《函数的应用（一）》课件

第3章

函数的概念与性质3.4函数的应用（一）01分段函数之里程表读数02汽车超速与滑行问题03矩形与最大面积问题04最值与利润问题分段函数之里程表读数1分段函数之里程表读数1【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系

如图所示.(1)求图中阴影部分的面积，并说明

所求面积的实际含义；···············

908070605040302010

5080907565【解】阴影部分的面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360这个面积表示的含义是汽车在这5小时内行驶的路程为360km.分段函数之里程表读数1【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系

如图所示.···············

908070605040302010

5080907565【解】由题意，根据图表有：

S=(2)假设开车前里程表读数为2020km，试

求出里程表读数S与时间t的表达式.分段函数之里程表读数1

分段函数之里程表读数1

汽车超速与滑行问题2汽车超速与滑行问题2【例】若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(m)与刹车时的速度v(km/h)之间的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后

滑行的距离为20m，在限速为100km/h的高速公路上，这辆车紧急刹车后

滑行的距离为50m，判断这辆车是否超速？【解】由题意，把(60，20)代入表达式中，得,

解得，即表达式为

当时，解得

因为，所以这辆车没有超速.

汽车超速与滑行问题2

矩形与最大面积问题3矩形与最大面积问题3【例】飞卢广告公司要为客户设计一幅周长为60m的矩形广告牌，如何设计

这个广告牌可以使它的面积最大？【解】设广告牌的长为t米，则宽为(30-t)米，

面积S为

配方，

所以当长为15米，宽为30-t=15米的时候，它的面积最大，最大面积为225平方米.矩形与最大面积问题3某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？最值与利润问题4最值与利润问题4【例】某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的

生产成本为2500元，售价为3500元.若该公司生产的产品全部都能卖出去.

（1）设总成本为W万元，平均分摊到每件产品上的单位成本为y万元，销售总

收入为S万元，总利润为P万元，分别求出它们与产量t的函数关系式.【解】由题意得

最值与利润问题4某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？题①[2017山东卷]设若,求

若，由得

所以，

若，由，得，无解

综上，

题②[2019江苏卷]函数的定义域是____________.要使得函数有意义，需要根号内非负，即

，即：

解得，所以函数的定义域为[-1，7]

题③[2013全国大纲卷]已知函数的定义域为(-1，0)，则函数

的定义域为_____________.由题意有自变量的取值范围是

当自变量变成时，范围仍然是

所以有，解得

所以有函数的定义域为

题④[江西卷]若函数的定义域是[0，2]，求函数的定义域.由题意的定义域是[0，2]，则对于来说有：

解得：

所以的定义域为[0，1)

题⑤[2019全国Ⅱ卷]设为奇函数，且当时，，则当

时，求的表达式.因为是奇函数，且定义域为R，

所以当时，有，即此时有

所以此时的

题⑥已知，且，求的值.因为

所以

即

所以

题⑦[2020山西]已知定义在R上的偶函数在(0，+∞)上单调递减，且则满足不等式的的取值范围是多少？由题意可知在(-∞，0)上单调递增，且

所以当时，

当时，

所以

或

所以的取值范围为

12345678910A级必备知识基础练1.下列函数是奇函数的是(

)D解析

先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.123456789102.函数

的图象关于(

)A.x轴对称

B.y轴对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称B123456789103.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数C解析

∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.123456789104.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(

)A.-1 B.1 C.-3 D.3C解析

∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.∵y=g(x)是偶函数,∴g(-2)=f(-2)+2=g(2)=-1,∴f(-2)=-3.故选C.123456789105.已知函数f(x)=x3+ax2-3x+b是定义在R上的奇函数,则a+b=

.

0解析

由题意得f(-x)+f(x)=(-x)3+a(-x)2-3(-x)+b+x3+ax2-3x+b=0,即2ax2+2b=0恒成立,则a=b=0,即a+b=0.123456789106.已知函数

为奇函数.(1)求f(2)和实数a的值;(2)求方程f(x)=f(2)的解.解

(1)设x>0,则-x<0.因为x≤0时,f(x)=-x2-4x,则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,所以f(x)=x2-4x=x2+ax,所以a=-4,则f(2)=-4.1234567891012345678910B级关键能力提升练7.下列说法中,正确的是(

)A.偶函数的图象一定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈RD.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数B解析

y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0,故B正确;若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.12345678910123456789108.

已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=(

)A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或1C解析

∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,∴f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.123456789109.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=

.