数学建模（方红）教学课件 18微分方程

数学建模

微分方程模型华中农业大学数学建模基地微分方程模型一微分方程模型二微分方程模型稳定性华中农业大学数学建模基地微分方程模型一微分方程模型华中农业大学数学建模基地

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。模型的使用背景

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就需要求解微分方程。

微分方程建模是数学建模的重要方法，在科技工程，经济管理，生态环境，人口，交通等领域中有着广泛的应用。华中农业大学数学建模基地微分方程模型的建立方法

根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。华中农业大学数学建模基地微分方程模型的建立方法模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。华中农业大学数学建模基地案例分析

缉私问题

一艘缉私舰雷达发现距c

km处有一艘走私船正以匀速

akm/min沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度

b

km/min追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。华中农业大学数学建模基地缉私问题模型建立建立如右坐标系，缉私船在(c,0)处发现走私船在(0,0)处，走私船逃跑方向为y轴方向。在t时刻，走私船到达R(0,at)，缉私舰到达D(x,y)华中农业大学数学建模基地缉私问题根据题意有如下关系式化简得：又因

，s为弧长（1）（2）华中农业大学数学建模基地将（2）代入（1）得：模型求解：1)求解析解（1）当，缉私问题华中农业大学数学建模基地当x=0时，

缉私问题华中农业大学数学建模基地c=3km，a=0.4(km/min)，分别取b=0.6,0.8,1.2(km/min)，缉私艇追赶路线图形如下：缉私问题华中农业大学数学建模基地（2）当，缉私艇不可能追赶上走私船2）求数值解假设a=60公里/小时，b=80公里/小时，c=500公里用MATLAB软件编程求数值解1.zhuiji.mfunctionf=zhuiji(x,y)%建立微分方程组函数，函数名为'zhuiji'f=[y(2);0.75*sqrt(1-y(2)^2)/x];缉私问题华中农业大学数学建模基地2.zhui.m[x,y]=ode23('zhuiji',[500,1],[0,0]);%调用ode23求解器求解方程组plot(x,y(:,1))%画出图形运行结果如右图：缉私问题华中农业大学数学建模基地人口增长模型

据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年.纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿.经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿，又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年之后，在1960年，人口总数为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿，12年之后即1987年，人口已达50亿.

我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律.华中农业大学数学建模基地英国人口学家Malthus模型假设人口自然增长率r为常数

即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。模型建立1.指数增长模型人口以几何级数增加！人口增长模型华中农业大学数学建模基地模型分析人口将按指数规律无限增长！人口将始终保持不变！人口将按指数规律减少直至绝灭！模型求解人口增长模型华中农业大学数学建模基地Malthus模型预测美国人口华中农业大学数学建模基地Malthus模型预测美国人口华中农业大学数学建模基地Malthus模型预测的优缺点优点短期预报比较准确缺点不适合中长期预报原因预报时假设人口增长率r

为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。华中农业大学数学建模基地2.阻滞增长模型假设人口增长率r(t)是t时刻人口x(t)的减函数：其中，xm

为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量（称最大人口容量）

模型假设模型建立人口增长模型华中农业大学数学建模基地模型分析（定性分析）人口将递减并趋向于xm！人口将始终保持xm不变！人口将递增并趋向于xm！无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！模型求解人口增长模型华中农业大学数学建模基地人口增长率达到最大值人口增长模型华中农业大学数学建模基地阻滞增长模型预测美国人口华中农业大学数学建模基地阻滞增长模型预测美国人口华中农业大学数学建模基地阻滞增长模型预测的优缺点优点中期预报比较准确缺点理论上很好，实用性不强原因预报时假设固有人口增长率r

