数学试卷（含答案）-安徽省合肥市2026届高三下学期5月教学质量检测（三模）

高三数学

考生注意:

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在

答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿

纸上作答无效。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合∈∣__1∣__3≤4,则∩

A.∣__1A=≤{x4NB.x∣>0},B≤=4{x<x}AB=

C.1234D.01234

{x<x}{x<x}

若则的虚部是

2.{2,,,}3{4,,,,,}

A.-3+Bz.i3=C+.-3iiDz.3

3.设向量1(3_i_2)，若丄()，则

A.-2B.a-1=,Ck.±,b1=D,.±2kaa+bk=

4.设公差为3的等差数列{}的前项和为,若9__77,则8

A.2B.3C.4D.6annSnSS=a=

5.当0时,函数的图象大致是

a<f

A

B

C

D

6.如图，半球的半径为5，从中挖去一内接圆柱1.圆柱一个底面在半球圆

面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为

000

A.9

B.11π

C.15π

D.19

π

π

7.盒中有6个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次,每次

取1个球.记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6n,事件B为“第二次取出

小球的数字为5n,则PB∣A〓

3321

A.B.C.D.

81196

8.已知双曲线ca>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为

过F2的直线与c的右支交于A,B两点.若BF1TBF2,则的值为

A.10B.3C.5D.2

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.已知两组样本数据x1,x2,…,x5和x1,x2,…,x5,y,其中y是x1,x2,…,x5的平均数,

x1,x2,…,x5不全相同,则这两组样本数据的

A.平均数一定相等

B.中位数一定相等

C.标准差一定不相等

D.第80百分位数可能相等

10.已知函数fx〓cos(2x+φ)(0<φ<π)为奇函数,则

A.f(x)的最小正周期为π

B.将fx的图象向右平移个单位可得到函数y〓sin2x的图象

C.f(x)在区间上单调递增

D.直线x〓〓f的一条对称轴

11.已知椭圆c的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率不为零

的直线l交椭圆于A,B两点,当直线l垂直于x轴时,△ABF1为等边三角形,则下列

说法正确的是

A.c的离心率为

B.存在四个点A使得△AF1F2为直角三角形

C.记7AF1F2〓α,7AF2F1〓β,则sinα+sinβ的最大值为

D.记△12的外接圆和内切圆半径分别为,则的最小值为31

AFFR,r+

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

10210

12.(__1)012…10,则8

已知点为圆22上任意一点，过点分别向直线

13.x=a+ax+ax__+2+4ax40a=

12__20和2__220作垂线，垂足分别为.则

.P的最大C值:x为+yx+y+=P

l:mx+y+m=l:xmy++m=M,N

14.已知分别是函数2的极小值点和极大值点.若,则

PMPN1212

的取值范围是

bx,xfx=axlnx+bxx>x

a

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

15.(本小题满分13分)

记△的内角的对边分别为，已知

(1)求AB；CA,B,Ca,b,CasinB=bcos

若是锐角三角形，求的取值范围

(2)A△.

b+C

16.(本小A题BC满分15分)a

如图，在四棱锥__中，底面是菱形，丄底面，是

的中点，点满足__→3__→32.

PABCDABCDPDABCDMAD

NPC=PN,PD=,DA=DB=

(1)证明:平面；

求平面与平面夹角的正切值

(2)PM//BDN.

本小题满分分

17.(PAB15)BDN

已知抛物线22，过点21的直线交于，两点.

设，，证明为定值；

(1)(1E1):y=(x22)P,:(1__1)(2E__1)AB

(2)过点Ax,2y1的另B一x,条y直线交于y，y两点，且..，求

的最小值.

P,ECDPAPB=PCPD

18.(本小题满分17分)

有编号为123…的个相同小球,≥2,从中有放回地随机取次,每次取1个

球,记为这个球中未被取到的球的个数.

,,,,"""m

已知m5

(1)X."

