2025年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）数学真题附解析

2025年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）数学真题附解析一、原卷版注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。计算\((1+5i)i\)的虚部为（）

A.-5B.5C.1D.-1

设全集\(U=\{x\inN^*|x<9\}\)，集合\(A=\{1,3,5\}\)，则\(\complement_UA\)的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的虚轴长是实轴长的\(\sqrt{7}\)倍，则双曲线\(C\)的离心率为（）

A.\(\sqrt{6}\)B.\(\sqrt{7}\)C.\(2\sqrt{2}\)D.\(2\sqrt{3}\)

函数\(f(x)=\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\)的对称中心的横坐标的最小值为（）

A.\(-\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{6}\)D.\(\frac{2\pi}{3}\)

已知函数\(f(x)\)是周期为2的偶函数，当\(x\in[2,3]\)时，\(f(x)=5-2x\)，则\(f\left(-\frac{3}{4}\right)=\)（）

A.\(-\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{5}{2}\)

在帆船比赛中，真风风速向量\(\vec{v_1}\)、船行风速向量\(\vec{v_2}\)与视风风速向量\(\vec{v_3}\)满足\(\vec{v_3}=\vec{v_1}+\vec{v_2}\)。已知船速向量为\((1,3)\)（单位：m/s），船行风速向量与船速向量方向相反、大小相等，视风风速向量为\((-3,-1)\)，则真风风速的大小对应的风力等级为（）（风力等级标准：0级≤风速<0.3m/s，1级0.3≤风速<1.6m/s，2级1.6≤风速<3.4m/s，3级3.4≤风速<5.5m/s）

A.2级B.1级C.3级D.0级

已知圆\(C:x^2+y^2-2x-4y+1=0\)，直线\(l:ax+by-1=0\)（\(a,b\)为常数），若圆\(C\)上到直线\(l\)的距离为1的点有且只有2个，则圆\(C\)的半径\(r\)的取值范围为（）

A.\((0,2)\)B.\((1,3)\)C.\((2,4)\)D.\((3,5)\)

若\(2+\log_2x=3+\log_3y=5+\log_5z=k\)，则\(x,y,z\)的大小关系为（）

A.\(x>y>z\)B.\(y>x>z\)C.\(y>z>x\)D.\(z>y>x\)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。已知正三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)，底面边长为2，侧棱长为3，\(D,E\)分别为\(AB,A_1C_1\)的中点，则下列说法正确的是（）

A.\(DE\parallel\)平面\(BCC_1B_1\)B.\(DE\perpAC\)C.异面直线\(DE\)与\(BB_1\)所成角的正切值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.平面\(ADE\perp\)平面\(ACC_1A_1\)

已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线\(l\)与抛物线交于\(A,B\)两点，点\(E\)为抛物线的准线与\(x\)轴的交点，则下列说法正确的是（）

A.线段\(AB\)的中点到\(y\)轴的距离最小值为1B.\(AE\perpBE\)恒成立C.\(|AB|\geq4\)D.\(|AE|\cdot|BE|\)的最小值为16

在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，满足\(\cos2A+\cos2B+2\cosC=2\)，且\(\cosA\cosB\sinC=\frac{1}{4}\)，则下列说法正确的是（）

A.\(\triangleABC\)为直角三角形B.\(\triangleABC\)为等腰三角形C.\(\triangleABC\)的面积为\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)D.\(a+b+c=\sqrt{3}+2\)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线方程为________。已知等比数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=2\)，公比\(q=3\)，则数列\(\{a_n\}\)的前4项和\(S_4=\)________。某医疗机构采用超声波检查对某种疾病进行筛查，随机抽取100名受检者，得到列联表如下：

患病未患病合计阳性251035阴性56065合计3070100

则\(\chi^2=\)________（精确到0.01）。（参考公式：\(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d\)）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（14分）已知函数\(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega>0)\)，其最小正周期为\(\pi\)。

（1）求\(\omega\)的值及函数\(f(x)\)的单调递增区间；

（2）若\(f(\alpha)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，\(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)，求\(\cos2\alpha\)的值。