以及最大人口容量xm为定值。实际上这两个参数（特别是xm

）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。华中农业大学数学建模基地利用MATLAB求解Malthus模型和Logistic模型，预测美国人口数量，程序如下所示：k=197.273;%xm=197.273r=0.03134;%r=0.03134t=0:10:160;%时间间隔为10年n0=3.929;n1=[3.9295.3087.2407.63812.86617.06923.19231.44338.55850.15662.94875.99591.972105.711122.775131.669150.697];%实际统计资料n2=n0*exp(r*t);%Malthus模型n3=k./(1+((k/n0)-1).*exp(-r.*t));%Logistic模型t=t+1790;plot(t,n1,'k*-',t,n2,'go-',t,n3)华中农业大学数学建模基地运行结果黑色星号--Logistic模型预测值，绿色圆圈--Malthus模型预测值，蓝色曲线为实际统计值。华中农业大学数学建模基地传染病模型

随着卫生设施的改善，医疗水平的提高及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来，20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等，一直是有关专家关注的一个热点问题。华中农业大学数学建模基地

已感染人数(病人)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?传染病模型华中农业大学数学建模基地模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为

,且使接触的健康人致病建模

~日接触率SI模型传染病模型华中农业大学数学建模基地模型2Logistic模型当时，用Matlab程序为:y=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)','y(0)=0.09','x')%求解此微分方程ezplot(y,[0,60])%画出微分方程的图像ezplot('0.1*y*(1-y)',[0,1])%画出y的导数的图像传染病模型华中农业大学数学建模基地tm~传染病高潮到来时刻

(日接触率)tm

t=tm,di/dt最大传染病模型华中农业大学数学建模基地传染病模型II的函数图像?华中农业大学数学建模基地模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。传染病模型华中农业大学数学建模基地编写MATLAB程序如下：y=dsolve('Dy=0.01*y*(1-y)-0.05*y','y(0)=0.7','x');%ezplot(y,[0,120])y2=dsolve('Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y','y(0)=0.7','x');y3=dsolve('Dy=0.3*y*(1-y)-0.15*y','y(0)=0.3','x');figure,ezplot(y2,[0,25]);figure,ezplot(y3,[0,25])传染病模型华中农业大学数学建模基地传染病模型不难看出，接触数

=1~阈值华中农业大学数学建模基地模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率

,

接触数

=/建模需建立的两个方程传染病模型华中农业大学数学建模基地模型4SIR模型无法求出的解析解求数值解华中农业大学数学建模基地MATLAB程序如下：ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)%调用ode45求解'ill'方程组plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,%画出健康者和病人的变化曲线figure,plot(x(:,2),x(:,1)),grid%画出相图functiony=ill(t,x)%函数ill，表示模型IVa=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';传染病模型华中农业大学数学建模基地画出健康者和病人的变化曲线华中农业大学数学建模基地结论：在初始时刻健康者和病人百分比的总和为1；病人的数量先增加然后下降，说明在某时刻传染病得到抑制；而治愈的人群退出此系统，所以最后系统的人群数量为0；这时所有的人群均是免疫者。传染病模型华中农业大学数学建模基地

意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？

他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.地中海鲨鱼问题华中农业大学数学建模基地地中海鲨鱼问题华中农业大学数学建模基地地中海鲨鱼问题华中农业大学数学建模基地模型（二）考虑人工捕获

设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1降为r1-e，捕食者的死亡率由r2增为r2+e设战前捕获能力系数e=0.3,战争中降为e=0.1,则战前与战争中的模型分别为:地中海鲨鱼问题华中农业大学数学建模基地

实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！地中海鲨鱼问题华中农业大学数学建模基地微分方程模型稳定性二微分方程模型稳定性华中农业大学数学建模基地常微分方程模型平衡点的稳定性如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程

f(x)=0的实根x=x0为方程(4-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(4-1)的解.设华中农业大学数学建模基地由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地一阶微分方程模型平衡点的稳定性

易知

x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：①若则x0是稳定的；②

若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.华中农业大学数学建模基地代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(4-3)的平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程组的平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地如果则称平衡点P0是稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地判别平衡点P0是否稳定的判别准则.

则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变