北师大版《中职数学（拓展模块一 下册）》第13课 组合数的两个性质 教学设计

北师大版《中职数学(拓展模块一下册)》

第13课组合数的两个性质教学设计

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级具

北师大版《中职数学(拓展模块二下册):

»第13课《组合数的两个性质》主要包

括以下内容：

1.组合数的基本概念和表示方法；

教学内2.组合数的性质一：组合数在n与n-1之间的递推关系，即C(n,k)=C(n・l,k-1)+

容C(n-1,k)；

3.组合数的性质二：组合数的对称性质，即C(n,k)=C(n,n-k)；

4.结合具体实例，运用组合数的两个性质解决实际问题；

5.练习相关题目，巩固对组合数性质的理解和应用。

培养学生逻辑思维能力和数学抽象能力，通过探究组合数性质，发展学生的数学推

核心素理和数学建模素养；在解决实际问题的过程中，提升学生的数据分析能力；同时，

养FI标通过小组合作和讨论，增强学生的交流与合作意识，培养其独立思考和解决问题的

能力。

重点：理解组合数的定义及其两个性质，并能运用这些性质解决实际问题。

难点：1.组合数递推关系的推导和理解；2.组合数对称性质的应用。

解决办法：

1.对于组合数的定义，通过具体实例引入，如从n个不同元素中选取k个元素的

组合方式，帮助学生形象理解。

重点难2.通过数学归纳法和实例演示，引导学生发现并理解组合数的递推关系，如通过

点及解树状图或列举具体数值来展示的成立。

C(n,k)=C(n-lzk-1)+C(n-lzk)

决办法3.对于组合数的对称性质，可以通过具体例子，如C(5,2)=C(5,3),让学生观察并

发现组合数在n与n-k时是相等的。

4.针对难点，采用问题驱动的教学方法，设计一系列由浅入深的练习题，让学生

在解答过程中逐渐掌握解题技巧。

5.在课堂上进行小组讨论，让学生相互解释和讨论，加深对组合数性质的理解，

并通过反馈和修正，提高解决问题的能力。

1.教学方法：

-讲授法：讲解组合数的基本概念和性质，确保学生掌握基础知识。

-讨论法：分组讨论组合数性质的应用实例，促进学生思考和交流。

教学方

-练习法：通过大量练习题巩固学生对组合数性质的理解和运用。

法与手

2.教学手段：

段

-多媒体演示：使用PPT展示组合数的递推关系和对称性质，增强直观性。

-教学软件：利用数学软件进行组合数的计算和验证，提高学习效率。

-网络资源：引导学生查阅相关网络资源，拓展知识面，增强学习的深度和广度。

1.导入新课

・"同学们，大家好！今天我们将学习一个新的概念一一组合数的两个性质。在正式

开始之前，请大家回想一下，我们之前学过哪些与组合有关的知识？"

2.基础知识回顾

很好，我们学过排列组合的基本概念，比如排列数和组合数。那么，什么是组合

数呢？请大家翻开书本第93页，我们一起回顾一下组合数的定义。"

请一位同学来回答，什么是组合数？”

3.引入组合数性质

・“很好，组合数是从n个不同元素中取出k个元素的所有可能组合的个数。现在，

我们来探究组合数的两个重要性质。〃

4.性质一：递推关系

-“首先，我们来看性质一。请大家观察书本第94页的例题，理解C(n,k)=C(n-1,k-1)

+C(n-l,k)是如何得出的。"

现在，我想请大家尝试用数学归纳法来证明这个性质。哪位同学愿意来尝试一

下？”

5.学生尝试证明性质一

很好，这位同学已经给出了一个很好的证明。现在，请大家跟随我在黑板上一起

写出这个证明过程。”

6,性质二：对称性质

-“接下来，我们来看性质二。请大家阅读书本第95页的内容，理解C(n,k)=C(n,n-k)

的意义。〃

教学过-“我们通过一个具体的例子来验证这个性质，比如C(5,2)和C(5,3)。请大家拿出纸

程笔，跟随我一起计算这两个组合数.〃

7.学生计算验证性质二

，很好，大家都计算出来了。我们可以看到，C(5,2)确实等于C(5,3)。这个性质在

解决一些组合问题时非常有用。〃

8.应用性质解决实际问题

-“现在，我们来应用这两个性质来解决实际问题。请大家翻开书本第96页，我们

来看第一个应用题。”

