福建省厦门市2026届高中毕业班5月适应性练习数学+答案

厦门市2026届高中毕业班适应性练习

数学学科

(满分：150分考试时间：120分钟)

考生注意：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知复数,则z+z=

A.-2B.-2iC.2D.2i

2.已知S。是等差数列|a。|的前n项和，若S₅=5a₂+5,则1a。|的公差为

A.0B.1C.2D.3

3.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,点A(4,n)在C上，则A|F|=

A.3B.4C.5D.6

4.随机变量X的分布列为P(X=0)=a,P(X=1)=b.若E(X)=2a,则a=

C

ABD

5.已知a=(1,-1),b=(2,x),b在a上的投影向量,则x=

A.-2B.-1C.0D.1

6.某工厂的产量Q(单位：件)与资本投人R(单位：万元)、劳动投人L(单位：人)满足柯布一

道格拉斯生产函数Q=A₀·K·LB(其中Ao,α,β为常数).在劳动投人不变的前提下，要使该

工厂的产量提升20%,资本投人需增加60%,则该工厂资本产出的弹性系数α约为

(参考数据：lg2≈0.30,lg3≈0.48)

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

7.已知P为椭圆上的动点，M,N为圆上的两个动点，若

∠MPN的最大值为,则E的离心率为

ABCD

数学试卷第1页(共4页)

8.已知tanαtan(α-β)=2,,则cos(2α-β)=

ABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函的部分图象如图所示，

则

A

B.w=2

C

是y=f(x)图象的一条对称轴

D.y=f(x)的图象向左平个单位长度得到的图象关于原点对称

10.某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学生的课外阅读情况，按性别

比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生一天的阅读

时间(单位：分钟),绘制成如下两个频率分布直方图，则

频率

A频率

组距

.组距

0.025

a

0.012

0.010

0.0100.008

0.0050.005

0.0030.002

ol20406080100阅读时间/mim0l20406080100阅读时间/mim

男生阅读时间女生阅读时间

A.a=0.020

B.样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟

C.样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多

D.用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人

11.已知A₁,A₂,…,A。,…均为有限实数集，记A。中的最大元素为x.Vn∈N',

A。,=AU|a+x。la∈AI,若A₁=1-2,31,则

A.A₂=|-2,1,3,6|B.x₇=384

C.Ag中所有元素的平均数为191D.A₆中所有元素的和为3008

数学试卷第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已的展开式中所有项的系数之和为81,则此展开式中常数项为

13.写出一个同时满足下列性质①②③的函数f(x)=

①定义域为R;②f(2)=1;③f(x)+f(2-x)=0.

14.在梯形ABCD中，AB//CD,AD⊥AB,E为CD上一点，AB=BC=CE=2DE=2,将△AED沿

AE所在直线翻折成△AED'(如图所示).AD′上一点M满足CM·EA=5,在翻折过程中，二

面角M-BC-E的正弦值的最大值为·

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=c+bcos2A.

(1)求A;

(2)若D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为3√3,求a.

16.(15分)

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₂中，AB⊥A₁C、AB=BC=CA=AA,=2.过点A₁,C的平面α

与直线AB垂直.

(1)作出α截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由；

(2)已知B₁C=√10,求BC,与平面ACB,所成角的正弦值.

数学试卷第3页(共4页)

17.(15分)

已知定直线,点M在l右侧，且M到F(2,0)的距离与到l的距离之比为2,记片

的轨迹为曲线T.

(1)求I的方程；

(2)过F与x轴垂直的直线l交I于A,C两点，过F的直线L交『于B,D两点.若四边

形ABCD的面积为18√3,求L₂的方程.

18.(17分)

某棋类游戏有不同规格的地图，规格为X。(neN',n>1)的地图共有2n+3个格子，编

号为0,1,2,…,2n+2,如下图所示.

012…2n2n+12n+2

游戏规则如下：

①玩家首先选定地图规格X,并获得2枚金币，棋子位于起点(0号格子);

②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2

格；如此重复操作直至游戏成功或失败；

③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到2n+2

号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到2n+1号格子时，游戏终止，视为成功，获

得奖励10n元.

