数学试题+答案-北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习(二)（二模）

北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习(二)

数学2026.5

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，

在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项。

(1)已知全集U={—2,-1,0,1,2},A={x∈U|x>-1),则CuA=

(A)(—2}(B)(-2,—1}

(C){-2,-1,0}(D)(-1,0〉

(2)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

(3)已知,则

(A)士(B):

(C)土(D)

(4)已知函数y=x²+4*与y=x²+2的图象关于y轴对称，则a=

(A)-2(B)

(C)(D)2

(5)在平面直角坐标系xOy中，抛物线E:y²=4x的焦点为F,点A在抛物线E上，

AB⊥x轴，垂足为B.若|FB|=2|OF|,则|AB|=

(A)2(B)2√3

(C)4(D)4√3

高三数学第1页(共6页)

(6)某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成(如图1).运动员比赛

时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线PQ加速

后从点Q切人弯道内侧分道线，即PQ与内侧分道线相切.以半圆的圆心0为原

点，建立平面直角坐标系(如图2).若|OA|=40,|PQ|=9,则直线PQ的方程为

外侧分道线

图1图2

(A)40x+9y—1640=0(B)9x+40y—369=0

(C)40x—9y—1640=0(D)9x—40y—369=0

(7)已知非零实数x,y满足2*=3,则下列各式中为定值的是

(A)x—y(B)3x—2y

(C)(D)

(8)已知a,b,c,d均为正实数，则“a+b>c+d”是“a²+b²>c²+d²”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(9)已知函数y=F(x)的部分图象如图所示，若F(x)=f(x)g(x),则f(x),g(x)可以为

(A)f(x)=sin2x,g(x)=sinx

(B)f(x)=sin2x,g(x)=cosx

(C)f(x)=cos2x,g(x)=sinx.

(D)f(x)=cos2x,g(x)=cosx

(10)已知平面向量e₁,e₂,es为不全相等的单位向量，e·e₂=e₂·es=e₃·e1.设平面向

量a为非零向量，令x=a·e₁,y=a·ez,z=a·e₃,则

(A)当x>y时，z<0(B)当|x|=ly|时，z=0

(C)存在a,使得|x|=lyl=|z|(D)当x=|a|时，y=z

高三数学第2页(共6页)

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)二项式的展开式中，含x项的系数为

(12)已知{an}为等比数列，a₁=1,a₃=4.若a₂>a₁,则aᴀ=若a₂≤a,则

{an}的前4项和为

(13)已知双曲线与有相同的渐近线，则数对(m,n)可以

为

(14)在三棱锥P—ABC中，AB=6,BC=8,AC=10.

(i)若PA⊥平面ABC,PA=3,则三棱锥的体积为;

(ii)若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12,则三棱锥体积的最大值为i

(15)已知无穷数列{an}与{b,)都不是常数列.给出下列四个结论：

①设等差数列{an},{b,}的公差分别为d₁,d₂,若{an}的项均为{bn}的项，则|dI≥|d2|;

②设等比数列{an},{bₙ)的公比分别为Q₁,q₂,若{a}的项均为{bn}的项，则|ql≥lqzl;

③设等差数列{an),{b)的公差分别为d₁,d₂,且d₁>0,d₂>0,若{an+bn}的项

均为{an}的项，又均为(bn〉的项，则d₁=d₂;

④设等比数列{an},{b,〉的公比分别为q₁,Q2,且q₁>1,q₂>1,若{an+bn}的项

均为{bn}的项，则q₁=q2,

其中正确结论的序号是

高三数学第3页(共6页)

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

在△ABC中

(I)求cosA;

(Ⅱ)若a=5,求△ABC的面积.

(17)(本小题14分)

如图，在几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ACEF,AC⊥AB,AC⊥AF,

AC//EF,AB=AC=2EF=2,DA=DC,M为BC中点，点B,D在直线AC两侧.

(I)求证：DM⊥平面ACEF;

(Ⅱ)已知AF=√6,再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使得几何体ABCDEF存在，求平面CDE与平面ABF夹角的余弦值.

条件①:DCLBF;

条件②:

条件③:点D到平面ACEF的距离为

注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条

件分别解答，按第一个解答计分.

高三数学第4页(共6页)

(18)(本小题13分)

某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，

记录并整理这些门店同一季度的产品A,B的收益数据(单位：万元),如下表：

门店

产品12345678

A5.87.28.59.511,211.912.913.7

B3.75.77.99.613.215.117.919.5

用频率估计概率.

(I)从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益

的概率；

(Ⅱ)从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B

收益的门店个数，求X的分布列及数学期望E(X);

(Ⅲ)这8个门店中，设门店i(i=1,2,…,8)的产品A,B的收益分别为x;,y:,记

数据a1,az,a3,a4,as,a₆,a?,ag

的方差为s2,数据b₁,b2,b₃,b4,bs,b6,b₇,bs的方差为弓，数据C₁₇C₂,C₃,Ca,Cs,CGs,C₂,Cg

的方差为s?,写出s2,s²,s2的大小关系.(结论不要求证明)

(19)(本小题15分)

已知椭圆W(a>b>0)的右焦点为(√3,0),且经过点

(I)求椭圆W的方程；

(Ⅱ)已知点A(a,O),T(0,t)(t≠±1).设直线x=a分别与直线y=b,y=-b交于点

M,N,直线MT与直线y=—b交于点P,直线NT与直线y=b交于点Q,直线

AT交椭圆W于另一点R,求证：P,Q,R三点共线.

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(20)(本小题15分)

已知函数f(x)=1nx,g(x)=ax²+b.当m>0.时，曲线y=f(x)在点(m,f(m))

处的切线为l,曲线y=g(x)在点(m,g(m))处的切线为L₂,且l⊥l₂.

