2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 空间直线、平面的平行

第八章立体几何与空间向量第3讲

空间直线、平面的平行了解空间中直线、平面的平行关系，归纳出直线、平面平行的性质定理(并加以证明)与判定定理．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．直线与平面平行(1)判定定理a⊄αb⊂αa∥ba∥α(2)性质定理a⊂βα∩β＝b2．平面与平面平行(1)判定定理相交直线a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β平行(2)性质定理α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．5．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．6．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．7．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．8．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．9．三种平行关系的转化1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(

)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，反之也成立．因此B中的条件是α∥β的充要条件．故选B.2.(人教A必修第二册复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(

)A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形解析：因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CGHD＝GH，根据面面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．故选B.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以下直线与平面BC1D1平行的是(

)A．直线ACB．直线AB1C．直线CDD．直线AA1解析：对于A，B，D，A∈平面BC1D1，则直线AC，AB，AA1与平面BC1D1不平行，故A，B，D不符合题意；对于C，因为CD∥C1D1，CD⊄平面BC1D1，C1D1⊂平面BC1D1，所以CD∥平面BC1D1，故C符合题意．故选C.4．(人教A必修第二册8.5.3练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(

)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：对于A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以A项的内容是α∥β的一个必要条件；同理，B，C两项的内容也是α∥β的一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D项的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.(人教B必修第四册11.3.3练习BT3改编)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝______．核心考向突破考向一

线面平行的判定与性质角度1线面平行的判定

如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明：证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又因为H为BC的中点，所以HM∥BD.因为HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，所以BE∥HF.在△ABC中，因为G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，GH，HF⊂平面FGH，AB，BE⊂平面ABED，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度2线面平行的性质

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在MD上取一点G，过G和PA作平面交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.1．判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．证明线线平行的三种方法(1)利用基本事实4(a∥b，b∥c⇒a∥c)．(2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)．

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m.证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理m∥AM，所以l∥m.考向二

面面平行的判定与性质角度1面面平行的判定

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.角度2面面平行的性质

如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面α所截，截面为CDEF，且EF＝CD.证明：AD∥BC.证明：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩α＝CD，平面A1B1C1D1∩α＝EF，则EF∥CD，而C1D1∥CD且C1D1＝CD，又EF＝CD，因此C1D1∥EF且C1D1＝EF，则四边形EFC1D1是平行四边形，所以A1D1∥B1C1，又AD∥A1D1，BC∥B1C1，所以AD∥BC.1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2．面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．(2025·广东佛山模拟)如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF.(1)证明：平面ADE∥平面BCF；(2)若G是棱BC的中点，证明：AE∥FG.证明：(1)由▱ABCD，得BC∥AD，而AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，则BC∥平面ADE，由DE∥CF，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，得CF∥平面ADE，又BC∩CF＝C，BC，CF⊂平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF.(2)延长EF，AG与DC的延长线分别交于点O1，O2，由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2＝CD，因此点O1，O2重合，记为O，显然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩平面BCF＝FG，由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.考向三

平行关系的综合应用如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点．

平行关系综合应用的解题方法利用线面平行的判定定理和性质定理，可以实现与线线、面面平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用观察特殊位置或函数思想来解决．

如图，在正四面体S－ABC中，AB＝4，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，Q为平面SBC内一点．(1)求证：平面RMN∥平面AEF；(2)若RQ∥平面AEF，求线段RQ的最小值．解：(1)证明：因为R，M，N分别是SA，SE，SF的中点，所以MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN∥平面AEF.同理，RM∥平面AEF，又因为RM∩MN＝M，所以平面RMN∥平面AEF.课时作业一、单项选择题1．(2024·石景山区一模)已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，∴m∥n⇒α∥β或α∩β＝l，α∥β⇒m∥n，∴“m∥n”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.2．(2025·浙江金华模拟)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中为真命题的是(

)A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α解析：对于A，如图1，满足a∥α，b⊂α，但a，b不平行，A为假命题；对于B，如图2，满足a∥α，b∥β，α∥β，但a，b不平行，B为假命题；对于C，如图3，满足a⊂α，b⊂β，a∥b，但α，β不平行，C为假命题；对于D，若a⊄α，b⊂α，a∥b，由线面平行的判定定理可得a∥α，D为真命题．故选D.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(

)A．MN∥PD

B．MN∥PAC．MN∥AD

D．以上均有可能解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以由直线与平面平行的性质定理，可得MN∥PA.4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(

)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形5.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(

)A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2＝4∶25.6．(2025·湖南长沙一中模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(

)解析：对于A，如图1，由正方体的性质可知BM∥B1N，所以易知直线BM与平面CNQ不平行，故A不符合题意；对于B，如图2，因为NQ∥AC，故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM⊄平面CNQ，AQ⊂平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故B符合题意；对于C，如图3，因为NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C不符合题意；对于D，如图4，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交A1B1于点D，则点D是在A1B1上靠近点B1的四等分点，由MD∥CQ，MD⊄平面CNQ，CQ⊂平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM∥平面CNQ，MD∩BM＝M，MD，BM⊂平面BDM，则平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故D不符合题意．故选B.8．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(

)二、多项选择题9．如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个结论中正确的是(

)A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值10．(2025·广东深圳中学模拟)

如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(

)A．平面EFGH∥平面ABCDB．PA∥平面BDGC．EF∥平面PBCD．EF∥平面BDG解析：先把平面展开图还原为四棱锥，如图所示．对于A，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EF∥AD，GH∥BC，因为AD∥BC，所以EF∥GH，所以EF，GH确定平面EFGH，因为EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，同理可得AB∥平面EFGH.又因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，所以A正确；对于B，连接AC，BD交于点O，则O为AC的中点，连接OG，因为G为PC的中点，所以OG∥PA，因为OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，所以B正确；对于C，因为EF∥GH，且EF⊄平面PBC，GH⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以C正确；对于D，若EF∥平面BDG，因为PA∥平面BDG，且EF∩PA＝E，EF，PA⊂平面PAD，可得平面PAD∥平面BDG，显然不正确，所以EF与平面BDG不平行，所以D错误．故选ABC.三、填空题12．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．①或③解析：由面面平行的性质定理可知，①符合题意；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②不符合题意；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③符合题意．13.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件____________________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)点M在线段FH上解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需点M在线段FH上，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.四、解答题15．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，又M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.16．(2025·福建三明模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点．(1)求证：SA∥平面EDB；(2)若F为棱AB的中点，求证：EF∥平面SAD；(3)设平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.证明：(1)连接AC交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，又E为侧棱SC的中点，所以SA∥EO.又SA⊄平面EDB，EO⊂平面EDB，所以SA∥平面EDB.(2)连接FO，因为F为棱AB的中点，O为BD的中点，所以AD∥FO，又FO⊄平面