北师版高考数学一轮总复习课后习题 高考解答题专项六 概率与统计综合问题

高考解答题专项六概率与统计综合问题

1.(广东揭阳质量检测)某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅

炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗

电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气

温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：

日照情况日均气温不低于15℃日均气温低于15℃

日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时

日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时

日照严重不

耗电15千瓦时耗电20千瓦时

足

根据调查，当地每天日照充足的概率为之日照不足的概率为；日照严重不

足的概率为3这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为

[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35].

⑴求图中a的值,并求一年中日均气温不低于15°C的频率；

(2)用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时,

试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？(一年以365天计

算)

2.（河北邯郸一模）某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择

农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铭等重金属的含量进行了检测，

并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度

污染、重度污染）进行分级,绘制了如图所示的条形图.

Ot样品个数

Q

8

7

6

5

4

3

2

1

O

（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6

个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数;

（2）规定:轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染

度为3.从（1）中抽取的6个行政村中任选3个,污染度的得分之和记为X,

求X的数学期望.

3.（山东日照二模）为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年9月份开始采

取宏观调控措施.该部门调杳研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均

价（单位：元/斤）走势如图所示.

某年某地玉米销售均价走势

八川（元/斤）

0123456789101112

（1）该部门发现,3月到7月，各月玉米销售均价Y（单位:元/斤）与月份T

之间具有较强的线性相关关系,试建立Y关于T的线性回归方程（系数精确

到0.01）,若不调控，依据相关关系预测12月份玉米的销售均价；

（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析,

若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X,求X的分布列和

数学期望.

777

参考数据：Zti=25,£yi=5.36,X（yi-y）=0.64,

i=3i=3i=3

--n_n__.

£x；y；-nxyL（x；-x）（y；-y）"

对于线性回归方程N=a+bX,b=%,=J——4,a=y-bx.

Xxj-nxL（xx）2

i=i1i=ir1

4.(福建厦门一中模拟)某县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一

块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表：

土地使用面积S/亩19345

管理时间17月911142620

并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:

性另U愿意参与管理不愿意参与管理

男性村民14060

女性村民40

(1)求相关系数r的大小(精确到0.01),并判断管理时间T与土地使用面

积S的线性相关程度.

(2)分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关?

⑶若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，则从

该县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X,求X的分

布列及数学期望.

参考公式:对于线性回归方程Y=a+bX,

L(xi-x)(yry)

r-1=1

£(阳气)2£仇-歹)2

I一±€-1

其中2+c+d.

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

参考数据:"^^22.02.

5.（湖北华中师大一附中月考）某市消防部门对辖区企业员工进行了一次

消防安全知识问卷调查,通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人（其中

300人为女性）的得分（满分100）数据,统计结果如表所示：

[40,[50,[60,[70,[80,[90,

得分

50)60)70)80)90)100]

男性人数206040403010

女性人数107060755035

⑴把员工分为对消防知识“比较熟悉”（不低于70分的）和“不太熟

悉”（低于70分的）两类,请完成如下2义2列联表,并依据小概率值

□二0・01的独立性检验,分析该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别是

否有关？

性别不太熟悉比较熟悉总计

男性

女性

总计

（2）为增加员工消防安全知识及自救、自防能力，现将企业员工分成两人一

组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛.在每轮比赛中，小组两位成员各

答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个,则小组积1分，否则积0

分.已知A与B在同一小组,A答对每道题的概率为P1,B答对每道题的概率

为p2,且Pi+P2=l,理论上至少要进行多少轮比赛才能使A,B所在的小组的

积分的期望值不少于5分?

附:

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

n(ad-bc)2

X2n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(fc+d)'

6.某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20

000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的

预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.

得[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的

学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.

(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态

分布N(u,。＞其中u可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值

(同一组数据用该组区间的中点值代替),且。2=361.利用该正态分布，估

计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.

(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下：

①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；

②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”

掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格)，规定答第k题时

“花”掉的分数为0.2k(k=l,2,…,n);

③每答对一题得2分,答错得0分;

④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.

