2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第4讲 二次函数与幂函数

第三章函数第4讲

二次函数与幂函数基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合幂函数(1)定义：函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．y＝xα1．(人教A必修第一册复习参考题3T5改编)已知幂函数

f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝(

)A．－9B．9C．3D．－3解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故选B.3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是__________．解析：∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3，∴所求函数的值域为[－1，3]．[－1，3]解析：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1.－1<≤核心考向突破考向一

幂函数的图象与性质

(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(

)A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c解析：由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B.(2)(2025·河北衡水模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(

)A．m＝4B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数D．f(x)是偶函数(3)若(a＋1)－2＞(3－2a)－2，则a的取值范围是__________________________．幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．1.(2025·四川南充模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(

)考向二

求二次函数的解析式若二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为____________________．f(x)＝－4x2＋4x＋7确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：解：函数f(x)＝x2＋bx＋c，则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.考向三

二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(

)A．b＝－2aB．a＋b＋c＜0C．a－b＋c＞0D．abc＜0识别二次函数图象应学会“三看”一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象可能是(

)角度2二次函数的单调性(1)已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(

)A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，－2)解析：由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a<0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，∴函数g(x)的单调递增区间为(－∞，2)．故选C.(2)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是(

)A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)解析：因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，又因为a<0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2)．故选B.1．决定二次函数单调性的两个关键因素2．利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法(1)利用对称轴一侧的单调性比较大小(2)利用图象中对应点的高低关系比较大小当抛物线开口向上时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越高(或越低)，这个点的纵坐标越大(或越小)；当抛物线开口向下时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越低(或越高)，这个点的纵坐标越小(或越大)．角度3二次函数的最值问题设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值．二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

(2025·江苏宿迁模拟)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2.(1)若a＝2，求函数f(x)在区间(－1，2)上的值域；(2)若函数f(x)在区间[0，2]上有最小值3，求a的值．角度4与二次函数有关的恒成立问题已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．(1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围；(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．解：(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为当x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，由86－k≤0，得k≥86，即k的取值范围为[86，＋∞)．(2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，由－10－k≤0，得k≥－10，即k的取值范围为[－10，＋∞)．(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.由120－k≤2，得k≥118，即k的取值范围为[118，＋∞)．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是构造新函数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.(1)求f(x)的解析式；(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．解：(1)根据题意，得二次函数f(x)图象的顶点坐标为(2，3)，设f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把点(3，5)代入得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.课时作业一、单项选择题1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上(

)A．是增函数 B．不是单调函数C．是减函数 D．不能确定解析：对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确，不符合题意；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合题意；同理可判断C，D中的函数不符合题意．故选B.5．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(

)A．(－∞，2]B．[4，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，4]8．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(

)A．(－∞，1] B．[－2，1]C．[－1，2] D．[－1，＋∞)二、多项选择题9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(

)A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3)C．图象的顶点是(－2，－2) D．图象过点(3，0)解析：易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，图象与x轴的两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段的长度为2，A，D正确；将x＝0代入二次函数的解析式，得y＝3a，故B可能正确；图象顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD.13．(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x5＋x，若f(2x－1)＋f(2－x)>0，则x的取值范围是_____________．解析：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝(