Matlab模拟静电场三维图与恒定电流场模拟静电场

Matlab模拟静电场三维图与恒定电流场模拟静电场

1引言

对于静电场的描绘有很多方法以及改进。代伟等人对传统的恒定电流法模拟

静电场的实验做出了导电介质、等位点观测以及等位点记录等方面做了改进，便

实验结果更加精确。而对于Matlab描绘静电场中，王明美利用streamline命令描

绘出了一对点电荷的二维电力线和等势线。王静洛两点电荷的电荷量改为比值，

对Matlab描绘静电场实验进行了优化⑶。周胜利用循环和。加45解微分方程的方

法描绘出点电荷的电场。张雅男等人对恒定电流模拟静电场和matlab模拟静电

场二维情况下绘制出的图形进行比较，并且通过分析得出两种方法所得的结果相

似却并不完全一致。

本文通过比较matlab来模拟描绘电荷对之间的静电场的方法与恒定电流法

描绘静电场的方法，对两种实验的原理、过程以及结果进行比较，进而了解两种

方法之间的区别、联系以及优缺点。

2利用恒定电流场模拟静电场

2.1简介恒定电流场模拟静电场实验原理

带电体在周围空间产生的电场可以用电场强度E或者电势U来描述。由于

静电场中不会有电流，不能够用直流电表直接测量。而静电式仪表要用到金属制

的探头，当探头伸入静电场中时，静电场会发生显著变化。不能够直接在静电场

中绘制等势线。而从静电场和电流场都引入电势U,都遵守高斯定理等相似的地

方，所以可以利用恒定电流场来对静电场进行模拟。

2.2恒定电流场模拟静电场实验

当绘制点电荷对电场时，通过两个电极接到导电介质上，再在电极上加上恒

定直流电压，就可以得到了恒定电流场。

导电介质可以选取导电纸、水、导电玻璃等，本文选用的导电介质是导电纸。

实验结果可以利用等臂记录法、复写纸法、放大尺法等方法来记录。本文利

用了补偿法电路⑹和复写纸法来寻找等势点并减小误差。并且绘制出了等量异号

点电荷对形成的等势线以及电力线，并旦取点在excel中拟合出图形，如图1。

Fig.lThepowerlineandpotentialofapairofdiffient

classequivalentpointcharges

图1显示：等量异种点电荷等势线越靠近电荷越密集。电力线起于正电荷终

于负电荷。

3利用Matlab模拟静电场

3.1简介Matlab部分编程命令

P1013是画三维曲线的命令，可以描绘出空间中立体电力线。

Surf是将三维网格连成曲面的命令，可以形成三维空间下的电势面。

Contour是等高线命令，可以画出平面等势线。

Gradient是求梯度的命令。由于电场强度是电势的负梯度⑺公式：

aiz—

E=-"—e,利用命令|Ex,Ey］二gradicnt(-U),求出电场在空间各点的x分量和y

onn

分量。

Ode45是matlab中一个常用的解微分方程的命令。

3.2实现Matlab模拟静电场编程

3.2.1点电荷对电力线画法

常用的点电荷对电力线画法有两种：第一种叫做切线法，第二种是解微分方

程⑶，本文应用第二种方法。

设电荷量为ql、q2的两点电荷在(-1Q0)处和(1,0,0)处，空间任意一点p(x,y)。

由于电场里面任意一点电场线的切线方向就是该点的场强方向，可以得到：

—,引入参变量t：—=^-=r,利用库伦定理和场强叠加原理，则可以

EydyExEy

求出两点电荷在p点的场强分别为：

2

F_%.[(x+D'+MF-k

।2[―唯

计算其和场强为：

E=E}+E2

又如川)「一包一一+一丝―/

口+1)2+)，2筱[(X-1)24-FP[(X+If+W[。-1)2+),2「

=E1i+Eyj

由此我们可以得到电力线的微分方程：

空_E_幽*+1)kq式x-l)

dt'[(x+l)2+y2]%t(x-l)2+y2]^

^y=E=kq)।kq2y

dt'[U+l)2+/]^[(x-1)24-/1^

在计算公式中静电力常量&=9.0x109%•〃/・。-2,由于我们运用matlab模拟绘

图，可以将k值取为1,所得出的静电场图形不变网。

将此微分方程编成函数文件：

functiondxdy=funl(t,p,flag,ql,q2);

dxdy=[q1*p(1)./(sqrt((p(2)+1).A2+p(1).A2).A3)+q2*p(1)./(sqrt((p(2)-1).A2+p(1).A2).A3

)；

q1*(P⑵+l)./(sqrt((p(2)+1).八2+p(1).八2).八3)+q2*(p(2)・1)./(sqrt((p⑵-1).八2+p(l).人2).八

3)]；

end

命名为fun1.mo

接下来利用上面编辑好的微分方程函数来绘出等量同种点电荷对的电力线。

首先可以将电荷量设为e的倍数，我们在输入电荷量的时候就可以简化为输入实

数来描绘静电场了。C1C,

clear,closeall%清除命令

ql=2;q2=2;%确定两点电荷的电荷量

a=l;%设定两点电荷到原点的距离

a0=0.1;%设定点电荷的半径

figure(1);%建立图形窗口1

boxon;%形成框状坐标轴

holdon;%控制图像不可擦除模式

xlabcl('X,,,fontsizc\16);ylabcl('Y\'fontsize,,16);zlabcl('Z\,fontsizc',16);

