北师大版六年级上册数学期末核心素养典型系列例题-模型意识与几何直观能力（含解析）

北师大版小学六年级上册数学期末核心素养典型系列例题

——模型意识与几何直观能力

］小海找到了一个直角三角形、一个长方形和一个中间有圆孔的长方形铁片,

他测量的有关数据（单位：厘米）如下。现在，小海想把直角三角形、长方形分别从圆孔里

穿过，你觉得他能做到吗？请通过计算说明。（铁片的厚度不计）

2.］一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学

问题：”这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公

园的A点处同时出发，背向而胞，如图。小军的速度是164米/分钟，小芳的速度是150米/

分钟，经过2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公园的面枳吗？试一试。

）有一栋底面呈长方形的建筑物（如下图），墙角有一根木桩，木桩上栓

着一条狗。栓狗的绳子长4m,这条狗活动区域的面积有多大？

4.1将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置

③所经过的路线总长度是多少厘米？

C穴C

©②③

BB

5.[]一块长方形草地的一个角上有一-根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的

绳了长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？

6.1）一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，这只小狗最

大的活动范围是多少平方米？

7.1]如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边

绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？

8.11林叔叔新开了一家餐厅。他购买了一批桌埼用来布置餐厅。桌子有两种

款式：A款桌面长1.2米、宽0.6米的长方形，B款桌面是直径为1.2米的圆形。椅面是近似

边长0.5米的正方形。如图是林叔叔的餐厅平面图，假如你是林叔叔，请在图中设计一种合理

的桌椅摆放方案，并说明你的设计思路。（桌椅可自由组合）

注：每个方格代表0.6米x0.6米。

9.[】甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走1圈需要2分钟，乙走【圈需

要3分钟。

（1）如果甲每分钟走62s米.那么这个圆形花坛的直径是多少米？（圆周率取3.14）

（2）如果在这个圆形花坛里而种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？（圆周率取3.14）

10.[]

一个平面图形位于平行线”、/）间的部分，可以转化成和它面枳

相等的长方形.当这个长方形的长是2m时，它的宽称为这个困

彩在心力间部分的“菁面枳完工

例如：右困中，圆形的半径是1m、它的右半圆位于0、6间，

右半圆的面积是（7T取3）：

•・•

1xIX3v2=1.5（m2）

这个圆形在4、6间部分的“等面积宽”是：

1.5+2=0.75（m）

根据以上描述，解答下面问题（兀取3）。

（1）一个半径是1.2米的半圆形（如下图），位于a、b间的部分面积是多少平方米？这部分

的“等面积宽”是多少米？

（2）一个直径是1米的圆形（如下图），以每秒1米的速度向右平移进入a、b内，这个圆形

的“等面积宽”最大是多少米？面出至少两个保持最大“等面积宽”的圆形的位置。

北师大版小学六年级上册数学期末核心素养典型系列例题

——模型意识与几何直观能力

1.[】小海找到了一个直角三角形、一个长方形和一个中间有圆孔的长方形铁片，

他测量的有关数据（单位：厘米）如下。现在，小海想把直角三角形、长方形分别从圆孔里

穿过，你觉得他能做到吗？请通过计算说明。（铁片的厚度不计）

31X313

45

【正确答案】直角三角形能，及方形不能

【分析】三角形而积=底、高+2,三角形高=面积x2+底，据此求出直角三角形底边5厘米对

应的高，如果这个高比2.8厘米短，那么直角三角形能穿过圆孔；

长方形最短的边是宽，宽比圆孔的直径长，那么长方形不能穿过圆孔。

【详解】3x4+2=6（平方厘米）

6x2-5=2.4（厘米）

2.4V2.8,所以三角形能穿过圆孔。

3>2.8,所以长方形不能穿过圆孔。

答：直角三角形能穿过圆孔，长方形不能穿过圆孔。

本题考查了圆的认识、三角形的而积，掌握圆的特征以及三角形的面积公式是解题的关键。

2.1】天，小军和小芳到个近似丁圆的公园游玩，两人突然想到个数学

问题：”这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公

园的A点处同时出发，背向而胞，如图。小军的速度是164米/分钟，小芳的速度是150米/

分钟，经过2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公园的面积吗？试一试。

【正确答案】31400平方米

【分析】两人相遇时，路程和就是圆的周长。路程和=速度和X相遇时间，据此求出路程和，

即圆的周长。将圆周长除以2再除以3.14,求出圆的半径。圆面积=3.14x半径2,据此列式求

出圆的直径，即这个公园的面积。

【详解】（164+150）x2

=314x2

=628（米）

628^3.14=1001米）

3.14x1002=31400（平方米）

答：这个公园的面积是31400平方米。

本题考查了圆的周氏和面积，熟记并灵活运用圆的周氏和面枳公式是解题关键。

3.[]有一栋底面呈长方形的建筑物（如下图），墙角有一根木桩，木桩上栓

着一条狗。栓狗的绳子长4m,这条狗活动区域的面积有多大？

【分析】根据题意可知，小狗活动的最大范围是半径为4m的圆面积的;，根据圆的面积公式：

S=7M,把数据代入公式解答即可。

【详解】3.14X42X-

4

=3.14xl6x—

4

=3.14x12

=37.68（m2）

答：这条狗活动区域的面积是37.68m2.