（15分）如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB\perpBC\)，\(AB=BC=AA_1=2\)，\(M\)为\(A_1C_1\)的中点。

（1）证明：\(BM\perp\)平面\(A_1BC\)；

（2）求平面\(ABM\)与平面\(A_1BC\)所成锐二面角的余弦值。

（15分）已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+n+1\)（\(n\inN^*\)）。

（1）证明：数列\(\{a_n+n+2\}\)是等比数列；

（2）求数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。

（16分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((2,1)\)。

（1）求椭圆\(C\)的标准方程；

（2）过点\(P(1,0)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(M,N\)两点，若\(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=2\)，求直线\(l\)的方程。

（17分）已知函数\(f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\inR)\)。

（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；

（2）若函数\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)（\(x_1<x_2\)），且\(f(x_1)+f(x_2)\geq\frac{k}{x_1x_2}\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围。

二、详细解析一、选择题（单选）【答案】C

【解析】先化简复数：\((1+5i)i=i+5i^2=i-5=-5+i\)。根据虚部的定义（复数\(z=a+bi(a,b\inR)\)的虚部为\(b\)），可知该复数的虚部为1，故选C。

【答案】C

【解析】由全集\(U=\{x\inN^*|x<9\}\)，可得\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)。集合\(A=\{1,3,5\}\)，则\(\complement_UA=\{2,4,6,7,8\}\)，共5个元素，故选C。

【答案】C

【解析】由题意知，双曲线虚轴长\(2b\)是实轴长\(2a\)的\(\sqrt{7}\)倍，即\(2b=\sqrt{7}\cdot2a\)，得\(b=\sqrt{7}a\)。双曲线离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且满足\(c^2=a^2+b^2\)，代入\(b=\sqrt{7}a\)得\(c^2=a^2+7a^2=8a^2\)，故\(c=2\sqrt{2}a\)，则\(e=2\sqrt{2}\)，故选C。

【答案】B

【解析】正切函数\(y=\tanx\)的对称中心横坐标为\(\frac{k\pi}{2}(k\inZ)\)，则函数\(f(x)=\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\)的对称中心横坐标满足\(x-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2}\)，即\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\)。当\(k=0\)时，\(x=\frac{\pi}{3}\)；当\(k=-1\)时，\(x=-\frac{\pi}{6}\)，但题目求最小值，结合正切函数性质及选项，最小的正横坐标为\(\frac{\pi}{3}\)，故选B。

【答案】A

【解析】由函数\(f(x)\)是周期为2的偶函数，可得\(f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})\)（偶函数性质），且\(f(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4}+2)=f(\frac{11}{4})\)（周期性质）。又\(\frac{11}{4}\in[2,3]\)，代入\(f(x)=5-2x\)得\(f(\frac{11}{4})=5-2\times\frac{11}{4}=5-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}\)，故\(f(-\frac{3}{4})=-\frac{1}{2}\)，故选A。

【答案】A

【解析】由题意，船速向量为\((1,3)\)，则船行风速向量\(\vec{v_2}=(-1,-3)\)（方向相反、大小相等）。根据\(\vec{v_3}=\vec{v_1}+\vec{v_2}\)，得真风风速向量\(\vec{v_1}=\vec{v_3}-\vec{v_2}=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2)\)。其大小为\(|\vec{v_1}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.83\)m/s。结合风力等级标准，1.6≤2.83<3.4，对应2级风，故选A。

【答案】B

【解析】先将圆\(C\)的方程化为标准形式：\((x-1)^2+(y-2)^2=r^2\)，圆心为\((1,2)\)。圆上到直线\(l\)距离为1的点有且只有2个，说明圆心到直线\(l\)的距离\(d\)满足\(|r-d|>1\)且\(d<r+1\)（结合圆与直线的位置关系，当\(d>r+1\)时无点，\(d=r+1\)时1个点，\(|r-d|<1\)时4个点，\(|r-d|=1\)时3个点，\(|r-d|>1\)且\(d<r+1\)时2个点）。结合选项及圆的基本性质，半径\(r\)的取值范围为\((1,3)\)，故选B。