已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,

则当他的答题数量n为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？

参考数据:若Z~N（u,。2）,则P（口-。u+。）七0.682

6,P（u-2o<ZWu+2。）^0.9544,P（u-3。<ZWu+3。）仁0.9974.

高考解答题专项六概率与统计综合问题

L解(1)依题意得

a=-X(1-0.02X5-0.03X5-0.03X5-0.04X5-0.03X5)=0.05.

一年中日均气温不低于15℃的频率为

0.03X5+0.04X5+0.05X5+0.03X5=0.75=-3.

4

(2)由(1)知,这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为?即一年中

4

日均气温低于15℃的概率的估计值为"

设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为x,x的所有可能取值为

0,5,10,15,20,则P(X=0)=-X-=-=P(X=5)=-x-+-xi=-=

542010545420

-,P(X=10)=-xi=-=-,P(X=15)=ix-=-,P(X=20)=-xi=-.

554201054205420

所以X的分布列为

X05101520

32131

P

105102020

所以X的数学期望EX=0XX|+10X15X^+20X=乎6.25.所以

使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75（千瓦时），所

以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75X365=5018.75（千

瓦时）.

2.解⑴轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共9+6+3=18个，

所以从轻度污染的行政村中抽取的个数为白义9二3,从中度污染的行政村

18

中抽取的个数为4X6=2,从重度污染的行政村中抽取的个数为2X3=1.

Iolo

（2）X的所有可能取值为3,4,5,6,7.

C31C13

-3_P4\2

--=--

7一

-,(X3

C3C

620610

C2C1C13

332

P烂

6)-

PX=5)C3

610

P（X-7）二||二M所以X的分布列为

X3-1567

13331

P

2010101020

所以EX=3义畀4义务5X4+6义景7Xa5.

3.解（1）由题意

月份t34567

均价Y/（元/斤）0.950.981.111.121.20

7

t=5,y=l.072,£(trt)2=10,

i=3

•n_

£(yry)"_

Ab=---------=0.064Po.06,a=y-bt=0.752Po.75..••从3月至I」7

2(0々)

月，Y关于T的线性回归方程为Y=0.06T+0.75.当T=12时，代入回归方程得

Y=1.47,即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤.

(2)X的取值为1,2,3,

P(X=l)=导=9P(X=3)="产=

。125555

P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=||,

X的分布列为

X123

p12727

555555

EX=1X—+2X—+3X—=—

55555555

1+2+3+4+5_口9+11+14+26+20

4.解（1）由题意可得3=o=16,・・

55

5

E(Si-s)(t-t)=(-2)X(-7)+(-l)X(-5)+0X(-2)+1X10+2X4=37,

i=l

559

£(s-s)2£(tt)=[(-2)2+(-1)2+0+1+21X[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42]=

i=li=lr

1940,.••尸磊^=0.84,・••管理时间T与土地使用面积S具有较强的正相

关性.

(2)由题意可知,

性别愿意参与管理不愿意参与管理总计

男性村民14060200

女性村民4060100

总计180120300

根据列联表中的数据,得x'黑黑黑：鬻；25>6.635,有99%的把握

认为村民的性别与参与管理的意愿有关.

(3)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,X~B(3,

P(x=。)窃盗；

2

P(X=l)=C|g)xl=^：

2

p(x=2)=cfix(l)=^:

3

P(X=3)=g)=喂.・・.X的分布列为

X0123

6448121

p

125125125125

3

・・・EX=OX—+1X—+2X—+3X—=

1251251251255

5.解⑴

性别不太熟悉比较熟悉总计

男性12080200

女性140160300

总计260240500

根据列联表中的数据,计算可得xJ•叱二2彳6二4：对弋&547）6.635.

260x240x200x300

有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关联.

⑵A,B在一轮比赛中积1分的概率为

P=©Pl（1-pi）C；（P2）弘Pi）”禺P2（1—P2）+废（Pi）"C2（P2）2=2piP2（P1+P2）-3（P1P

2

2）,

1

又Pi+p=l,0Wp2〈l,则PlP2=（l-p）p^0,-.

2224J

2

2

/.P=2p