(1)若选定规格为X₂的地图，求游戏成功的概率；

(2)若选定规格为X。的地图，求棋子落到2n号格子且游戏成功的概率；

(3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图?

19.(17分)

已知函数f(x)=e-aln(ax-a),其中a≠0.

(1)当a=-1时，求f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

(2)已知f(x)>-a.

(i)求a的取值范围；

(ii)记f(x)的极值点为x₀,证明：

数学试卷第4页(共4页)

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数学试题参考答案与评分标准

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.C2.B3.C4.A5.D6.B7.B8.B

8.提示：由tanatan(α-β)=2得sinasin(α-β)=2cosacos(α-β),

所

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个

选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.ABD10.ACD11.ACD

11.提示：设A中元素有k,个，所有元素和为S,平均数为X,

所以x₁=3,,则有A={-2,1,3,6},k₂=4,S₂=8,故选项A正确；

易得x。=2x,所以x=3×2”¹,x,=3×2⁶=192,故选项B错误；

因为增加的数一定是3的倍数，-2,3被3整除的余数不等，故元素中不会出现重复，

所以k=2k,所以k₀=2”,

又S=S,+S,+k,·x,=2S,+3×20⁻¹,两边除以k=2”¹,得X-X,=3×2”²,

累加得.,所以X₈=191,故选项C正确；

S=k·X=3×2⁻²-2”,所以S₆=3008,故选项D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12.24等其它符合题意均可)14.

14.提示：易得∠DEA=60°,AE//BC,所以CM·EA=CE·EA+EM·EA=2+EM·EA=5,

所以EM·EA=1,过M作MN⊥EA,垂足为N,

则EM·EA=EN·EA=|EN||EA|=3,

所以,过N作NH⊥BC,垂足为H,

则可证BC⊥平面MNH,则可得∠MHN,

即为二面角M-BC-E的平面角，

可求得NH=√3,

正弦定理可

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.解：(1)依题意，acosB=c+bcos2A,由正弦定理·

得sinAcosB=sinC+sinBcos2A,………………1分

由A+B+C=π,得sinC=sin(A+B),

代入得sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB+sinBcos2A,

高三数学参考答案第1页(共8页)

即cosAsinB+sinBcos2A=0,…………2分

由sinB>0,得cosA+cos2A=0,…………………3分

有2cos²A-1+cosA=0,解得：,……5分

又A∈(0,π),所以.…………………6分

(2)由D为BC的中点，

所以b²+c²+bc=36,………8分

由△ABC的面积为3√3,得，,即bc=12,…9分

由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc.…………10分

所以a=(b+c+bc)-2bc=36-24=12,………12分

所以a=2√3.……………13分

16.解：解法一：(1)取AB的中点为0,连接OA,OC,则平面AOC为平面α.·3分

证明如下：

因为AB=BC=CA=2,所以△ABC为等边三角形，

因为0为AB的中点，所以AB⊥OC,……………4分

又AB⊥AC,oCNĄC=C,OCc平面AOC,ACc平面AOC,………5分

所以AB⊥平面AOC,

即平面A,OC为平面α.………6分

B₁

(2)在三棱柱ABC-AB₁C中，AB//A,B,

因为AB⊥AC,所以A₁B₁⊥A₁C,

在Rt△A,BC中，因为B₁C=√10,所以AC=√6.

由(1)得AB⊥OA,所以OA=√3,

A

所以OC²+OA²=AC²,所以OA⊥OC,

所以OĄ,OC,AB两两互相垂直.……………C………………·8分

以O为坐标原点，以OC,OB,OA所在直线分别为X轴，V轴，z轴如图建立空间直

角坐标系0-xyz,则A(0,-1,0),B(0,1,0),c(J3,0,0),A(0,0,√3),………10分

A4=(0,1,√3),AC=(√3,1,0),AB=AA+AB=(0,1,√3)+(0,2,0)=(0,3,√3),

设平面ACB的一个法向量为n=(x,y,z),

则所以取x=1,则

…………

设BC,与平面ACB₁所成角为θ,

所以BC₁与平面ACB所成角的正弦值为

解法二：(1)同解法一；…………6分

(2)在三棱柱ABC-AB₁C中，AB//AB₁,

因为AB⊥ĄC,所以AB₁⊥A₁C,

高三数学参考答案第2页(共8页)

在Rt△A,BC中，因为B₁C=√10,所以AC=√6.