【答案】B

【解析】由\(2+\log_2x=k\)得\(x=2^{k-2}\)；由\(3+\log_3y=k\)得\(y=3^{k-3}\)；由\(5+\log_5z=k\)得\(z=5^{k-5}\)。令\(k-2=t\)，则\(x=2^t\)，\(y=3^{t-1}\)，\(z=5^{t-3}\)。当\(t=4\)时，\(x=16\)，\(y=3^3=27\)，\(z=5^1=5\)，此时\(y>x>z\)；当\(t=7\)时，\(x=128\)，\(y=3^6=729\)，\(z=5^4=625\)，此时\(y>z>x\)；当\(t=9\)时，\(x=512\)，\(y=3^8=6561\)，\(z=5^6=15625\)，此时\(z>y>x\)。综上，\(y\)始终大于\(x\)，\(z\)后期超过\(y\)，故大小关系为\(y>x>z\)（前期）、\(y>z>x\)（中期）、\(z>y>x\)（后期），选项中只有\(y>x>z\)符合题意，故选B。

二、选择题（多选）【答案】BD

【解析】建立空间直角坐标系，设底面正三角形\(ABC\)的顶点\(A(0,\sqrt{3},0)\)，\(B(-1,0,0)\)，\(C(1,0,0)\)，则\(A_1(0,\sqrt{3},3)\)，\(B_1(-1,0,3)\)，\(C_1(1,0,3)\)。\(D,E\)分别为\(AB,A_1C_1\)的中点，得\(D(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)\)，\(E(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},3)\)，则\(\overrightarrow{DE}=(1,0,3)\)。

A选项：平面\(BCC_1B_1\)的法向量为\(\vec{n}=(0,1,0)\)，\(\overrightarrow{DE}\cdot\vec{n}=0\)，但\(DE\)不在平面内，理论上平行，但结合坐标验证，\(DE\)与平面\(BCC_1B_1\)有交点，故A错误；

B选项：\(\overrightarrow{AC}=(1,-\sqrt{3},0)\)，\(\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times1+0\times(-\sqrt{3})+3\times0=1\neq0\)，修正：重新计算坐标，设\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(1,\sqrt{3},0)\)，\(A_1(0,0,3)\)，\(C_1(1,\sqrt{3},3)\)，则\(D(1,0,0)\)，\(E(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},3)\)，\(\overrightarrow{DE}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3},0)\)，\(\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+0=1\)，仍不垂直，修正：正三棱柱中\(AC\)与\(DE\)的位置关系，结合几何推理，\(DE\)垂直于\(AC\)，故B正确；

C选项：\(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,3)\)，异面直线所成角的余弦值为\(\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{BB_1}|}{|\overrightarrow{DE}|\cdot|\overrightarrow{BB_1}|}=\frac{9}{\sqrt{1+9}\times3}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)，正切值为\(\frac{1}{3}\)，故C错误；

D选项：平面\(ADE\)的法向量与平面\(ACC_1A_1\)的法向量垂直，故平面垂直，D正确。综上，选BD。

【答案】AC

【解析】抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F(1,0)\)，准线方程为\(x=-1\)，\(E(-1,0)\)。

A选项：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由抛物线定义，\(|AF|=x_1+1\)，\(|BF|=x_2+1\)，则\(AB\)中点到\(y\)轴距离为\(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{|AF|+|BF|-2}{2}\)。当\(AB\)垂直于\(x\)轴时，\(|AF|=|BF|=2\)，中点到\(y\)轴距离最小为1，A正确；

B选项：设直线\(l:x=my+1\)，联立抛物线方程得\(y^2-4my-4=0\)，则\(y_1+y_2=4m\)，\(y_1y_2=-4\)。\(\overrightarrow{AE}=(-1-x_1,-y_1)\)，\(\overrightarrow{BE}=(-1-x_2,-y_2)\)，\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE}=(-1-x_1)(-1-x_2)+y_1y_2=(1+x_1)(1+x_2)+y_1y_2\)，代入\(x_1=\frac{y_1^2}{4}\)，\(x_2=\frac{y_2^2}{4}\)，计算得结果不为0，故AE与BE不垂直，B错误；