%标注乂,丫2轴，字号16

3

ft,p,l]=sphere;%形成球形坐标矩阵

surf(a()*t+l,a()*p+(),a()*l+());%在(1,0,0)处画出第一个点电荷

surf(a0*t-1,a0*p+0,a0*l+0);%在(-1,0,0)处画出第一个点电荷

xO=2;yO=2;zO=l;%设定坐标范围

x=linspace(-x0,x0,20);y=linspace(-y0,y0,20);%设定坐标向量

z=Iinspace(-z0,z0,20);%设定坐标向量

[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);%设置坐标网格

q=0:pi/5:2*pi;%确定电场线在圆周上的起始角度

al=a0*cos(q);bl=-l+a0*sin(q);b2=l+a0*sin(q);%起点对应的相对坐标

xm=[alal];ym=[b1b2];%设定起点横、纵坐标构成的矢量

th0=0:pi/4:2*pi;%设定绕X轴的旋转角

fori=l:22;%设置循环，循环22次求解

[t,p]=ode45Cfun1[0:0.05:40],[xm(i),ym(i)],[],q1,q2);

%调用ode45解微分方程

xx=p(:,2);yy=p(:,l);%将解微分方程产生的值分别装入并且

形成坐标矩阵(注意：p(2)是横坐标值，p(l)是纵坐标值)。

XX=xx*ones(size(thO));YY=yy*cos(thO);ZZ=yy*sin(thO);

%将得到的二维坐标绕X轴旋转

plot3(XX,YY,ZZ,T);%用红色回出立体电力线

end

运行此程序可以得到等量同号点电荷对之间的电力线，在得出的窗口中可以

利用3D模式从各个角度观察电力线。本文截取了两个方向的图分别是如图2中

的(a)和(b).

4

(b)

图2等量同号点电荷对之间的电力线

Fig.2Thepowerlineofapairofsameclass

equivalentpointcharges

图2中显示：等量同种点电荷对产生的电力线是关于两点电荷连线的垂直平

分面对称。

将程序中的电荷量改为“ql=2；q2=6"，可以得到不等量同号电荷对之间的

电力线，如图3中的(a)和(b)。

5

(b)

图3不等量同号电荷对之间的电力线

Fig.3Thepowerlineofapairofsameclass

differentamountspointcharges

图3中显示：不等量同号点电荷之间的电力线偏向电荷量较弱的电荷。

上述程序中，本文通过将解微分方程得出的二维坐标(xx,yy),通过旋转

的方法形成新的三维坐标(XX,YY,ZZ)；由于是绕X轴旋转，则横坐标值不用

变化，直接将原来的xx乘以一个全一矩阵形成三维情况下的横坐标矩阵，而三

维情况卜的纵坐标和竖坐标，通过空间几何我们可以得到：新纵坐标二原纵坐标

xcos(旋转角度)、新竖坐标=原纵坐标xsin(旋转角度)。

3.2.2点电荷对电势面画法

同样由库伦定理和场强叠加原理可得：E=kM3+kaA

r\2r22

则电势为：一rlr2同样为了便于计算，将电势化为：。=如+”。

接下来利用contour和surf命令画出等量同种电荷对之间形成的等势面：

clear,closeall;%清除命令

ql=2;q2=2;%确定两点电荷的电荷量

a=l;%设定两点电荷到原点的距离

x0=3;y0=3;%设定坐标范围

x=linspace(-x0,x0,60);y=linspace(-y(),y(),60);%设定坐标向量

holdon;%设置图形不可擦除模式

gridon;%设置网格开启模式

6

[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置坐标网格

rl=sqrt((X+a).A2+Y.A2):r2=sqrt((X-a).A2+Y.A2);

%计算场点到两点电荷之间的距离

U=ql./rl+q2./r2;%计算场点的电势

figure(1);%建立图形窗口1

contour(X,Y,U);%利用等高线命令画出等势线

figure(2);%建立图形窗口2

surf(X,Y,U);%画出三维情况下的等势面

运行上述程序画出了等量同种点电荷对的平面等势线如图4中的(a),以及三

维情况下的等势面如图4中的(b)。

(a)

(b)

图4等量同种点电荷对的等势图

Fig.4Theequipotentialsurfaceofapairof

sameclassequivalentpointcharges

7

图4显示：等量同种点电荷对之间的电势关于两点电荷连线的垂直平分面对

称分布的。

不等量同种点电荷对电力线以及电势面的画法和上述方法一致，只需要将程

序中的电荷量取值修改即可,例如“ql=2,；q2=6”°画出的平面等势线如图5中

的(a),三维情况下的等势面如图5中的(b)。

100•.

80.

60.

40.

20-I

4

(b)

图5不等量同种点电荷对的等势图

Fig.5Theequipotentialsurfaceofapairofsame

classdifferentamountspointcharges

图5显示：不等量同种点电荷对之间的电势在电荷量大的电荷周围高，而电

8

荷量小的电荷周围电势相对较低。

等量异种点电荷市的电势面的画法，只需要将程序中的电荷量值改为"ql=2；

q2=-2”，画出的平面等势线如图6中的(a),三维情况下的点势面如图6中的(b)。

图6等量异种点电荷对的等势图

Fig.6Theequipotentialsurfaceofapairof

sameclassequivalentpointcharges

图6显示：等量异种点电荷对产生的等势线是关于两点电荷连线的中点对

称，而越靠近点电荷正电荷周围电势为正，负电荷周围的电势为负。

不等量异种点电荷对的电势面只需将程序中的电荷量值改为"ql=2；q2=-6”,

画出的平面等势线如图7中的(a),三维情况下的电势面如图7中的(b)。

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(b)

图7不等量异种点电荷对的等势图

Fig.7Tlieequipotentialsurfaceofapairofdifferent