专题32 等时圆模型 专项训练

专题32等时圆模型一、单选题1．如图所示为一光滑竖直圆槽，、、为通过最低点与水平面分别成30°、45°、60°角的三个光滑斜面，与圆相交于A、B、C点。若一物体由静止分别从A、B、C滑至点所需的时间为，，，则（）A． B． C． D．2．如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O点，现在有三条光滑轨道a、b、c，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（）A．ta＞tb＞tc B．ta＜tb＜tcC．ta＝tb＝tc D．无法确定3．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，该平面内有、、三条光滑固定轨道，其中、两点处于同一个圆上，是圆上任意一点，、分别为此圆与、轴的切点。点在轴上且，为圆心。现将、、三个小球分别从、、点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到点，如所用时间分别为、、，则、、大小关系是（）A．B．C．D．由于点的位置不确定，无法比较时间大小关系4．如图，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为(

)A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．5∶8∶9 D．1∶2∶35．如图所示，在倾角为=30º的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α角的大小为（

）A．α=10ºB．α=15ºC．α=30ºD．α=60º6．如图，竖直面内固定一大圆环④，小环套在光滑杆上，杆的上下两端分别固定在圆的顶点P和圆周Q点上。圆①②③④共用顶点P，半径之比为1∶2∶3∶4，它们把杆分成四段。小环从顶点P由静止开始沿杆自由下滑至Q点，则小环依次经过这四段的时间之比为（）A． B．C． D．7．某同学探究小球沿光滑斜面顶端下滑至底端的运动规律，现将两质量相同的小球同时从斜面的顶端释放，在甲．乙图的两种斜面中，通过一定的判断分析，你可以得到的正确结论是(

)A．甲图中小球在两个斜面上运动的时间相同B．甲图中小球下滑至底端的速度大小与方向均相同C．乙图中小球在两个斜面上运动的时间相同D．乙图中小球下滑至底端的速度大小相同8．倾角为的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D三点，其中AC与斜面垂直，且，现有三个质量均为的小圆环（看作质点）分别套在三根细杆上，依次从A点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D三点所有时间分别为、、，下列说法正确的是（）A． B．C． D．9．倾角为的长斜坡上有C、O、B三点，，在点竖直地固定一长10m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢环（视为质点），两环从A点由静止开始，同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图所示，小环在钢绳上滑行的时间和分别为（）（）A．2s和2s B．1s和2s C．2s和4s D．4s和2s10．倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在O点竖直的固定一长10m的直杆AO．A端与C点、坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）

A．s和4s B．s和2sC．2s和2s D．4s和s11．游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示．甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图象，正确的是（

）A．B．C．D．12．如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以出速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2．则（）v1=v2，t1＞t2 B．v1＜v2，t1＞t2 C．v1=v2，t1＜t2 D．v1＜v2，t1＜t213．如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，则μ1：μ2为A．1:3 B．3:1 C．:1 D．1:14．在奥运会的开幕式中，表演者手持各国国旗从体育场的圆周顶棚飞天而降，动感壮观。他们静止站在圆周顶的不同点A、B、C、D、E、F沿光滑钢索到场地P区表演，如图所示，设顶棚的圆周平面与地面平行，下列关于各处表演者滑到P区所用时间的说法中正确的是（）A．所有表演者滑到P区的速度都相同B．F处表演者滑到P区的速度比E处滑下的大C．所有表演者滑到P区所用的时间都等D．A处表演者滑到P区所用的时间比D处滑下的短二、多选题15．如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的顶点，它们处在同一竖直平面内。现有两条光滑直轨道AOB、COD，轨道与竖直直径的夹角关系为，现让一小物块先后从这两条轨道顶端由静止下滑至底端，则下列关系中正确的是（

