2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 等比数列

第七章数列第3讲

等比数列1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于___________，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为____________________．(2)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项，此时__________．2同一个常数公比GG2＝aba1qn－1na1

等比数列的常用性质1．(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(

)A．5 B．±5C．4 D．±43．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为(

)A．5 B．10C．15 D．204．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(

)A．7

B．8C．9D．105．(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为__________________．1，3，9或9，3，1核心考向突破考向一

等比数列的基本运算

(2025·山西太原模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的前n项和．

等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．2．(多选)(2025·黑龙江大庆模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(

)A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．书已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求λ的值和数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．考向二

等比数列的判定与证明解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3.当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9.当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.

等比数列的判定方法角度1等比数列项的性质(1)(2025·江西名校联考)已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，且a1＋a5＝82，a2a4＝81，则S5＝(

)A．212 B．168C．121 D．163考向三

等比数列的性质(2)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，又a2a4a5＝a3a6，a4a5＝a3a6，所以a2＝1，因为a9a10＝－8，所以a2q7·a2q8＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a2q5＝q5＝－2.－22．设{an}是等比数列，且a1－a2＝1，a3－a2＝2，则a4－a5＝(

)A．8 B．－8C．4 D．－43．(2025·湖北襄阳模拟)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________．9角度2等比数列前n项和的性质

(1)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝(

)A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50585－1课时作业一、单项选择题2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(

)A．12 B．24C．30 D．32解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32.故选D.解析：由题意知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题意知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.6．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(

)A．3 B．18C．54 D．1527．(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(

)A．120 B．85C．－85 D．－120二、多项选择题9．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，则依此规则，下列结论正确的是(

)三、填空题12．(2025·山东济南模拟)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式为an＝________________．①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|.(－2)n(答案不唯一)解析：设等比数列{an}的公比为q，由anan＋1<0，可知q<0，又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，所以q<－1，所以q可取－2，设a1＝－2，则an＝－2×(－2)n－1＝(－2)n(答案不唯一)．13．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8，则an＝________，a1a2－a2a3＋…＋(－