2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 圆的方程

第九章直线与圆、圆锥曲线第3讲

圆的方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．圆的定义、方程(1)平面上到_________的距离等于_________的点的集合是圆．(2)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为_________，半径为_______．(3)圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0：①方程表示圆的充要条件：______________，其中圆心坐标：___________，半径r＝________________；②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示________________；③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形．定点定长(a，b)rD2＋E2－4F>02．点与圆的位置关系(1)理论依据________________________与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．①________________________⇔点在圆上⇔d＝r；②________________________⇔点在圆外⇔d>r；③________________________⇔点在圆内⇔d<r.点与圆心的距离(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r24．阿波罗尼斯圆如图，A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．2．(人教A选择性必修第一册习题2.4T5改编)已知A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是(

)A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝05．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_____________________________________________________________________________________________________．核心考向突破考向一

求圆的方程(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(

)A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________________．(x－1)2＋(y＋1)2＝5

求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1.写出一个同时满足条件①②的圆C的标准方程：_________________________________．①圆C与直线x＋y＝0相切；②A，B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴上，AB为圆C的直径．(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)2．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________________________________．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0考向二

与圆有关的轨迹问题

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

求与圆有关的轨迹方程的方法考向三

与圆有关的最值问题角度1借助几何性质求最值角度2构建目标函数求最值12角度3利用对称性求最值(2025·山东烟台模拟)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，点M(7，12)，直线l：y＝x.点P是圆C上的动点，点Q是l上的动点，则|PQ|＋|QM|的最小值为(

)A．11B．12C．13 D．14解析：由题设圆C：x2＋(y－2)2＝1，即圆心为C(0，2)，半径为1，又72＋(12－2)2＝149>1，所以点M在圆外同时不在直线l：y＝x上，如图所示，若M′为M关于l：y＝x的对称点，则M′(12，7)，则|PQ|＋|QM|＝|PQ|＋|QM′|≥|PM′|，而|PM′|min＝|CM′|－1，所以|PQ|＋|QM|≥|CM′|－1＝12，当且仅当C，P，Q，M′共线且P在C，Q之间时，等号成立，故|PQ|＋|QM|的最小值为12.故选B.

与圆有关的最值问题的求解方法方法适用类型借助几何性质求最值形如μ＝

形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值动化定、曲化直法求最值求解形如|PM|±|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题103．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．课时作业2．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(

)A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝105．(2025·广东广州模拟)过A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)三点的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(

)A．3 B．4C．8 D．60或1(只写一个即可)13．(2024·浙江杭州期中)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC内一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．16．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说