河南专升本高等数学2012-2021年真题附答案解析

河南专升本高等数学2012-2021年真题附答案解析2012年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）1.函数f(x)=lnA.(−1,2)B.[−1,2]C.(−1,2]D.[−1,2)2.下列函数中，为偶函数的是（）A.f(x)=xsin⁡xB.f(x)=x33.函数f(x)=1A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+4.limx→0A.0B.1C.3D.15.当x→0时，下列函数中与x等价的无穷小量是（）A.sin⁡2xB.1−cos⁡xC.6.函数f(x)={x2,A.连续但不可导B.可导但不连续C.连续且可导D.既不连续也不可导7.设y=x2lnA.2xln⁡xB.x+2xln⁡x8.曲线y=x3−3A.y=−3x+2B.y=3x−4C.y=−3x−2D.y=3x+49.设f(x)的一个原函数为sin⁡x，则fA.sin⁡xB.−sin⁡xC.10.∫xcosA.12sin⁡x2+C11.0πA.0B.1C.2D.π12.下列广义积分收敛的是（）A.1+∞1xdxB.13.曲线y=1x与x轴、x=1、A.ln⁡2B.1C.2ln14.若向量a→=(1,2,3)，b→=(2,4,k)，且A.5B.6C.7D.815.平面2x+y−3z+1=0与平面4x+2y−6z+3=0的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合16.函数z=lnA.x+y>0B.x+y≥0C.x+y≠0D.x+y≤017.设z=x2y+xA.2xy+y2B.x2+2xy18.设D是由x=0、x=1、y=0、y=1所围成的闭区域，则Dxydσ=A.0B.12C.119.下列级数中收敛的是（）A.n=1∞1nB.n=1∞20.幂级数n=1∞A.0B.1C.2D.+21.微分方程y′A.y=x2+CB.y=2x+CC.22.微分方程y″A.y=C1cos⁡x+C223.设事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)=（）A.0.15B.0.2C.0.8D.0.924.设随机变量X∼N(0,1)，则P(X≤0)=（）A.0B.0.5C.0.8D.125.设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，则E(2X+1)=（）A.3B.4C.5D.626.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得（）A.f′(ξ)=0B.f(ξ)=0C.f27.设f(x)=x3−3x+1，则f(x)A.1B.3C.5D.728.设a→=(1,1,0)，b→A.0B.1C.2D.329.设D是由y=x、y=0、x=1所围成的闭区域，则Ddxdy=A.1230.微分方程xyA.y=CxB.y=CxC.y=C二、填空题（每小题2分，共20分）31.limx→132.设f(x)=e2x，则33.−1134.曲线y=x35.向量a→=(2,−1,3)的模36.设z=exy，则37.级数n=1∞38.微分方程y′39.设事件A与B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(AB)=__________40.设随机变量X的分布律为P(X=k)=k6（k=1,2,3），则三、计算题（每小题5分，共50分）41.求limx→042.设y=ln⁡(1+x43.求∫cos44.求0145.求函数f(x)=x求过点M(1,2,3)且与直线x−2346.设z=f(x2−y2,xy)，其中47.计算二重积分D(x+y)dσ，其中D是由x=0、y=0、x+y=148.求幂级数n=1∞49.求微分方程y″50.设随机变量X∼U(0,2)（均匀分布），求E(X)和D(X)。四、应用题（每小题7分，共14分）51.求由曲线y=x2与直线y=2x所围成的平面图形的面积，并求该图形绕52.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品的成本为10元，售价为20元，求：（1）总成本函数、总收入函数和总利润函数；（2）盈亏平衡点的产量。五、证明题（6分）53.证明：当x>0时，1+xln2012年河南专升本高等数学真题答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）1.答案：A

解析：要使函数f(x)=ln⁡(x+1)4−x2有意义，需满足两个条件：①对数的真数大于0，即x+1>0⟹x>−12.答案：A

解析：偶函数满足f(−x)=f(x)。

A选项：f(−x)=(−x)sin⁡(−x)=(−x)(−sin⁡x)=xsin⁡x=f(x)，是偶函数；

B选项：f(−x)=(−x)3+1=−3.答案：C

解析：函数f(x)=1x−1的间断点为x=1，在间断点附近函数无界。A、B选项均包含x=1附近区间，D选项x→+∞时，f(x)→0但无界；C选项(2,3)远离间断点，且f(x)在该区间单调递减，最大值为f(2)=14.答案：C

解析：利用重要极限limx→0sinx5.答案：C

解析：等价无穷小满足limx→0α(x)x=1。

A选项：limx→0sin⁡2xx=2≠1；

B选项：lim6.答案：A

解析：①连续性：limx→0−f(x)=limx→0−x2=07.答案：B

解析：利用乘积求导法则(uv)′=u′v+uv′，设u=x8.答案：A

解析：①求导数：y′=3x2−6x；②求切线斜率：k=9.答案：B

解析：由题意，f(x)=(sin⁡x)10.答案：A

解析：令u=x2，则du=2xdx⟹xdx=111.答案：C

解析：0π12.答案：B

解析：广义积分1+∞1xpdx，当p>1时收敛，当p≤1时发散。

A选项p=1，发散；B选项13.答案：A

解析：面积S=114.答案：B

解析：两向量平行，对应分量成比例，即12=215.答案：A

解析：两平面的法向量分别为n1→=(2,1,−3)，n2→16.答案：A

解析：对数函数ln⁡t的定义域为t>0，故x+y>017.答案：A

解析：对x求偏导，将y视为常数，得∂z∂x18.答案：C

解析：Dxydσ=19.答案：C

解析：A、B、D均为p-级数，当p≤1时发散；C选项p=2>1，收敛。故选C。20.答案：B

解析：收敛半径R=lim21.答案：A

解析：分离变量得dy=2xdx，积分得y=x22.答案：A

解析：特征方程为r2+1=0，解得r=±i，通解为23.答案：C

解析：互斥事件满足P(AB)=0，故P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.3+0.5=0.8。故选C。24.答案：B

解析：标准正态分布关于x=0对称，故P(X≤0)=0.5。故选B。25.答案：C

解析：由期望性质，E(2X+1)=2E(X)+1=2×2+1=5。故选C。26.答案：A

解析：由罗尔定理，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得f′27.答案：B

解析：f′(x)=3x2−3=3(x2−1)，令f′(x)=0，得驻点x=±1，仅28.答案：B

解析：向量点积a→29.答案：A

解析：二重积分的几何意义为区域D的面积，D是直角三角形，面积为12×1×1=130.答案：B

解析：分离变量得dyy=−dxx，积分得二、填空题（每小题2分，共20分）31.答案：2

解析：limx→132.答案：4

解析：f′(x)=2e2x，33.答案：0

解析：被积函数x3是奇函数，积分区间[−1,1]34.答案：(0,0)

解析：y′=3x2−3，y″=6x，令y35.答案：14

解析：|a36.答案：exy(1+xy)

解析：∂z∂x=ye37.答案：1

解析：该级数为等比级数，首项a=12，公比q=138.答案：y=Ce2x

解析：分离变量得dyy=2dx，积分得39.答案：0.2

解析：独立事件满足P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2。40.答案：73

解析：E(X)=1×三、计算题（每小题5分，共50分）41.解：由洛必达法则，limx→042.解：y′=2x43.解：令u=x，则du=1244.解：用分部积分法，设u=x，dv=exdx，则du=dx，v=ex45.解：①定义域为(−∞,+∞)；②f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)；③令f′(x)=0，得驻点x=−1，x=3；

④单调区间：当x<−1或46.解：所求直线与已知直线平行，故方向向量相同，为s→=(3,