一

步

：

分

割DSDhyDV;球的表面积第

二

步

：

求

近

似

和由第一步得：

V=DV₁+DV₂+DV₃+L+DV如果网格分的越细，则：“小锥体”就越接近小棱锥Dh

的值就趋向于球的半径R又球的体积为：,从而

S

=4pR²DSDh…DV;DSDV;球的表面积第三步

：

化为准确和现在，你能计算展厅中这个直径3米的球形屏的表面积和体积吗?表面积

：体

积

：球的表面积和体积计算公式新知应用1.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等?解：

由

S

球=

V

球，得解得R=3.∴当一个球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等.新知应用2.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积.由题意知2R=6,

即R=3.∴最大球零件的体积为解：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.I(1)求球的体积与圆柱体积之比?I如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.(1)求球的体积与圆柱体积之比?(2)求球的表面积与圆柱表面积之比?II“圆柱容球”定

理古希腊数学家阿基米德一生最为得意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切(该球也被称为圆柱的内切球),那么此时圆柱的内切球与圆柱的体积和表面积之比均为定值2:3阿基米德墓碑图案知识球的表面积和体积数学思想祖恒原理知识球的表面积和体积公式极限、数学建模、数形结合思想

类比思想、转化和化归思想球的表面积和体积数学思想一

、必做题：

教材P119练习1、2、3二、

选做题：