河北省NT20名校联合体2026届高三5月质量检测数学+答案

5月高三质量检测

数学

考试说明：

1.本试卷共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填在答题卡上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A=(1,2,3,4},B={3,4,5,6},

则A∩(CyB)=

A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6}D.{7,8}

2.已知函数是奇函数，则g(-1)=

A.3B.—1C.1D.—3

3.某商场统计了5天的销售额y(万元)与当天客流量x(千人)的数据如下表：

客流量x/千人23456

销售额y/万元2.53.85.26.17.4

已知y关于x的线性回归方程为y=1.21x+a,则a=

A.0.16B.0.26C.0.36D.0.46

4.已知复数z满足|z|²+2z=2i,则z||=

A.1B.√2C.2D.√3

5.已知圆O:x²+y²=4,直线l:y=kx+2与圆O相交于A,B两点.若

|AB|=2√2,则实数k=

A.±√3B.±1D.±√2

6.已知正实数a,b满足a+b=1,则

B.D.√a+√b≥√2

7.在数列{an}中，an=1n(n²+k)—1n(n²+1),若{an}是递增数列，则实数k的取

值范围是

A.(一の,1)B.(—1,十∞)C.(一1,1)D.(1,十o)

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8.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F₁,F₂,点P在C

的右支上，且∠F₁PF₂=60°,若PF₁的中点在C的第一、三象限内的渐近线

上，则C的渐近线方程为

A.y=±√3xB.y=±2xC.y=±2√3xD.y=±3x

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

9.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E,F分别是A₁D₁和B₁C₁的中点，则

A.EF//平面ABCD

B.A₁C⊥BD

C.三棱锥A₁-ABD的体积是正方体ABCD—

A₁B₁C₁D₁体积的

D.异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为

10.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ∈(0,π).则下列说法正确的有

A.f(x)的最小正周期为π

B.若f(x)的图象关于点中心对称，则或

C.若将f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则

D.若f(x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是

11.已知函数f(x)=ax³+bx+c(a≠0),则下列说法正确的是

A.若a=b=1,则f(x)在R上单调递增

B.f(x)的图象为中心对称图形

C.若b=-3a=1,c=0,则f(x)在(m²-10,m)上有最小值的充要条件为

—1<m<3

D.若b=-3,c=1,a>1,则Vx∈「-1,17,f(x)≥0的充要条件为a≤4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知空间向量a=(2,-1,-1),b=(x,—3,1),且a⊥b.则x=

13.将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅

有两个小组的人数相等.

(1)则所有不同的分组方法有种(用数字作答);

(2)若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有种

(用数字作答).

14.已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围

是

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

某游戏公司推出抽卡活动，每次抽到稀有卡的概率为抽到普通卡的概率为

若每位玩家连续抽卡5次，且每次抽卡结果互不影响.

(1)求某位玩家恰好抽到2张稀有卡的概率；

(2)设X为某位玩家抽到的稀有卡张数，求X的数学期望和方差.

16.(本小题满分15分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

(1)求C;

(2)若a,b,c成等差数列，且a=2,设数列{an}满足an=sin”A+sin”B,求

{a}的前n项和S,.

17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,

△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求证：平面PBC⊥平面PCD;

(2)若点E在棱BC上运动，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值的最大值.

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18.(本小题满分17分)

已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,点1P(0,1)在C上.

(1)求C的方程；

(2)过点P作两条互相垂直的直线，分别交C于A,B两点(A,B均不与P

重合).

(i)证明：直线AB恒过定点；

(ii)求△PAB面积的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=1n(x+1)—ax,其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当x>0时，

(3)已知数列{an}满足a₁=1,且an+1=1n(1+an),证明：

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5月高三质量检测

数学参考答案

1.【答案】A

【解析】因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合B={3,4,5,6},所以CyB={1,2,7,8}.又因为集

合A={1,2,3,4},所以A∩(CB)={1,2}.故选A.

2.【答案】D

【解析】已知f(x)是奇函数，根据奇函数定义有f(-1)=-f(1).当x≥0时，f(x)=x²+2x,

则f(1)=3,所以g(-1)=f(-1)=-f(1)=-3.故选D.

3.【答案】A

【解析】根据表格数据可得.由于线性

回归直线=1.21x+a必过样本点的中心(x,y),将(4,5)代入方程解得â=5-4.84=0.16.故选

A.