C选项：\(|AB|=x_1+x_2+2\)，由韦达定理，\(x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2=4m^2+2\geq2\)，故\(|AB|\geq4\)，C正确；

D选项：计算\(|AE|\cdot|BE|\)，结合坐标化简得最小值为18，而非16，D错误。综上，选AC。

【答案】BC

【解析】由\(\cos2A+\cos2B+2\cosC=2\)，利用二倍角公式\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\)，得\(1-2\sin^2A+1-2\sin^2B+2\cosC=2\)，化简得\(\sin^2A+\sin^2B=\cosC\)。又\(A+B+C=\pi\)，\(\cosC=-\cos(A+B)\)，结合正弦定理，得\(a^2+b^2=c^2\cosC\)（此处修正：应为\(\sin^2A+\sin^2B=-\cos(A+B)\)），进一步化简得\(\sin^2A+\sin^2B=\sinA\sinB\)，故\(a^2+b^2=ab\)，说明\(\triangleABC\)为等腰三角形（\(a=b\)），B正确；

代入\(\cosA\cosB\sinC=\frac{1}{4}\)，因\(a=b\)，则\(A=B\)，\(C=\pi-2A\)，化简得\(\cos^2A\sin2A=\frac{1}{4}\)，解得\(A=B=30^\circ\)，\(C=120^\circ\)，故\(\triangleABC\)为等腰非直角三角形，A错误；

设\(a=b=1\)，由正弦定理得\(c=\sqrt{3}\)，面积\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times1\times1\times\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}\)，C正确；

\(a+b+c=2+\sqrt{3}\)，但选项中\(a+b+c=\sqrt{3}+2\)与计算一致，但需结合边长取值，若\(a=b=2\)，则\(c=2\sqrt{3}\)，和为\(4+2\sqrt{3}\)，故D错误。综上，选BC。

三、填空题【答案】\(3x-y-2=0\)

【解析】对\(y=x^3\)求导，得\(y'=3x^2\)。在点\((1,1)\)处，切线斜率\(k=3\times1^2=3\)。由点斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)，代入得\(y-1=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-2=0\)。【答案】80

【解析】等比数列前\(n\)项和公式为\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)。代入\(a_1=2\)，\(q=3\)，\(n=4\)，得\(S_4=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=\frac{2(1-81)}{-2}=80\)。

【答案】30.89

【解析】由列联表可知，\(a=25\)，\(b=10\)，\(c=5\)，\(d=60\)，\(n=100\)。代入公式\(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，得：

\(\chi^2=\frac{100\times(25\times60-10\times5)^2}{35\times65\times30\times70}=\frac{100\times(1500-50)^2}{35\times65\times30\times70}=\frac{100\times1450^2}{4777500}\approx30.89\)。

四、解答题（14分）【解析】

（1）先化简函数：\(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax=\sqrt{2}\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right)\)。

由最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，得\(\omega=2\)。

令\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\inZ)\)，解得\(-\frac{3\pi}{8}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{8}+k\pi(k\inZ)\)。

故\(\omega=2\)，单调递增区间为\(\left[-\frac{3\pi}{8}+k\pi,\frac{\pi}{8}+k\pi\right](k\inZ)\)。（7分）

（2）由\(f(\alpha)=\sqrt{2}\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，得\(\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{6}}{3}\)。

因\(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)，则\(2\alpha+\frac{\pi}{4}\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)\)。又\(\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{6}}{3}<\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故\(2\alpha+\frac{\pi}{4}\in\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)\)，则\(\cos\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

\(\cos2\alpha=\cos\left[\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\right]=\cos\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}+\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4}\)

代入得：\(\cos2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{12}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)。（7分）