，请一位同学来分享一下他是如何运用组合数的性质来解答这个问题的.〃

9.学生分享解题过程

•“很好，这位同学的解答很清晰。现在，请大家尝试解决书本上的第二个应月题。

如果你遇到了困难，可以和旁边的小伙伴讨论一下。”

10.小组讨论与展示

-“我看到很多同学都已经完成了，现在请每个小组选一位代表来展示你们的解题过

程。”

11.总结与反馈

-“通过大家的展示，我们可以看到，大家都能很好地运用组合数的性质来解决闰题。

现在，我们来总结一下今天学到的内容。”

首先，我们回顾了组合数的基本概念，然后学习了组合数的两个性质：递推关系

和对称性质。我们还通过具体的例子和应用题，学会了如何运用这些性质来解决问

题。”

12.课堂练习

接下来，请大家完成书本第97页的练习题。这些题目旨在巩固我们对组合数性

质的理解和应用，〃

13.练习题讲解

现在，我们来讲解一下练习题。请大家注意，解答这些题目时，要注意运用我们

刚刚学到的性质,〃

14.课堂小结

通过今天的学习，我们不仅掌握了组合数的基本概念，还学会了如何运用组合数

的性质来解决实际问题。希望大家能在课后继续练习，加深理解。”

15.作业布置

・“最后，请大家完成书本第98页的课后作业。明天我会检查大家的作业，希望大

家都能认真完成，〃

16.结束语

今天的课就到这里，谢谢大家的积极参与。下节课我们继续学习组合数的其他性

质和应用。下课！〃

1.理解并掌握了组合数的基本概念。学生能够明确组合数的定义，知道如何从n

个不同元素中取出k个元素的所有可能组合的个数。

2.成功内化了组合数的两个性质。学生不仅理解了组合数的递推关系C(n,k)=

C(n-1,k-1)+C(n-1,k),还能够运用对称性质C(n,k)=C(n,n-k)来简化问题。

3.在解决实际问题时，学生能够灵活运用组合数的性质。通过课堂练习和小组讨

论，学生能够将理论知识转化为实际操作，有效解决问题。

4.学生的逻辑思维能力和数学抽象能力得到了提升。在证明组合数性质的过程中，

学生学会了使用数学归纳法和逻辑推理，增强了数学思维能力。

5.学生通过大量的练习，加深了对组合数性质的理解。在课堂练习和课后作业中，

学生学学生能够独立完成相关题目，并在解答过程中发现并纠正错误。

习效果6.学生在小组讨论中积极互动，提高了交流与合作能力。通过小组合作，学生学

会了分享思路、领听他人意见，并在讨论中共同进步。

7.学生的数据分析能力得到了锻炼。在解决实际问题时，学生能够通过组合数的

性质来分析问题，提出合理的解决方案。

8.学生对数学学科的兴趣和热情得到了激发。通过本节课的学习，学生对组合数

的应用产生了浓厚的兴趣，对数学学科有了更深的认识。

9.学生在完成课后作业时，能够自觉复习课堂上所学知识，形成良好的学习习惯。

通过课后作业的完成，学生能够巩固所学内容，为后续学习打下坚实的基础。

10.学生在学习过程中，逐渐形成了独立思考和解决问题的能力。在课堂练习和课

后作业中，学生能够独立思考，遇到问题时能够自主寻求解决方案。

①组合数的基本概念

-组合数的定义

-组合数的表示方法

匕心入②组合数的两个性质

板书设

-性质一：递推关系C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

计

-性质二：对称性质C(n,k)=C(n,n-k)

