湖南省衡阳市2026年中考二模考试数学试题

湖南省衡阳市2026年中考二模考试数学试题一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．下列四个数中，是无理数的是()A．-1 B．13 C．0 D．2．体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段.下列体育图标是轴对称图形的是()A． B．C． D．3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A．1，2，3 B．2，3，4C．3，3，6 D．4，5，104．下列计算正确的是()A．a2⋅a3=a6 B．5．计算12−A．3 B．15 C．23 D．6．在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：89，90，90，90，91，93，94，这组数据的平均数与众数的差为()A．1 B．2 C．4 D．57．若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于()A．-2 B．2 C．-3 D．38．如图，在△ABC中，∠A=46°，∠ABC=59°，尺规作图操作如下：(1)以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点D，E；(2)以点B为圆心、AD长为半径画弧，分别交边BA，BC于点F，G；(3)再以点F为圆心、DE长为半径画弧，与弧FG交于点H；(4)画射线BH交边AC于点I.则∠CBI的度数为()A．12° B．13° C．14° D．15°9．如图，点A，B，C，D在⊙O上，连接OA，OB.若∠D=105°，则∠AOB的度数为()A．75° B．115° C．150° D．175°10．一次函数y=kx(k<0)与反比例函数y=mx(m<0,x<0)的图象交于点P，点P的纵坐标为4A．k=-3B．m的值为-8C．当x<−22D．点M的坐标为(-4，4)二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．因式分解：2x2-8=12．某足球联赛共进行了98场比赛，现场观众人数累计约230万人.将数据2300000用科学记数法可表示为.13．中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术.若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为.14．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为°.15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，AE=6，∠AEB=60°，则EF的值为.16．定义：MN为某个三角形的边，若MN与其边上的高相等，则称该三角形为边MN的“伴随三角形”.△ABC为边AB的“伴随三角形”，AB=4.①若∠B=90°，则∠A=°；②若AC=5，过点C作直线AB的高，垂足为点D，则BD的长为.三、解答题(本大题共8个小题,第17题6分,第18、19、20题每小题8分,第21、22题每小题9分,第23、24题每小题12分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．计算：118．先化简，再求值：x+32−3x19．某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A(0≤x<2)，B(2≤x<4)，C(4≤x<6)，D(x≥6)，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图的信息，解决下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为°；（4）若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人?20．某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵25元，用600元购买甲商品的数量恰好与用500元购买乙商品的数量相同.（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元?（2）该商店计划购进这两种商品共20件，甲商品的售价为240元/件，乙商品的售价为200元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于1620元，则至少购进多少件甲种商品?21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点F，且D为EF的中点，连接AD.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=18,BE=422．如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验.同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型.已知直尺斜靠在桌边，悬绳ABC(A，B，C在同一直线上)的上端A点与桌边接触点D的连线AD，垂直于直尺下边BE，其中.AD=3cm，BE=20cm，∠BCE=60∘,∠BEC=4523．已知二次函数.y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，M（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接MB，NC.若x2=−2x1,x（3）如图2，延长MC，NB交于点E.若.x124．已知△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB=∠ADE=90∘,（1）当C，A，E三点在同一直线上时，如图1.①求证：CF=GF；②连接CD，DG，求证：∠DCG=3（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2所在位置时，连接DF，DG，判断△DFG的形状并说明理由.

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．【答案】2.3×10613．【答案】114．【答案】72015．【答案】616．【答案】45；1或717．【答案】解：原式=2−2×=3.18．【答案】解：原式：==−2当x=2时，原式19．【答案】（1）50（2）解：C等级”的人数为：50-4-13-15=18(人).补全条形统计图如下：学生每周课外阅读总时间条形统计图（3）108（4）解：3000×18+15答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人.20．【答案】（1）解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为(x-25)元.依题意得600解得x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x-25=125.答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元；（2）解：设购进m件甲种商品，则购进(20-m)件乙种商品.依题意得(240-150)m+(200-125)(20-m)≥1620，解得m≥8，∴m的最小值为8.答：至少购进8件甲种商品.21．【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OA=OD，∴∠ODA=∠OAD.∵D为EF的中点，∴∠FAD=∠EAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC.∵∠ACB=90°，∴∠BDO=90°，即OD⊥BC.∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵AB=18,BE=∴AB=AE+BE=AE+4∴AO=OE=∴⊙O的半径为5.∵BE=∴BO=BE+EO=8+5=13.∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴DOCA∴AC=22．【答案】解：如图，过点B作BF⊥CE于点F.在Rt△BEF中，sin∴BF=20×在Rt△BCF中，sin∴BC=BF又∵∠ABD=∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=180°-60°-45°=75°，∴在Rt△ABD中，sin∴AB=∴AC=BC+AB≈16.33+3.09=19.42≈19.4(cm).故AC的长约为19.4cm.23．【答案】（1）解：由题意得0=1−b+c,0=9+3b+c,解得∴二次函数的表达式为：y=（2）解：将x=0代入到y=x∴点C的坐标为(0，-3).设直线BC的表达式为y=kx+d，且经过点B(3，0)，C(0，-3)，则0=3k+d,−3=d,解得∴直线BC的表达式为：y=x-3.如图，分别过点M，N作y轴的平行线交直线BC于点P，Q，则P∵∴−∵点M(x1，y1)，N(x2，y2)在二次函数的图象上，∴∴MP=NQ=∵∴∴x12−3x1∵−∴（3）解：设直线MC的表达式为y=mx+n，且经过点Mx1x1∴直线MC的表达式为.y=同理可得直线NB的表达式为.y=∵点E是MC，NB的延长线的交点，∴x1−2x−3=∴点E在定直线x=324．【答案】（1）证明：①证明：∵F为BE的中点，∴BF=EF.又∵BC∥EG，∴∠FBC=∠FEG.在△FBC和△FEG中，∠FBC=∠FEG,∴△FBC≌△FEG(ASA)，∴CF=GF；②解：由①可知△FBC≌△FEG，∴BC=EG.在Rt△ABC中，tan∴在Rt△AED中，tan∴∵BC∥EG，∠BCE=90°，∴∠CEG=180°-∠BCE=180°-90°=90°，∴∠CEG=∠BCE.在Rt△AED中，∠AED=90°-∠EAD=90°-30°=60°，∴∠GED=∠CEG+∠DEA=150°.又∵∠CAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，∴∠GED=∠CAD，∴△GED∽△CAD，∴∠GDE=∠ADC，∴∠CDG=∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG=90°.∵在Rt△GCD中，tan∴∠DCG=30°.（2）解：△DFG为等边三角形.理由如下：如图，连接CD，过点B作BH∥DE交DA的延长线于点H，∴∠BHA=∠ADE=90°，∠EBH=∠BED.∵BC∥EG，∴∠CBE=∠GEB，∴∠EBH+∠CBE=∠BED+∠GEB，即∠CBH=∠GED.在四边形BCAH中，∠CBH+∠BCA+∠CAH+∠