） B． C． D．16．如图所示，ab、ac是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c位于同一圆周上，O为该圆的圆心，ab经过圆心．每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环分别从b、c点无初速释放，用、分别表示滑环到达a点的速度大小，用、分别表示滑环到达a所用的时间，则A． B． C． D．三、解答题17．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。（1）如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系；（2）若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。《专题32等时圆模型》参考答案题号12345678910答案CBCABCCBAC题号111213141516答案BABDBDAD1．C【详解】设圆槽的直径为d，某一斜面的倾斜角为θ，由牛顿第二定律可得，沿斜面下滑加速度为斜面的长度为由位移时间公式可得可知，物体沿斜面下滑的时间与斜面的倾斜角无关，则有故选C。2．B【详解】设上面圆的半径为r，矩形宽为R，则轨道的长度下滑的加速度根据位移时间公式得因为轨道a、b、c与圆竖直直径的夹角由小至大，所以有tc＞tb＞ta故选B。【名睛】解决本题的关键通过牛顿第二定律和运动学公式得出时间的表达式，结合角度的大小关系进行比较。3．C【详解】由题意可知A、C、M三点处于同一个圆上，且圆心与M点在同一竖直线上，设圆的半径为，从圆上任意一点与M点构成一光滑轨道，该轨道与竖直方向的夹角为，如图所示小球从轨道顶端静止滑下的加速度为根据运动学公式可得联立可得小球从轨道顶端到底端M点所用时间为可知从圆轨道任一点滑到底端M点所用时间与倾角无关，则有由图可知，若小球从BM轨道与圆轨道交点静止滑下，则所用时间与A点、C点滑下所用时间相同，由于B点处于圆轨道上方，则有故选C。4．A【分析】由几何知识求出出三个小球的位移表达式，由牛顿第二定律求出两球的加速度a表达式，再由位移公式求解滑行时间之比；【详解】设，，,a、b、d三小球在各杆上滑行的时间分别为，加速度分别为．由几何知识得，BC的倾角为，DC的倾角为，如图所示：a球为自由下过程，由，得根据牛顿第二定律得：沿BC下滑的小球，加速度为由位移时间公式得：，得沿DC下滑的小球，加速度为由位移时间公式得：，得，所以，故选项A正确，选项BCD错误．【点睛】本题运用牛顿第二定律和运动学公式结合求解匀加速运动的时间，关键要根据几何知识求出BC与DC的倾角和位移，从而求出加速度，然后利用位移与时间关系进行求解即可．5．B【详解】如图所示：在竖直线AC上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切与D点，根据等时圆的结论可知：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到D点所用时间比由A到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端B点与D点重合即可，而角COD为θ，所以，故选B．6．C【详解】如图所示根据题意，由几何知识得小环套在光滑杆上静止滑下做匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动规律，通过连续相等的位移所用时间之比为故选C。7．C【详解】A．小球在斜面上运动的过程中只受重力mg和斜面的支持力N作用，做匀加速直线运动，设斜面倾角为θ，斜面高为h，底边长为x，根据牛顿第二定律可知，小球在斜面上运动的加速度为：a=gsinθ，根据匀变速直线运动规律和图中几何关系有s=，s==解得小球在斜面上的运动时间为t=根据机械能守恒定律有mgh=解得小球下滑至底端的速度大小为v=，显然，在甲图中，两斜面的高度h相同，但倾角θ不同，因此小球在两个斜面上运动的时间不同，故选项A错误；B．小球下滑至底端的速度大小相等，但方向沿斜面向下，不同，故选项B错误；D．在乙图中，两斜面的底边长x相同，但高度h和倾角θ不同，因此小球下滑至底端的速度大小不等，故选项D错误；C．又由于在乙图中两斜面倾角θ的正弦与余弦的积相等，因此小球在两个斜面上运动的时间相等，故选项C正确。故选C。8．B【详解】由于则可以判断AB竖直向下，以AB为直径做圆，则必过C点，如图圆环在杆AC上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得mgcosθ=ma联立解得可见从A点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得故选B。9．A【详解】根据几何关系知，AB与水平面的倾角为60度，AC与水平面的倾角为30度，AB的长度为AC的长度x2=10m根据牛顿第二定律得小球在AB钢绳上下滑的加速度为小球在AC钢绳上下滑的加速度为由得由得故选A。10．C【详解】根据几何关系知，AB与水平面的倾角为600，AC与水平面的倾角为300，AB的长度为：x1＝2×10×cos30°＝10m，AC的长度x2=10m，根据牛顿第二定律得小球在AB钢绳上下滑的加速度为：a1＝gsin60°＝5m/s2，小球在AC钢绳上下滑的加速度为：a2＝gsin30°＝5m/s2，由x＝at2得：，．故选C．11．B【详解】根据牛顿第二定律可知甲的加速度逐渐减小，乙的加速度逐渐增加，而v-t图线的斜率等于加速度，两物体的位移相同，图线与坐标轴围成的面积相等。故选B。12．A【详解】试题分析：小球在运动过程中机械能守恒，故两次到达N点的速度大小相同，且均等于初速度，即v1=v2=v0；两小球的运动过程分别为先加速后减速和先减速后加速，定性做出小球运动的速率—时间图象如下图：则图线与坐标轴所围成的面积表示小球的运动路程，小球两次的路程相等，故两次图线与坐标轴所围面积相同，由图可知，t1＞t2，A正确．考点：机械能守恒定律、运动的图象13．B【详解】设斜面底部长为L，AD与水平面的夹角为，BD与水平面的夹角为，物体在AD面上运动时的加速度为物体在BD面上运动时的加速度为物体在AD面上运动的时间物体在BD面上运动的时间由题意可知联立以上各式解得故选B．14．D【详解】每个表演者所经过的路径可以看成一个斜面，斜面的高度都相同，只是倾角不同，类似的模型如图所示AB．由机械能守恒定律可得所有表演者滑到P区的速度大小都相同，但是方向不同，即速度不相同，选项AB错误；CD．设其中某一光滑斜面的倾角为θ，高为h，根据牛顿第二定律可得加速度斜面长根据运动学公式可得联立可得可见，倾角θ越大，时间越短，θ越小，经过的时间越长。则A处表演者滑到P区所用的时间比D处滑下的短，故C错误D正确。故选D。15．BD【详解】AB．小物块下滑的过程，由动能定理可知可得由于从A到B下落的高度差大于从C到D的高度差，故有故A错误，B正确；CD．以AOB轨道的物块为研究对象，根据位移与速度的关系同理COD轨道两式相比且：所以，故D正确，C错误。故选BD。16．AD【详解】由机械能守恒，因b环开始的竖直高度大于c，根据可得，，选项A正确，B错误；过a点做竖直线，分别做经过c点和b点的等时圆如图；由图可知过c点的等时圆的直径较大，则时