2025大专单招考试数学试卷及答案

2025大专单招考试数学试卷及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=1,2,A.1B.2C.2D.32.已知复数z=(1+2i)A.4B.4C.3D.33.下列函数中，既是偶函数又在区间(0A.yB.yC.yD.y4.已知平面向量→a=(1,2)A.4B.−C.1D.−5.“x>1”是“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在等差数列中，若=2，+=16，则该数列的前7项和A.42B.49C.56D.637.已知sinα=，且A.B.−C.D.−8.若变量x,y满足约束条件{xyA.1B.2C.3D.49.在△ABC中，若角A,B,CA.B.C.D.10.已知球的体积计算公式为V=A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍11.二项式(x1的展开式中，A.−B.10C.−D.512.已知直线:ax+y+A.−B.−C.D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。13.函数y=14.计算：si15.若双曲线=1的一条渐近线方程为y=x16.在一个袋子中装有3个红球和2个白球，它们除颜色外完全相同。从袋中不放回地摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的概率为__________。17.已知圆C的圆心坐标为(1,1)，且圆心到直线18.已知向量|→a|=2，|→b|=三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.（本小题满分10分）计算：(+20.（本小题满分12分）已知函数f(（1）求函数f(（2）求函数f(x)21.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B（1）求角B的大小；（2）若b=，求△22.（本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为，且=7，=1。（1）求数列的通项公式；（2）设=lo，求数列·的前n项和23.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA（1）证明：CE⊥平面（2）求三棱锥C−24.（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为30元，出厂价定为50元时，每天可生产销售200件。市场调查反映，若出厂价每提高1元，每天的销量将减少5件。为了获得更好的利润，工厂决定提高出厂价。（1）若将出厂价定为x元（x≥50），请写出每天的利润y与（2）求出厂价定为多少元时，每天的利润最大，并求出最大利润。参考答案与详细解析一、选择题1.【答案】C【解析】首先求解集合B。不等式4x+3<0可以因式分解为(集合A=求交集A∩B，即寻找既在A中又在B是区间(1,3)内的所有实数。在A的元素中，只有故A∩2.【答案】B【解析】利用多项式乘法法则计算复数z。z=因为=−1，所以z=复数z的共轭复数¯z故¯z3.【答案】A【解析】A.y=，定义域为ℝ。因为f(−x)=(B.y=coC.y=D.y=故选A。4.【答案】B【解析】向量→a=(若→a//→b即=。解得x=故选B。5.【答案】A【解析】充分性：若x>1，显然必要性：若>1，解得x>1或x综上所述，“x>1”是“故选A。6.【答案】C【解析】设等差数列的公差为d。由=2，得=+=解得6d=12前7项和=7或者利用等差数列性质：+===故选C。7.【答案】B【解析】已知sinα在第二象限，余弦值为负，正切值为负。利用同角三角函数关系式：sico因为α在第二象限，所以cota故选D。（注意：原选项D为−，正确选项为D。此处解析确认结果为−）。8.【答案】C【解析】画出可行域：不等式组{xy边界直线：y=x，y=交点为：A(0,0)B(1,1)C(0,2)可行域是一个三角形AB目标函数z=将可行域顶点代入：A点：zB点：zC点：z比较可知，最大值为3。故选C。9.【答案】A【解析】在△ABC根据正弦定理=。代入数值：=。si所以=。2=解得si因为b=<a=2，即b在(0,)范围内，s故选A。10.【答案】C【解析】设原球半径为R，表面积为S=4π新球表面积=4设新球半径为，则4π=解得=4新球体积=π所以体积扩大为原来的8倍。故选C。11.【答案】A【解析】二项式(x1的展开式通项为要求的系数，即令5r=2，解得系数为(−故选A。12.【答案】A【解析】直线:ax+直线:x+2若两直线垂直，则·=即(−=−解得a=故选A。二、填空题13.【答案】(【解析】要使对数函数有意义，真数必须大于0。即x+1>所以定义域为(−14.【答案】【解析】利用二倍角公式：si原式=(因为sin=15.【答案】4【解析】双曲线=1的渐近线方程为y已知一条渐近线为y=所以=，解得a=16.【答案】【解析】从5个球（3红2白）中不放回地摸出2个球，总的基本事件数为==摸出的2个球都是红球的事件数为==所以概率P=17.【答案】(【解析】圆心C(1,1)d=因为直线与圆相切，所以圆的半径r=这是一个特殊的圆（点圆），方程为(x18.【答案】2【解析】|==代入数值：|→原式==4所以|→三、解答题19.【解】原式=利用对数运算法则：lgsi任何非零数的0次幂等于1，即(2025原式=2+220.【解】（1）函数f(对称轴方程为x=因为开口向上，所以函数在(−∈f（2）区间[0,4当x=f(比较端点值：f(f(最大值为2。所以函数在[0,421.【解】（1）由正弦定理===2代入已知条件2b2消去2R：因为A+B+上式变为：22移项合并：0因为在△ABC中，sin又因为B∈(0（2）由正弦定理=2R，得△ABC又a=2R所以S=因为B=，所以A+CS=======（注意系数提取）=当2A=即A=最大值为。（注：也可以直接使用当A=C=时，三角形为等边三角形，边长为，面积S=重新检查S=当A=60时，。两者不等。修正计算：S=合并后项系数：。设cosϕ==S=。最大值为。故最大面积为。）22.【解】（1）设等比数列的公比为q。由=+已知=1，所以1+q解得(q+3)(当q=−3时，=−3当q=2时，=2，=题目未限制正负，通常取正数或需进一步条件。若无限制，需讨论。但一般单招考试默认为正数数列或取q=2。这里取q=2进行计算（若q=−3所以=。（2）=l设=·求=(=2利用错位相减法：=12=②①得：===(23.【解】（1）证明：连接AC交BD于O，连接因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD又因为E为PD中点，所以在△PB因为PA⊥平面AB又AB⊥BD，所以BD因为EO//又BD⊥AC，且AC,E故BD又PA⊥平面AB因为PA,BD是平面PAD内的两条相交直线（注意：PA与BD不一定相交，另证：PA⊥底面AB取AD中点F，连接PE为PD中点，所以EF/在正方形中，CF⊥AD（等腰直角所以AD⊥平面CE因为CE⊥PA且CE⊥A所以CE⊥平面（2）三棱锥C−以△PDE为底面，高为C由（1）知CE⊥平面PA在△PDEPD所以=·PE·ED·sin（需算PD上的高？不，E是中点，△PD所以=(计算CE长度。在△ACD中，ACO为AD中点。EO=在△CEO中，∠CEV=（或者换底计算：=。=CD·DE检查：两种方法结果不一致。第一种方法中△PDE面积算错了。PD=2，E是中点，PE=ED。△PAD是等腰直角，P△PDE中，PE=CE的计算：C到P在△PCD中，P最简单的体积计算：=。或者直接用公式V=换底法：=。：CD=2，E是PD中点。E在空间。D还是回到=。底面△CDE，高P回到=·=2是C到平面PAD建立坐标系：A(E为PD中点，E平面PAD即xoC(2,2,所以V=注：之前的几何法算错了CE。CE不是C到PAD的距离。C到PAD的距离就是C到AD的距离（因为PAD⊥底面，交线为AD？不，PC到AD的距离即为正方形边