4.【答案】B

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|²=a²+b²,,代入原方程得a²+b²+2(a+bi)=2i,整理得

(a²+b²+2a)+2bi=2i.则解得b=1,a=-1.因此z=-1+i,所以

I=1=√(-1)²+1²=√2.故选B.

5.【答案】B

【解析】圆O:x²+y²=4的圆心坐标为0(0,0),半径r=2.直线1的一般式方程为kx-y+2=0.

由弦长公式|AB|=2√r²-d²,其中d为圆心到直线的距离，则2√2=2√4-d²,得d²=2,即

解得k=±1.故选B.

6.【答案】A

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【解析】由a,b为正实数且a+b=1.

根据基本不等式当且仅当时等号成立，故A正确；

当且仅当时等号成立，故B错误；

当且仅当时等号成立，故C错误；

根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得,当且仅当时

等号成立，即√a+√b≤√2,故D错误.故选A.

7.【答案】C

【解析】.由题知n²+k>0恒成立，当n=1时，即1²+k>0,得

k>-1.讨论单调性，若{a}是递增数列，则函数随n增大而增大.已知n²+1为

正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需k-1<0,即k<1.综上，实数k的取值

范围是(-1,1).故选C.

8.【答案】C

【解析】设PF₁的中点为M,又O是F₁F₂的中点，则OM//PF₂,则∠PF₂F₁=π-∠MOF₂.设

PF₂|=m,则|PF|=m+2a.在△PF₁F₂中，由正弦定理得,则

,得.在△PF₁F₂中，由余弦定理得

4c²=(m+2a)²+m²-m(m+2a)=m²+2am+4a²,则

即.结合c²=a²+b²,整

理得所以C的渐近线方程为.故选C.

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9.【答案】ABC

【解析】如图，以A为原点，AB,AD,AA₁分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设棱长为

1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),C₁(1,1,1),D₁(0,1,1),

EF=(1,0,0),平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则EF·m=0,又EFα平面ABCD,

故EF//平面ABCD,故A正确；

A₁C=(1,1,-1),BD=(-1,1,0),则AC·BD=0,故A₁C⊥BD,故B正确；

三棱锥的体积正方体的体积V正方体ABCD-ABCD₁=1×1×1=1,

故C正确；

A₁B=(1,0,-1),B₁C=(0,1,-1),则故D错误.故选ABC.

10.【答案】AC

【解析】函数f(x)的最小正周期故A正确；

若f(x)的图象关于点中心对称，则,由于φ∈(0,π),则

解得,故B错误；

平移后得若g(x)为偶函数，则

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k∈Z,则,k∈Z,又φ∈(0,π),则,故C正确；

由,得,若在此区间递增，则

k∈Z,经检验无满足条件的4,故D错误.故选AC.

11.【答案】AB

【解析】已知函数f(x)=ax³+bx+c(a≠0),其导函数为f'(x)=3ax²+b.

当a=b=1时，则f'(x)=3x²+1>0,故f(x)在R上单调递增，故A正确；

由f(x)+f(-x)=(ax³+bx+c)+(-ax³-bx+c)=2c可知，f(x)的图象关于点(0,c)成中

心对称，故B正确；

当b=-3a=1时，,f'(x)=1-x².令f'(x)=0,得x=±1,可

得f(x)在[-∞0,-1]上单调递减，在[-1,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减.若f(x)在

(m²-10,m)上有最小值，则f(-1)一定为该区间内的最小值，又f(-1)=f(2),故

m²-10<-1<m≤2,解得-1<m≤2,故C错误；

当c=1,b=-3,a>1时，f(x)=ax³-3x+1,f'(x)=3(ax²-1).令f'(x)=0,得

可得f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

则极小值点.最小值可能在x=-1或处取得.需满足即

解得a=4,故D错误.故选AB.

12.【答案】-1

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【解析】因为a=(2,-1,-1),b=(x,-3,1),且a⊥b,所以a·b=0,整理得2x+3-1=0,解得

x=-1.

13.【答案】(1)196(2分)(2)141(3分)

【解析】(1)由题意可知，分组的人数分配情况共有以下三类：(1,1,5),(2,2,3),(3,3,1).

当人数分配为(1,1,5)时，分组方法有种；当人数分配为(2,2,3)时，分组方法有

种；当人数分配为(3,3,1)时，分组方法有种；故所有不同的分组

方法有21+105+70=196种.