若，求的分布列；

(1)"=22

(ii)若m=≥2，求X3的概率；

若，都是离散m型随机变量，则证明

(2)().:Σ1

2mX=

__."

m=m

本X小题Y满分分EX+Y=EX+EYEX<

"19.("17)

已知函数.3,其中10,函数__)的最小值为

2为的导函x数.

f=baxa>,b>y=fx+fx

求的值；

(1,)gxfx

若在上单调递增，求的取值范围；

(2)b(0∞)

(3)若gx在0,+∞)的极小值点为0ln，a证明:.

gx,+xg

合肥市2026届高三年级5月教学质量检测数学参考答案、提示及评分细则

1.D∩∈I__1≤401234.故选D.

2.AA由题B意=得{xN<x}={的,虚,部,,是}-3.故选A.

3.因为z1(4__i),z,由丄()得4__20,解得±2.故选

D.

Da=,k,a+b=,kaa+bk=k=

4.A因为9__7892837,所以82.故选A.

5.B函数S的S定=义a域+为a=Ia≠0+且=≠，a排=除A，C，当时，0.

故选B.

fx{xxxa}x<afx>

6.D如图，作半球的轴截面，记半球半径为，圆柱半径为.由题意，圆柱的

高为2,则有55,故1.所以剩余几何体的表面积为222

2.219.故选0D.Rr

rR=r=r=S=πR+πR+

7π.r由r已=知条π件,184,所以故选C.

CnA=,nAB=P

8.不妨设1210,则1.设22,则12,2

22

2.在△12中,由勾股定理可得,210,所以1;同理,在

△B中,由F勾F股=定理可得,a1=)2B9F2=x,A)2F,所以=y3B.F所以=+xAF.=

+y12BFF+x+x=x=

故选B.

AFF+y+=+yy=

9.ACD不妨设1≤2≤3≤4≤5,则15对于A:第二组数

据的平均数为,故A正确;对于B:第一组数据的中位数为,第

xxxxxyx,x3

二组数据为中间两数的平均值,不一定等于3,故B错误;对于C:记第一组数据的

yx

标准差为则第二组数据的标准差为

,x

,故Cs正确;对于D:第一组数据第80百分位数为,第二组数据第80百分位

数为第5个数据,两者可能相等,故D正确.故选ACD.

s

l0.由题意,00,因0,则,故__2.对于

的最小正周期为,故A正确;对于B,将的图象向右平移个单

ABDf=cosφ=<φ<πfx=sinx

位可以得到函数__2__)__2__2,故B正确;对

A,fxfx

y=sinx=sinx=sinx+

于C,当时,2,而函数__在上单调递减,故错

误;对于__2是其对称轴,故正确.故选ABD.

xt=xy=sintC

11.ABDD记,y=f1x+=2sinLx+12,x=.对于A:直线垂D直于轴时,不妨设

,则23,因此离心率,故正确；对于B:当位

2AF1=m,AF12=n,FAF=θlx

于短轴顶点时,L12,所以椭圆上存在四个点使得△12为直角三角形,故

AF=tAF=t,FF=teAA

正确;对于则33,又

FAF<AFF

当且仅当取等号所以

BCsinα+sinβ=sinα3+β=,sinθcosθ=

故C错误;对于D:由2知,由

m=n=sinα+

x知,因此又21__2

sinsinsinRR

__,则当且仅当3取等号,故正确.故选

Srmnsinθrsinθ=cosθ=

ABD.+m=n=D

10110__令则2828即

12.45__1Σ010.__1,2,10.__145,845.

rr

13.18圆的圆心r(1__2),半径1,由题意12互相垂直且均经过定点

x=Cxr=Cx=x2a=2

__22,因此222≤()l236.≤

2

cc,r=l,lPM+PN

18.经检验等号成立.

Q,PM+PN=PQcQ+r=,PMPN=

法一:因为1)2,若函数有极大值点和极小值点,则

(1)与__’2至少有两个交点.如下图，易知0.

fx=a+lnx+bx

y=a+lnxy=bxa<

记__2恰与(1)相切时,切点为(__2),则有

__2(1)

__y2=bxy解=得a+lnx1.由题意可知m__,2bm0,又0,所以∈

__1bm0=a.a+lnm,

2b=m,m=a<b<a<

法二:,(1)2,函数有极大值点和极小值点,则0有两正实根.

即’有两实根,令,则,故在’01)上增,在(1

fx=a+lnx+bxfx=

∞)上减,又1→0,→__∞→’∞→0,所以.经检

gx=gx=gx,,+

验0时,符合题意.

g=,xgx;x+,gx

15.a解<:(1)因为所以..