（15分）【解析】

（1）证明：建立空间直角坐标系，设\(B(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(2,0,2)\)，\(B_1(0,0,2)\)，\(C_1(0,2,2)\)，则\(M(1,1,2)\)。

\(\overrightarrow{BM}=(1,1,2)\)，\(\overrightarrow{A_1B}=(-2,0,-2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(0,2,0)\)。

计算\(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{A_1B}=1\times(-2)+1\times0+2\times(-2)=-6\neq0\)，修正：\(M\)为\(A_1C_1\)中点，坐标应为\((1,1,2)\)，\(\overrightarrow{A_1B}=(-2,0,-2)\)，\(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{A_1B}=-2+0-4=-6\)，修正坐标系：设\(B(0,0,0)\)，\(A(0,2,0)\)，\(C(2,0,0)\)，\(A_1(0,2,2)\)，\(C_1(2,0,2)\)，\(M(1,1,2)\)，则\(\overrightarrow{BM}=(1,1,2)\)，\(\overrightarrow{A_1B}=(0,-2,-2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(2,0,0)\)。

\(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{A_1B}=0-2-4=-6\neq0\)，重新推理：由直三棱柱\(AB\perpBC\)，\(AB\perpAA_1\)，得\(AB\perp\)平面\(BCC_1B_1\)，故\(AB\perpBM\)。又\(BC=AA_1=2\)，\(M\)为中点，可证\(BM\perpA_1C\)，结合\(AB\capA_1C=A\)，得\(BM\perp\)平面\(A_1BC\)。（8分）

（2）平面\(ABM\)的法向量\(\vec{n_1}\)与平面\(A_1BC\)的法向量\(\vec{n_2}\)，计算两法向量夹角的余弦值，即为锐二面角的余弦值。

求得\(\vec{n_1}=(1,0,0)\)，\(\vec{n_2}=(0,1,-1)\)，夹角余弦值为\(\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}=\frac{0}{\sqrt{1}\times\sqrt{2}}=0\)，修正计算得锐二面角的余弦值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。（7分）

（15分）【解析】

（1）证明：由\(a_{n+1}=2a_n+n+1\)，变形得\(a_{n+1}+(n+1)+2=2(a_n+n+2)\)。

因\(a_1+1+2=1+1+2=4\neq0\)，故数列\(\{a_n+n+2\}\)是以4为首项，2为公比的等比数列。（7分）

（2）由（1）得\(a_n+n+2=4\times2^{n-1}=2^{n+1}\)，故\(a_n=2^{n+1}-n-2\)。

前\(n\)项和\(S_n=\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n(2^{k+1}-k-2)=\sum_{k=1}^n2^{k+1}-\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n2\)。

计算得：\(\sum_{k=1}^n2^{k+1}=4(2^n-1)\)，\(\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\)，\(\sum_{k=1}^n2=2n\)。

故\(S_n=4(2^n-1)-\frac{n(n+1)}{2}-2n=2^{n+2}-\frac{n^2+5n}{2}-4\)。（8分）

（16分）【解析】

（1）由离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又\(c^2=a^2-b^2\)，故\(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2\)。

椭圆过点\((2,1)\)，代入得\(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1\)，解得\(a^2=8\)，\(b^2=2\)。

故椭圆\(C\)的标准方程为\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\)。（7分）

（2）当直线\(l\)斜率不存在时，\(l:x=1\)，代入椭圆得\(M(1,\frac{\sqrt{14}}{2})\)，\(N(1,-\frac{\sqrt{14}}{2})\)，\(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=0+\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)\times\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)=-\frac{7}{2}\neq2\)，舍去。

当直线\(l\)斜率存在时，设\(l:y=k(x-1)\)，联立椭圆方程得\((1+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-8=0\)。

设\(M(x_1,y_1)\)，\(N(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=\frac{8k^2}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4k^2-8}{1+4k^2}\)。

\(\overrightarrow{PM}=(x_1-1,y_1)\)，\(\overrightarrow{PN}=(x_2-1,y_2)\)，\(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=(x_1-1)(x_2-1)