由(1)得AB⊥OA,所以OA=√3.

所以OC²+OA²=AĄC²,所以OA⊥OC,

又因为OA⊥AB,OCNAB=0,所以OA⊥平面ABC,

所以OA为三棱锥B₁-ABC的高.………·8分

在RI△AOA中，AA₁=2,OA=√3,OA=1,所以∠A,AO=60°,

所以∠AA,B₁=120°,又因为AA=AB₁=2,所以AB₁=2√3.

在△ACB中，

所以，………10分

设三棱锥B-ACB的高为h,因为VB-Ach=VB-ABC,所

,……………………·11分

在△BCB中，,所以

在△CC₁B₁中，BC²=CB²+CC²-2CB·CC₁·cos∠C₁CB=6,

所以BC₁=√6.…………13分

设BC₁与平面ACB所成角为θ,则

所以BC,与平面ACB所成角的正弦值为…………15分

17.解：(1)…………2分

……………3分

化简得.……4分

故厂：………5分

(2)因为AC⊥x轴，当x=2时，y=±3,所以|AC|=6.…y……·D6分

由题意，I₂的斜率存在，设₂:y=k(x-2),B(x,y),D(x₂,y₂),

联立得(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0,

其中，3-k²≠0,即k²≠3.

△=16k⁴+4(3-k²)(4k²+3)=36(k²+1)>0,

由韦达定理……………

因为x₁+x₂>0,xx₂>0,解得k²>3,………………

高三数学参考答案第3页(共8页)

得x|,-x₂|=6√3.………11分

………12分

所以化简得3k⁴-19k²+26=0,

解得：或k²=2,…………14分

因为k²>3,所以

故l₂的方程为：或……15分

18.解法一(1)依题意，向前跳1步的概率为,向前跳2步的概率为

………………1分

设ξ=“游戏结束时，余下的金币的数量”,则ξ=0,1,2,设事件M=“游戏成功”,

则P(M)=P(ξ=1)+P(ξ=2).

当n=2时，该地图有7个格子.

当且仅当ξ=2时，棋子经过的路径为0→1→3→5,

所以…………………2分

当且仅当ξ=1时，棋子经过的路径有3条，分别为0→1→2→3→5,

或0→2→3→5,或0→1→3→4→5,

所以若选定规格为X₂的地图，游戏成功的概率为：.……………5分

(2)在规格为X的地图中，

设事件N=“落到编号为2n且游戏成功”,

则棋子经过的路径为0→1→3→…→2n-1→2n→2n+1,

所以若选定规格为X的地图，棋子落到2n号格子且游戏成功的概率为·…·8分

(3)在规格为X的地图中，

当且仅当ξ=2时，棋子经过的路径为0→1→3→…→2n-1→2n+1,

所以………………9分

当且仅当ξ=1时，棋子经过的路径有3种情况：

第1种情况，棋子经过的路径为0→1→2→3→…→2n-1→2n+1;共跳了n+2步，

其概率………10分

第2种情况，棋子经过的路径为0→2→3→…→2n-1→2n+1;共跳了n+1步，

高三数学参考答案第4页(共8页)

其概率;……………·11分

第3种情况，棋子落到第2k(2≤k≤n)号格处扣除1枚金币且游戏成功，

共有n-1条路径，则棋子经过的其中一条路径如下：

0→1→3→…→2k-1→2k→2k+1→…→2n-1→2n+1;

共跳了n+2步，每条路径的概率相等，均为………………13分

所以概率为：

.…………14分

记收益为Y,则Y的分布列为

Y。010n

P

收益期望Ecv.)=0-+12)…)……………15分

令有,解得√42-4≤n≤√42-3,

所以n=3,有E(Y)<E(Y₂)<E(Y₃)>E(Y)>…,

所以n=3时，收益的期望最高，最高期望为………………17分

解法二：(1)同解法一；……………………5分

(2)同解法一；…………………8分

(3)若要获胜，则要跳2n+1格，至少投掷骰子n+1次，至多经过一个偶数号格，

若落到2k(k>1)号格，则必落到2k-1,2k+1两个奇数号格，即要有两次跳1格，

所以跳1格的次数至多3次(其中有一次可以选择路径0→1,0→2→3)