即asinB=bcos,化简sin为AsinB=3sinB,c即os3,

因为sinA∈=c0os,所以co6sA分sinAsinA=cosAtanA=

(2)因为A,π，所以A

又A=sinB+sinC

所以sinB+sinC=sinB+sin分sin

sin

又△是锐角三角形,则

ABC

解得10分

所以∈1I,所以的取值范围为32.13分

证明连接交于点，连接

16.(1)<B:+<,sinB+,.(,]

因为是的M中C点,DB0,所0N以

MADAD=BC,AD//BC

又P__→C=3P__N→,所以从而,在平面PMC中,有

所以PM//0N,又PM丈平面BDN,0NC平面BDN.

所以PM//平面BDN.6分

(2)解:因为PD丄底面ABCD,以D为坐标原点,以D__→C,D__→P的方向为y轴,z轴的正方

向,建立如图所示的空间直角坐标系D__xyz.

则D(0,0,0,B3,1,0,N0,,2,A3,__1,0,P0,0,3).

所以

设m=(x1,y1,z1)为平面BDN的法向量,

则

可取m=(3,__3,1).9分

设"=(x2,y2,z2)为平面PAB的法向量,

y=0,

则即2

_3x2+y2+3z2=0.

可取"=(3,0,1).11分

设平面PAB与平面BDN的夹角为θ,则cos所以tan.

3

所以平面PAB与平面BDN夹角的正切值为.15分

2

17.解:(1)设直线AB方程:x__2=m(y__1).

联立消去x,化简可得y2__2my+2m__4=0.

所以122122__4,则(1__1)(2__1)12__(12)1__3.

所以为定值一分

y(1+__y1)=(2m__,y1)y=m3.6yy=yyy+y+=

(2)令直线__21(__1)，直线__22(__1)，

yy

22

由(1)知.11)l1__1ll2__1311),同理,.

2AB:x=myCD:x=my

3(12),

PAPB=+myy=+mPCPD=

所以22因为所以且

+3m(11312),1≠2,12≠0120.

又+m=1_+_mmmmmm+m=

2__24,

AByy

所m以m+

所以CD分

当时,0,所以1__1__≥1__,

AB

AB<CDm>CD===

当且仅当2时等号成立,所以的最小值为.15分m

解从个相同小球中有放回地随机取次，共有2种情况，的

18.(1):m(i)=525252

取值为3,4.

=X

23表示2次取球中未被取到的球的个数为3个，即2次取球中取到2个不同编

号的球，

X=

24表示2次取球中未被取到的球的个数为4个，即2次取球中取到的是同1个

编号的球，

X=

所以

所以的分布列为

P2

23X4

41

X55

P

5分

(ii)3表示次取球中未被取到的球的个数为3个，即次取球中取到2个

不同编号的球，从5个相同小球中有放回地随机取次,共有5种情况,3时

m

有X2(2=__2)种情m况,mm

5m

mmX=

C

所以3的概率为0分

(2)证明Xm:从=个相同小球中有放回地随机取球次中，定义随机变量，其中

1表示第个小球未被取到，0表示第个小球至少被取到1次，则

服从两点分"布，所以mIk

Ik=kIk=kIk

由题意知

123…,,Σ1Σ1(1),

""

k

X又m=I+I+I++,所I"以EXm=k.=EIk=k=PI=

mm

km

PIEX="因为01__1,所以

Xm="="<<

故2分

Σ1__.17

"

19.解m=:(1E)Xm<"_"_(__),因为0,所以__≥2,

当且仅当时等号成立又xx的x最小值为xx

y=f0x+fx=,ba+a__a>a2,+a

所以(__)≥22,解得1.4分

x=y=fx+fx

xx

(2)由(b1)知a+ab=3，则b=

令hx2__，x

f=axg=alna

’3x

则hx=gx=a__ln1a.x

因为’所x以在内单调递增3

x=1a,lnah∈(0∞),h0__1.

’’

(i)≥a>时,hxh0x,3+__1≥0,所以在=∈lna(0∞)内单调递增,

’’2’

则ae0x