(I)求a的值；

(Ⅱ)当时，求证：l₁与l₂的交点位于y轴右侧；

(Ⅲ)已知b>0,L₁与y轴交于点A,l2与x轴交于点B.若存在m∈(0,e)(e为自然对数

的底),使得|OA|=e|OB|,求b的最大值.

(21)(本小题15分)

已知集合A={1,2,…,n}(n≥2),M={(x,y)|x∈A,y∈A}.将M中的n²个

不同元素排成一列，得到序列：(x₁,y1),(x2,y2),…,(xn₂,yn₂),其中(xi,yi)称为该

序列的第i项(i=1,2,…,n²),若该序列的相邻项满足|x:+1一x;|+|yi+1—y;|=1

(i=1,2,…,n²—1),则称该序列为I序列.若I,序列中的项(xi,y;)(i∈{2,3,…,n²-1})

满足x;-1=x;=xi+1或y;-1=y;=yi+1,则称该项(xi,y:)具有性质T.

(I)已知(1,1),(x,2),(2,y),(z,w)为T2序列，写出x,y,z,e的值；

(Ⅱ)求证：I₃序列中存在具有性质T的项；

(Ⅲ)求证：T₁序列中具有性质T的项的个数不少于10.

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

高三数学第6页(共6页)

北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习(二)

数学参考答案及评分标准2026.5

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)B(2)D(3)C(4)A(5)B

(6)A(7)C(8)D(9)C(10)D

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)-10(12)85

(13)(√2.2)(答案不唯一)(14)2424√3

(15)①③④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)因为

由正弦定理；二，得

所以

因为0<∠A<π,0<∠C<x,所以sinA>0,sinC>0.

所以

因为c,所以；…………·6分

(Ⅱ)由(1)知，在△ABC中,所以s

由正弦定理；及a=5,得c

所以△ABC的面积为……………13分

高三数学参考答案及评分标准第1页(共6页)

(17)(共14分)

解：(I)因为平面ABCD⊥平面ACEF,平面ABCD∩平面ACEF=AC,ACC平面ACEF,

AB⊥AC,所以AB⊥平面ACEF.

取AC的中点O,连接DO.OM.

因为DA=DC,所以DO⊥AC.

因为AB⊥AC,所以DO//AB.

因为M为BC的中点，所以OM//AB

所以D,O,M三点共线，所以DM//AB.

所以DM⊥平面ACEF.…………5分

(Ⅱ)由(I)知AB⊥平面ACEF,所以AB⊥AF.

又因为AB⊥AC.ACLAF,

所以如图建立空间直角坐标系A-xyz,

选择条件②:

连接EO,

由(I)DM⊥平面ACEF,EOC平面ACEF,

所以DM⊥EO.

所以

所以C(2,0,0),),E(1,0.√⑥).

),CE=(-1.0√6)。

设平面CDE的法向量为n=(x,y,2),则

令==1,得x=√6,y=-2√2.于是n=(√6,-2√2,1)。

平面ABF的法向量为AC=(2,0,0).

设平面CDE与平面ABF的夹角为0,则

所以平面CDE与平面ABF夹角的余弦值为

选择条件③:

由(I)知DO⊥平面ACEF,所以点D到平面ACEF的距离为1

以下同选条件②.………………14分

高三数学参考答案及评分标准第2页(共6页)

(18)(共13分)

解；(I)由题意，8个门店中，产品A收益高于产品B收益的门店有3个.

所以所求概率估计为………………3分

(Ⅱ)X所有可能取值为0,1,2,3.

所以X的分布列为

X0123

P2鹅6

故X的数学期望………………10分

(Ⅲx>x>。…13分

(19)(共15分)

解：(I)由题意得,解得a²=4,b²=1.

故桔圆W的方程………5分

(Ⅱ)由(I)知M(2,1),N(2,一1),A(2,0).

直线令y=-1.得

故点P的坐标为

直线!,令y=1,得

故点Q的坐标为(

直线AT

由得(²+1x³-4tx+4²-4=0,

设R(xy),则2.即

故点R的坐标为(

高三数学参考答案及评分标准第3页(共6页)

当r≠0时，直线PQ的斜率为

所以km=k心，

当r=0时，直线PQ的方程为x=-2,R(-2,0),R在直线PQ上，

综上，P,Q,R三点共线.………15分

(20)(共15分)

解：(I)由f(x)=Inx,g(x)=ax²+b.

得,g'(x)=2ax,

所以的斜率的斜率

l:4k:=2am,

因为l,⊥l₂,

所以

即。……………5分

(Ⅱ)由(I)可得4。的方程为：的方程为

1:.4₂交点横坐标x满

所以

由于m>0.1+m²>0,

故只需证明1

因为

当0<m<1时，n'(m)<0,h(m)在(0,1)上单调递减；

当m>1时，h'(m)>0,b(m)在(1,+∞o)上单调递增.

所以h(m)的最小值为

因为,所以h(1)>0.

所以五(m)>0.

所以l与L₂的交点位于y轴右侧，………10分

高三数学参考答案及评分标准第4页(共6页)

(Ⅲ)由函的方程为

所以A(0,Inw-1.

因为0<m<e,

所以Inw-1<0.

所以|OA|=1-Inm.

由的方程为

所以1

当b>0时，|

因为|OA|=e|OB|,

所以1

所以

设.m∈(0,e),

所以'(m)在(0,e)上单调递减.

又

)时，'(w)>0p(m)单调递增；

时，(m)<0,g(m)单调递减.

所以g(m)的最大值为

所以b的最大值为