福建福州市2025-2026学年高三5月质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建福州市2025-2026学年高三5月质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1,2,3，集合B={xx+1x−2<0}A.3 B.0,1 C.−1,0,1,2 D.−1,0,1,2,32.若复数z满足z1+i=7−i，则z=A.100 B.25 C.10 D.53.某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为(

)A. B.

C. D.4.已知圆台的上､下底面面积分别为S′,S，且S=4S′，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为(

)A.7π4 B.7π C.14π D.5.已知点π2,0是函数fx=sinωx+A.13 B.23 C.436.记Sn为等比数列an的前n项和，设甲：S1,S3A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若AE=EF，则(

)

A.AF=45AB+35AD 8.已知2log2x−x=0,3log3y−y=0,5loA.x<y<z B.x<z<y C.z<x<y D.z<y<x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知cosx+y=13A.当x=π时，cosy=13

B.当y=−π2时，sinx=13

C.当x=y10.已知函数

fx=x3A.

若

fx

是奇函数，则

b=0

B.

若

fx

是增函数，则

b2−3c>0

C.

fx

所有零点的平方和等于

b2−3c

11.在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点F2,0的距离相等的点的轨迹是C，则(

)A.点1,0在C上

B.存在斜率为1的直线与C恰有3个公共点

C.当且仅当a≤−2，圆(x−a)2+y2=8与C恰有4个公共点

D.存在定点P，过三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列an满足a1=2，an+1=1−1an，则数列13.等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=4x的焦点，另外两个顶点都在该抛物线上，这个三角形的边长为

．14.共有3枚质地均匀的硬币，每枚硬币抛出后正面朝上与反面朝上的概率均为12.第一次将三枚硬币同时抛出，之后每次从当前反面朝上的硬币中任意选取2枚同时抛出，直到反面朝上的硬币数少于2枚时停止操作.当停止操作时，所有硬币均为正面朝上的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2+c(1)求B；(2)若bsinA=4316.(本小题15分)近年，国家不断加大反诈宣传力度.“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸到特定组合即可获得大额奖金为诱饵，吸引路人参与.已知袋中装有2个红球，3个黄球，4个蓝球，这9个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者从袋中随机摸出5个球，若其中三种颜色球的个数比为0:1:4(所述比例不固定对应具体颜色，下同)，则获得100元奖金；若其中三种颜色球的个数比为0:2:3，则获得5元奖金：若其中三种颜色球的个数比为1:l:3，则没有奖金也不需付钱：仅当其中三种颜色球的个数比为1:2:2时，需要支付10元．(1)求摸球者摸球一次获得100元奖金的概率；(2)试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局．17.(本小题15分)在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB//CD，PA=AB=2,BC=CD=DA=1．(1)证明：平面PBD⊥平面PAD；(2)若M为棱PB上一点(不含端点)，直线DC与平面MAD所成角的正弦值为217，求PM18.(本小题17分)已知椭圆

Γ1:x2a2+y2b2=1a>b>0

的右顶点为

A

，上顶点为

B

，

AB=25

，

▵OAB

的面积为

4O为坐标原点

.

以

O

为中心、焦点在

x

轴上的椭圆

Γ2

在

Γ1

的内部，且与

Γ1(1)求

Γ1

(2)求

k1k(3)若

Γ2

的长轴长为

4，是否存在定点

P

，当过

P

的动直线

l

与

Γ1

交于两点

M

，

N

，

与

l1

交于点

Q

时，都有

MP⋅QN=MQ⋅PN

?

若存在，写出

19.(本小题17分)已知函数fx(1)讨论fx(2)关于x的方程fx=k有两个实根uk(i)求a的取值范围；(ii)当k∈N∗时，记Sk=u参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.C

8.B

9.BD

10.AD

11.ABD

12.5

13.8±414.51815.解：(1)因为a2+c2−因为▵ABC的面积为103，所以12得tanB=3，因为B∈(2)由(1)可得，ac=40，由正弦定理asinA=因为bsinA=43，所以则由a2+c设线段BC的中点为D，则cos=A得2AD2=故BC边上的中线长为

16.解：(1)因为摸球者摸球一次获得100元奖金，所以摸到三种颜色球的个数比为0:1:4，共有两种情况，0个红球，1个黄球，4个蓝球；0个黄球，1个红球，4个蓝球．设“摸球者摸球一次获得100元奖金”为事件A，则PA(2)设摸球者收益为X，则X的可能取值是100，5，0，−10，由(1)知PX=100因为获得5元奖金的情况有：0个红球，2个黄球，3个蓝球；0个红球，2个蓝球，3个黄球；0个黄球，2个红球，3个蓝球；0个蓝球，2个红球，3个黄球，所以P因为没有奖金也不需付钱的情况有：1个红球，1个黄球，3个蓝球；1个红球，1个蓝球，3个黄球，所以PX=0因为需要支付10元.的情况有：1个红球，2个黄球，2个蓝球；1个黄球，2个红球，2个蓝球；1个蓝球，2个红球，2个黄球，所以PX=−10所以EX即摸球者参与一次游戏，平均要损失514

17.解：(1)在底面梯形ABCD

中，AB//CD，AD=BC=1，CD=1，AB=2．过点D

作DE⊥AB

于点E，过点C

作CF⊥AB

于点F，则EF=CD=1，AE=BF=AB−CD在▵ADE

中，AD=1，AE=12在▵BDE

中，BE=AB−AE=2−12=由勾股定理得：BD=在▵ABD

中，AB=2，AD=1，BD=因为AD2+BD2因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又AD⊥BD，PA∩AD=A，所以BD⊥

平面PAD．因为BD⊂

平面PBD，所以平面PBD⊥

平面PAD，证毕．(2)以A

为原点，AB所在直线为x

轴，过A

且垂直于AB

的直线为y

轴，AP所在直线为z

轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A0,0,0，B2,0,0，P点M

在棱PB上，设PMPB=λ

则：PM=λ因为P0,0,2向量：AD设平面MAD

的法向量n=则n⋅AD=1所以：n=所以直线DC

与平面MAD

所成角的正弦值为sinθ=解得

λ=12

18.(1)依题意得：

a解得

a=4,b=2

，则

Γ1

的方程为：(2)因为两椭圆的离心率相同，故

Γ2

的方程可设为

x2设切线

l1

的方程为

y=k1x−4

，切线由

x216+y24由

Δ=0

，得

k12同理得

k22所以

k12k22=(3)易得

Γ2

的方程为

x2设

l1

的方程为

x=ty+4

，由

x24由

Δ=0

，得

t=±2当

l1

的方程为

x+2由

x216+y24=1,x+23y−4=0,

假设定点

P

存在，当

l

与

Γ1

相切于点

A

或

C

时，

M,由此猜想分别以

A,C

为切点的两切线的交点就是定点

P当切点为

A

时，切线方程为

x=4

，当切点为

C

时，切线方程为

x−23y+8=0下证当

P

为

4,23设

l:yMP⋅QN=MQ⋅PN化简得

8x0由

x+23y−4=0,y由

y−23=kx所以

x1+所以

8===0

．即

4−x1即存在

P4,23

，满足

当

l1

的方程为

x−23y−4=0综上，当

l1

为

x+23y−4=0

时，存在定点

P4,23

满足条件;

当

l1

为

19.解：(1)由题设可得fx定义域为