③组合数性质的应用

-应用实例

-解题步骤与策咯

教学反在教学《组合数的两个性质》这二节课的过程中，我深刻体会到了教学方法的灵活

思与总运用和教学策略的重要性。以下是我对本次教学的一些反思和总结。

结教学反思：

在教学方法上，我尝试了讲授法、讨论法和练习法等多种教学方法。讲授法能够帮

助学生快速理解新知识，但我也发现，过多的讲授可能会让学生感到被动。因此，

我及时调整，引入了讨论法，让学生在小组内进行思考和交流，这样不仅提高了学

生的参与度，也促进了他们之间的思维碰撞。练习法则是巩固知识的有效手段，但

我也意识到，过多的练习可能会让学生感到疲劳，所以我在练习题的选择上尽量做

到了适量且具有针对性。

在课堂管理方面，我尽量营造了一个轻松和谐的学习氛围，鼓励学生提问和表达自

己的观点。然而，我也发现，在小组讨论时，有些学生可能会脱离主题，这就需要

我在课堂上更加细致地观察和引导。

教学总结：

从学生的反馈来看，他们对组合数的基本概念和性质有了清晰的认识，能够运用这

些知识解决实际句题。在知识掌握方面，学生已经能够熟练地运用组合数的递推关

系和对称性质，这在课堂练习和课后作业中都得到了体现。在技能提升方面，学生

的逻辑思维能力和数据分析能力得到了锻炼，他们能够更好地将理论知识转化为实

际操作。

在情感态度方面，学生对数学学科的兴趣明显提升，他们能够积极投入学习，主动

探索组合数的奥秘。但同时，我也发现了一些天足之处。例如，在课堂讨论中，有

些学生可能因为害羞或自信心不足而较少发言，这需要我在今后的教学中更加关注

每一位学生，给予他们更多的鼓励和支持。

针对教学中存在的问题和不足，我认为可以从以下几个方面进行改进：

1.在教学方法上，我可以尝试更多元化的教学手段，如引入数学游戏或竞赛.以

激发学生的学习兴趣。

2.在课堂管理上，我需要更加细致地观察学生的学习状态，及时调整教学节奏，

确保每位学生都能跟上课程的进度。

3.在作业布置上，我可以设计更具挑战性的题目，以培养学生的创新思维和解决

问题的能力。

教学评价与反馈

L课堂表现：

学生在课堂上的表现整体积极，能够跟随教学进度，对组合数的基本概念和性质

表现出浓厚的兴趣。在讲授新知识时，学生能够认真听讲，对重点内容进行了笔

记。在互动环节，部分学生能够主动回答问题，展示出对新知识的理解和掌握。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节，学生们积极参与，讨论氛围热烈。各小组能够围绕组合数的性质

展开讨论，提出了不少有价值的见解。在成果展示时，大多数小组能够清晰地表

达自己的观点和解题过程，展示出良好的团队协作能力。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，大多数学生对组合数的基本概念和性质有了较好的掌握。测

试题目覆盖了组合数的定义、性质及应用，学生能够正确运用组合数的递推关系

和对称性质解决问题。但仍有少数学生对某些概念的理解不够深入，需要进一步

加强巩固。

4.课后作业反馈：

课后作业的完成情况良好，学生们能够按照要求完成作业，且作业质量较高。在

作业批改过程中，我发现学生们在解题过程中能够灵活运用课堂所学知识，但也

有一些学生在解题步骤上存在疏漏，需要我在今后的教学中加以指导。

5.教师评价与反馈：

针对本次教学，我认为学牛.们在知识掌握、技能提升和情感态度方面都取得了明

显的进步。以下是我市本次教学的评价与反馈：

-学生对组合数的基本概念和性质有了较好的理解，能够运用这些知识解决实际

问题。

-学生在小组讨论中表现出较强的团队协作能力，能够积极互动，共同解决问题。

-随堂测试和课后作业的完成情况表明，学生们在组合数的应用方面还有待提

高，需要加强练习和巩固。

-在教学过程中，我发现了自己在课堂管理、教学策略等方面的不足，如对学生

的关注不够细致，教学方法的运用不够灵活等。在今后的教学中，我将努力改进

这些问题，提高教学效果。

-对于学生在学习过程中出现的困难和问题，我将及时给予指导和帮助，确保每

位学生都能够跟上教学进度，取得较好的学习效果。

题型一：组合数性质的证明题

题目：证明组合数的递推关系C(n,k)=C(n-l,k-l)+C(n-l,k)。

解答：

证明：考虑从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)。可以分为

两类情况：

1.第一类情况是不包含元素n,这样的组合数为C(n-l,k)。

2.第二类情况是包含元素n,这样的组合数为C(n-l,k-l)。

由于这两种情况是互斥的，所以C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。

题型二：组合数性质的应用题

题目：己知C(7,3)=C(7,k),求k的值。

解答：

由组合数的对称性质C(n,k)=C(n,n-k),我们有C(7,3)=C(7,7-3)=C(7,

因此，

4)0k=4o

重点题题型