本题主要考杳圆的面积公式在实际生活中的应用，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。

4.1】将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置

③所经过的路线总长度是多少厘米？

【分析】等边三角形的三个内角都是60。,由图可

知，等边三角形从位置①到位置②B点经过的路线长度是半径为3厘米，圆心角为120。扇形

的弧长，从位置②到位置③B点经过的路线长度等于从位置①到位置②B点经过的路线长度，

圆心角为120。扇形的弧长等于整个圆周长的;，利用“C阀形=2仃”求出B点经过的路线总长度,

据此解答。

【详解】60"2=120。

120°-360°=1

2x3.14x3x1x2

=3.14x2x2x3x；

=3.14x(2x2)x(3x1)

=3.14x4x]

=12.56(厘米)

答：B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是12.56厘米。

本题主要考查园的周长公式的应用，理解B点经过的路线长度的一半是整个圆周长的;是解

答题目的关键。

5.[]一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的

绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？

【正确答案】47.44平方米

观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的!的面积，那么这只羊无法吃到

的草地面积=长方形的面积一!圆的面积：根据长方形的面积公式5=2匕圆的面积公式S=

4

兀已代入数据计算即可。

【详解】长方形草地的面积：

10x6=60（平方米）

能吃到草的面积（：圆的面积）：

4

3.14*42」

4

=3.14xl6xi

4

=3.14x4

=12.56（平方米）

无法吃到的茸地而积：

60-12.56=47.44（平方米）

答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。

画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个!圆的面积，进而得出羊无法吃

到的草地面积是由哪些图形面枳相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。

6.【】一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，这只小狗最

大的活动范围是多少平方米？

【正确答案】43.96平方米

【分析】如下图灰色阴影部分是小狗的活动范围，由三块扇形面积组成，最大块扇形的圆心

角是（360。-60。），半径是绳长4米，另外两块相同的小扇形，圆心角是（180。-60。），半

径是绳长减去墙边长即（4—3；米，分别求出三块扇形面积再求和即可求出小狗最大的活动

范围。

［详解］3.14x4卬空/+3"(4-3)x(4-3)x吗”，2

3603600

=3.14x16x^+3.14x1x1x2

=3.14x(；+,)

=3.14x14

=43.96（平方米）

答：这只小狗最大的活动范围是43.96平方米。

明确小狗的活动范围是三块扇形，根据扇形与它所在圆的面积关系及计算方法求解即可。

7.[]如图，一枚半径是I厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边

绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？

【正确答案】36.56平方厘米

【分析】如图,它扫过的面枳是3个边长4厘米，宽1x2厘米

的长方形和一个圆的面积，长方形面积=长、宽，圆的面积=兀己据此列式解答。

【详解】”2=2（厘米）

2x4x3+3.14x22

=24+3.14x4

=24+12.56

=36.56（平方厘米）

答：它扫过的面积是36.56平方厘米。

关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式.

8.11林叔叔新开了一家餐厅。他购买了一批桌椅用来布置餐厅。桌子有两种

款式：A款桌面长1.2米、宽0.6米的长方形，B款桌面是直径为1.2米的圆形。椅面是近似

边长（）.5米的正方形。如图是林叔叔的餐厅平面图，假如你是林叔叔，请在图中设计一种合理

的桌椅摆放方案，并说明你的设计思路。（桌椅可自由组合）

房

厨桌了A

口

入I<W10.6m

马1.2m

路桌子B

椅子

O0.5m

0.5m

大门入口

注：每个方格代表0.6米x0.6米。

【正确答案】见详解

【分析】根据题意，可以选择A款桌面长1.2米、宽0.6米的长方形餐桌，然后放6把椅子，

结合餐桌要靠近厨房，采光性要好，最好靠近窗户，结合图示画图即可。（设计合理即可）

【详解】选择A款桌面长1.2於、宽0.6米的长方形餐桌，然后放6把椅子，结合餐厅的布局

特点，大门、厨房入口处要留出空间。设计方案如下：

（答案不唯一）

本题考查了方案设计知识，结合题意和生活实际，解答即可。

9.1】甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走1圈需要2分钟，乙走1圈需

要3分钟。

（1）如果甲每分钟走62.8米，那么这个圆形花坛的直径是多少米？（圆周率取3.14）

（2）如果在这个圆形花坛里面种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？（圆周率取3.14）

【正确答案】（1〉40米

（2）1256平方米

【分析】⑴已知甲每分钟走62.8米,甲走1圈需要2分钟,根据“速度x时间=路程”，即

可求出这个圆形花坛的周长；

然后根据圆的周长公式C=7Td可知，圆的直径d=C+兀，据此求出这个圆形花坛的直径。

（2）求在这个圆形花坛里面种鲜花的面积，就是求这个圆形花花的面积；根据圆的面积公式

S=/,代入数据计算即可求解。

【详解】（1）周长:62.8x2=125.6（米）

直径：125.6+3.14=40（米）

答：这个圆形花坛的直径是40米。

(2)3.14x(40-2)2

=3.14x400

=1256（平方米）

答：可以种1256平方米的鲜花。

（1）本题考查圆的周长公式的灵活运用，根据速度、时间、路程之间的关系求出圆形花坛的

周氏是解题的关键。

（2）本题考查圆的面积公式的运用.

10.[]

一个平面图形位于平行线外间的部分，可以转化成和它面积

相等的长方形.当这个长方形的长是21n时，它的宽称为这个困

形在心力间部分的“菁面枳完工

例如：右图中,圆形的半径是1m、它的右半圆位于G6间，

右半圆的面积是（7T取3）：

••