所以最多掷骰子n+2次，其中跳1格3次，跳两格n-1次.…………9分

设事件C=“游戏最终获胜”,

C₁=“共掷骰子n+1次获胜”,C₂=“共掷骰子n+2次获胜”,

则C=C₁+C₂,C,C₂互斥，

共掷骰子n+1次获胜即跳1格1次，跳2格n次，

则可能路径仅能为0→1→3→…→2n-1→2n+1,

或0→2→3→…→2n-1→2n+1两种可能性，

…………11分

共掷骰子n+2次获胜即跳1格3次，跳2格n-1次，则必落到偶数号格一次，

即路径为0→1→…→2k-1→2k→2k+1→…2n-1→2n+1,k=1,2,3,…,n,

…………13分

,…………14分

以下同解法一；………………17分

高三数学参考答案第5页(共8页)

19.解法一：(1)a=-1时，f(x)=eˣ+In(1-x),x∈(-∞,1).…1分

所以.…………2分

又f(0)=1,f'(0)=0,…………3分

所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=1.…4分

(2)(i)①当a<0时，f(x)的定义域为x∈(-∞,1),I

所以不符合要求，故舍去；……5分

②当a>0时，f(x)的定义域为x∈(1,+),

,所以g(x)在(1,+∞)单调递增，

g(a+1)=e-1>0,

由零点存在定理，

则当x∈(1,x。)时，g(x)<0,f(x)单调递减，

当x∈(x。,+∞)时，g(x)>0,f(x)单调递增，

所以f(x).=f(x。)=e⁶-aln(ax。-a)>-a.…7分

所以即

因为a=e(x。-1),所!

………………9分

设t=x₀-1>0,则

,t>0,

,所以m(1)在(0,+∞o)单调递减，又m(1)=0,

所以t∈(0,1),所以x。∈(1,2).………11分

又因为Ina=x₀+In(x。-1)关于x。递增，所以Ina<2,所以a∈(0,e²).……12分

(ii)由(i)得f(x。)=e⁶-alna(x。-1)=e[1-x。²+x。-2(x。-1)In(x。-1)].…13分

令t(x)=e[1-x²+x-2(x-1)In(x-1)],x∈(1,2),

有t'(x)=-xe*[x+1+2In(x-1)],x∈(1,2),……………14分

设φ(x)=x+1+2In(x-1),x∈(1,2),

因为φ(x)在区间(1,2)上单调递增，

所以,使得φ(x,)=0,即x₁+1+2In(x,-1)=0,

高三数学参考答案第6页(共8页)

当1<x<x时，φ(x)<0,t'(x)>0,当x₁<x<2时，φ(x)>0,t'(x)<0,

所以t(x)在区间(1,x)上单调递增，在区间(x,2)上单调递减，

所以t(x)=t(x,)=e(1-x²+x₁+x²-1)=x,e,

所以,……………………16分

,所以.………………·17分

解法二：(1)同解法一；…………5分

(2)(i)①当a<0时，f(x)的定义域为x∈(-∞,1),取

不符合要求，故舍去；……5分

②当a>0时，f(x)的定义域为x∈(1,+∞),

对于eˣ-aln(ax-a)>-a,两边同除a后再加x,

即e¹+(x-Ina)>(x-1)+In(x-1).………7分

设函数h(x)=eˣ+x,易知h(x)在(0,+∞)单调递增，…8分

所以原式化为h(x-Ina)>h(In(x-1)),(也可构造h(x)=Inx+x)

由单调性得x-Ina>In(x-1),即Ina<x-In(x-1),Vx∈(1,+∞)恒成立，……10分

设h(x)=x-In(x-1),

x∈(1,2)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；x∈(2,+∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增；

h(x).=h(2)=e²,所以a∈(0,e²).……12分

(也可这样同构：

构造h(x)=(x-1)e,若In(a(x-1))≤0显然成立，若In(a(x-1))>0,

由h(x)=(x-1)e在(0,+o)递增，则h(x)>h(In(a(x-1))⇔x>In(a(x-1),

综上，转化为x>In(a(x-1)))