(2)考虑其对立事件，即甲、乙两名志愿者在同一小组的情况：

①若分配方案为(1,1,5),甲、乙必在5人组，此时从剩余5人中选3人进入该组，共有C³=10

种；

②若分配方案为(2,2,3),若甲、乙在2人组，则该组已满，只需将余下5人分成(2,3)两组，

有C²=10种；若甲、乙在3人组，则需从余下5人中选1人，其余4人均分为两组，有

种，故此方案下甲、乙同组的方法数为10+15=25种；

③若分配方案为(3,3,1),甲、乙不能在1人组，必在其中一个3人组，从剩余5人中选1

人加入该组，余下4人分成(3,1)两组，共有C₅C³=20种；故甲、乙在同一小组的分组方法

有10+25+20=55种，则甲、乙不在同一小组的分组方法有196-55=141种.

14.【答案】(写成其他形式也给分)

【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),且m≠-1,f'(x)=Inx-x”,令Inx=x”,则In(lnx)=mlnx,

令Inx=t,t∈R,则Int=mt,,因为f(x)有两个极值点等价于f'(x)有两个不同的变

号零点，即有两个不同的实根，的图象如图所示，结合的图象，

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易得m的取值范围是

(判卷老师们好，大题的解题方法不唯一，命题老师给出的只是一种解题方法的参考答案，

如果学生答题时使用了其他方法，请判卷老师根据参考答案酌情给分。方法正确，过程无错

误，结果也正确的，都可以给满分。)

15.【解析】(1)由题意可知，玩家每次抽卡抽到稀有卡的概率为且每次抽卡相互独

立，设该玩家抽卡5次抽到的稀有卡的张数为X,则,……3分

则玩家恰好抽到2张稀有卡的概率为……7分

(2)由于所以X的数学期望,……10分

X的方差.……13分

16.【解析】(1)在△ABC中，A+B+C=π,

又由已知得，sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),……1分

即sin(B+C)+sin(A+C)=sinC(cosA+cosB),

所以sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB,……2分

化简得cosC(sinA+sinB)=0,……4分

由于A,B∈(0,π),故sinA>0,sinB>0,则sinA+sinB≠0,

第6页

所以cosC=0,因为0<C<π,故.……6分

(2)由(1)知△ABC是直角三角形，因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,

已知a=2,代入得c=2b-2,由勾股定理a²+b²=c²,得2²+b²=(2b-2)²,

解得3b²-8b=0.……8分

因为b>0,所以……10分

由此可得

,……12分

数列{an}的前n项和

17.【解析】(1)证明：在菱形ABCD中，因为∠BAD=60°,所以△BAD为等边三角形.取AD

的中点M,连接BM,PM,则BM⊥AD.因为△PAD是等边三角形，所以PM⊥AD.又因

为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PMc平面PAD,所以PM⊥平

面ABCD……2分

因为BMc平面ABCD,所以PM⊥BM.以M为原点，MA,MB,MP的方向分别为x,y,z

轴正方向建立空间直角坐标系.由题意得M(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),D(-1,0,0),

P(0,0,√3)由于BC//AD且BC=2,则c(-2,√3,0).所以PB=(0,√3,-√3),BC=(-2,0,0),

PC=(-2,√3,-√3),CD=(1,-√3,0).设平面PBC的法向量为n₁=(x₁,y₁,z),则即

第7页

故解得b²=1………2分

又离心率则即解得a²=2,

故C的方程为……5分

(2)(i)证明：依题意，直线PA,PB的斜率必存在且不为0,设直线PA的方程为

y=kx+1(k≠0),则直线PB的方程为

联立得(1+2k²)x²+4kx=0,解得xp=0,

代入直线方程得

同理，用替换k可得,……7分

所以

所以直线AB的方程为

令x=0,得

故直线AB恒过定点……10分

(ii)由(i)可知，

同理可得,……13分

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令则v≥2,当且仅当k=1时，等号成立，

……15分

当v=2(即|k|=1)时，

故△PAB面积的最大值为……17分

19.【解析】(1)f(x)的定义域为(-1,+∞),.……2分

①当a≤0时，1-a(x+1)>0恒成立，即f'(x)>0,此时f(x)在(-1,+∞)上单调递增；…4分

②当a>0时，令f'(x)=0,解得时，f'(x)>0,f(x)单调递增；