正弦定理与余弦定理的应用课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用《人教B版2019高中数学必修第四册》图9-2-1中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？探究新知如图9-2-2所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量.用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A,B都不便到达，所以ΔABC的3条边都无法用米尺测量．

探究新知例1

如图9-2-4所示，A,B是某沼泽地上不便到达的两点，C,D是可到达的两点．已知A,B,C,D4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB=45∘，∠BCD=30∘,∠CDA=45∘,∠BDA=15∘，CD=100m，求AB的长.图9-2-4

由例1可以看出，在用解三角形的知识解决实际问题时，常常需要综合利用正弦定理与余弦定理.例2

如图9-2-5所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果图9-2-5会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.

知识扩展术语定义图示铅直平面与水平面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角坡比（坡度）坡面的垂直高度与水平距离之比1.实际测量中的术语：知识扩展1.实际测量中的术语术语定义图示视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角仰角在同一铅直平面内，视线在水平线上方时，视线与水平面的夹角俯角在同一铅直平面内，视线在水平线下方时，视线与水平面的夹角习题9-2A①如图所示，设A,B两点在河的两岸，测量者在与A同侧的河岸边选取点C，测得AC的距离是50m，∠BAC=45∘∠ACB=75∘，求A,B两点间的距离.

习题9-2A②如图所示，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山顶的仰角分别为30°和45∘，两个观测点C,D之间的距离为200m，求此山的高度AB（测量仪器的高度忽略不计，A,B,C,D都在同一平面内，ΔABC是一个直角三角形）.

习题9-2A③如图所示，在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是α=45∘时，旗杆在山坡上的影子的长是30m，求旗杆的高．

RPQ习题9-2A④如图所示，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长85mm，求曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60°时，活塞A移动的距离AA0

习题9-2B①为了测量河堤背水坡对地面的倾斜角，用一根长为m的长棒AB靠在堤旁，C为堤脚，现测得AC=n,BC=t.如图所示，且图中所示各点都在同一铅垂平面内，你能用m,n,t表示出河堤背水坡的倾斜角α满足的条件吗？

习题9-2B②如图所示，从高为h的热气球A上测量海平面上B,C两点之间的距离.现测得B的俯角是a，且C的俯角是β，图中各点都在同一铅垂平面内.用α，β和h表示出BC.

习题9-2B③如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=βCD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

习题9-2B④为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.已知A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如图所示）.飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案，包括（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算M,N间距离的步骤．解

(1)需要测量的数据：在A点测得M的俯角α1、N的俯角α2；在B点测得M的俯角β1、N的俯角β2；A、B间的距离d.α1α2β1β2d

习题9-2B⑤如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的3点，在山顶P处测得3点的俯角分别为α，β，γ．计划沿直线AC开通穿山隧道.为求出隧道DE的长度，你认为还需要直接测量出AD,EB,BC中哪些线段的长度？根据条件，并把你认为需要测量的线段长度作为已知量，写出计算隧道DE长度的运算步骤.

小结解题通用步骤(基线:测量时选定的基准线段（长度已知或可测）)建模：画示意图，标注已知（基线、角度