2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 函数的奇偶性、周期性、对称性

第三章函数第3讲

函数的奇偶性、周期性、对称性1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.3.能综合运用函数的奇偶性、周期性、对称性解决问题.基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．函数的奇偶性－x∈If(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点y轴2.函数的周期性(1)周期函数设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有_________，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期．x＋T∈Df(x＋T)＝f(x)最小最小正数1．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．解析：对于A，B，D中的函数，定义域均关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，故均是奇函数；对于C，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠－f(x)，故不是奇函数．故选ABD.2．(人教B必修第一册习题3－1BT8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(

)3．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为_________________．解析：由题中图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．[－5，－2)∪(2，5]4．(人教A必修第一册习题3.2T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为_________________．5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2027)＝________．解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2027)＝f(－1＋4×507)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.－1核心考向突破考向一

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性．解：(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)解法一(定义法)：易知f(x)的定义域为R.当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝f(x)；当x＝0时，f(0)＝－1，满足f(－x)＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1＝f(x)．综上可知，∀x∈R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．1.已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(

)A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：易知f(x)＝sinx是奇函数，g(x)＝ex＋e－x是偶函数，|f(x)|＝|sinx|，|g(x)|＝|ex＋e－x|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，A，B错误，C正确；|f(x)g(x)|＝|sinx(ex＋e－x)|，|f(－x)g(－x)|＝|sin(－x)(e－x＋ex)|＝|sinx(ex＋e－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，D错误．故选C.考向二

函数奇偶性的应用(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝_____________．解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.－1－2－x－2x＋1

已知函数奇偶性可以解决的四个问题求函数值利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出求参数利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数画图象利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知f(x)＝为奇函数，则a＝(

)A．－2 B．2C．1 D．－1解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2(－x)2]＝x3－2x2，通过对比系数得a＝－2.故选A.2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________．3x＋3－x2考向三函数的周期性

(2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1.函数周期性的判断与应用2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则函数f(x)在[1，3]上的解析式为_________________________．解析：根据题意，设x∈[1，3]，则x－2∈[－1，1]，又当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(x－2)＝(x－2)2＋1＝x2－4x＋5，又f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x－2)＝x2－4x＋5，x∈[1，3]．f(x)＝x2－4x＋5，x∈[1，3]考向四函数图象的对称性

(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(

)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称

B．f(x)的图象关于点(2，0)对称C．4为f(x)的周期D．y＝f(x＋4)为偶函数解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.

函数图象自身对称的常用结论1.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(

)A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3，0)对称解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A.3课时作业一、单项选择题1．下列函数中为偶函数的是(

)2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为3，f(－1)＝2，则f(2026)＝(

)A．2 B．0C．－2 D．－4解析：依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为3，且f(－1)＝2，则f(2026)＝f(1＋675×3)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C.3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(

)A．1

B．2C．0D．－2解析：函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B.4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(

)A．－2B．－1C．1D．2解析：f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B.8．(2025·山东青岛模拟)∀x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2024)的值为(

)A．2B．1C．0D．－1二、多项选择题9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(

)10．已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(

)11．定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(

)A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数C．∀x∈R，f(f(x))＝2024D．f(x)的最小正周期为1解析：对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整