2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 用样本估计总体

第十章统计与成对数据的统计分析第2讲

用样本估计总体1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.2.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.3.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．会计算样本均值和样本方差，结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.4.能用样本估计总体的取值规律.5.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义最大值最小值12．频率分布折线图用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的_______，就得到频率分布折线图．3．不同统计图的特点及适用类型(1)不同的统计图在表示数据上的特点扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的_______，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的_______和_______，折线图主要用于描述数据随_________的变化趋势．(2)不同的统计图适用的数据类型条形图适用于描述_________的数据，直方图适用于描述_________的数据．中点比例频数频率时间离散型连续型5．百分位数(1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据____________这个值，且至少有(100－p)%的数据__________这个值．(2)计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按__________排列原始数据．第2步，计算i＝________．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第____项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的________．小于或等于大于或等于从小到大n×p%j平均数6．总体集中趋势的估计(1)平均数、中位数和众数等都是刻画“__________”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．(2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用_______、_________；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用_________．中心位置平均数中位数众数7．频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法(1)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的_________与小矩形的面积的乘积之和近似代替．(2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______．(3)将最高小矩形所在的区间______________作为众数的估计值．横坐标相等中点的横坐标越大越小注意：在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数来估计总体平均数，用样本方差来估计总体方差．1．(多选)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(

)A．样本x1，x2，…，xn的标准差B．样本x1，x2，…，xn的中位数C．样本x1，x2，…，xn的极差D．样本x1，x2，…，xn的平均数解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．故选AC.2．(多选)给出一组数据：1，3，3，5，5，5，下列说法正确的是(

)A．这组数据的极差为4B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4D．这组数据的众数为3和53．设一组数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(

)A．0.01 B．0.1C．1 D．10解析：因为数据axi＋b(i＝1，2，…，n)的方差是数据xi(i＝1，2，…，n)的方差的a2倍，所以所求数据的方差为102×0.01＝1.故选C.4．(2025·广东惠州博罗县模拟)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十进制)如图所示，假设得分的中位数为a，众数为b，平均数为c，则(

)A．a＝b＝c B．a<c<bC．a<b<c D．b<a<c5．(人教B必修第二册5.1.2练习AT2改编)90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的75%分位数为________，80%分位数为________．9697.5核心考向突破考向一

统计图表及应用角度1扇形图

(2024·东北三省四校模拟)某校2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示的扇形统计图．下列结论正确的是(

)A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6∶5B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6∶7C．2024年该校本科达线人数比2023年该校本科达线人数增加了80%D．2024年该校不上线的人数有所减少解析：设2023年该校的高考人数为a，则2024年该校的高考人数为1.5a，2023年本科达线人数为0.5a，2024年本科达线人数为0.9a，∴该校2024年与2023年的本科达线人数比为9∶5，本科达线人数增加了80%，故A错误，C正确；2023年专科达线人数为0.35a，2024年专科达线人数为0.45a，∴该校2024年与2023年的专科达线人数比为9∶7，故B错误；2023年不上线的人数为0.15a，2024年不上线的人数也是0.15a，∴2024年该校不上线的人数无变化，故D错误．故选C.角度2折线图(2025·山东滨州期末)为了研究我市甲、乙两个5G智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是(

)A．甲店月营业额的平均值在[31，32]内B．乙店月营业额总体呈上升趋势C．7，8，9月的总营业额甲店比乙店少D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差角度3频率分布直方图(多选)(2024·山东菏泽东明县模拟)某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对500名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取50名居民的成绩(单位：分)，按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(

)A．所抽取的50名居民成绩的平均数约为74B．所抽取的50名居民成绩的中位数约为75C．50名居民成绩的众数约为85D．参加培训的居民中约有100人的成绩不低于85分常见统计图的特点(1)通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．(3)准确理解频率分布直方图的数据特点①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆；②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．1.(2025·天津模拟)为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据(单位：kg)进行分组，区间为[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70)，[70，75]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、…、第五组．画出频率分布直方图(如图所示)，已知第一组、第二组和第三组的频率之比为1∶2∶3，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是(

)A．48 B．5C．54 D．602．(2024·辽宁实验中学模拟)如图是2022年5月～2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统计图(单位：万辆)，则下列说法错误的是(

)A．2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆B．这13个月我国纯电动汽车月度销量的中位数为61.5万辆C．这13个月我国纯电动汽车月度销量的众数为52.2万辆D．和2022年同期相比，2023年我国纯电动汽车月度销量有增有减解析：对于A，2023年前5个月我国纯电动汽车的销量为28.7＋37.6＋49＋47.1＋52.2＝214.6万辆，即2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆，故A正确；对于B，将这13个月我国纯电动汽车的月度销量由小到大依次排列为28.7，34.7，37.6，45.7，47.1，47.6，49，52.2，52.2，53.9，54.1，61.5，62.4，则中位数为其中第7个数据，即49万辆，故B错误；对于C，这些数据中只有52.2出现2次，其他数据均只出现1次，故众数为52.2万辆，故C正确；对于D，2023年1月的同比增长率为负数，其他月份的同比增长率为正数，故和2022年同期相比，2023年我国纯电动汽车月度销量有增有减，故D正确．故选B.3．(多选)十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是(

)A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大解析：对于A，由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误；对于B，由雷达图可知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，B正确；对于C，甲的各项得分的波动较大，乙的各项得分均在(600，800]内，波动较小，C错误；对于D，甲的各项得分的极差在(400，600)内，乙的各项得分的极差小于200，D正确．故选BD.考向二

用样本估计总体角度1总体百分位数的估计(1)(2025·安徽合肥开学考试)天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量(单位：亿立方米)依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是________．6.65(2)(2025·山东重点中学联盟期末)某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为________．解析：由频率分布直方图可知，(a＋0.015＋0.025＋0.035＋a＋0.005)×10＝1，解得a＝0.010，∵0.10＋0.15＝0.25<0.4，0.10＋0.15＋0.25＝0.5>0.4，∴第40百分位数落在区间[60，70)内，设其为m，则0.25＋(m－60)×0.025＝0.4，解得m＝66，即第40百分位数估计为66.66角度2比例分配的分层随机抽样的均值与方差(多选)大连市教育局为了解第二十四中学、第八中学、育明中学三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为120的样本．其中，从第二十四中学抽取容量为35的样本，平均数为4，方差为9；从第八中学抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从育明中学抽取容量为45的样本，平均数为8，方差为21.据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的(

)A．均值为6.3 B．均值为6.5C．方差为17.52 D．方差为18.25角度3均值、方差的应用某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi5365275435305605335225505765362．(2024·辽宁葫芦岛二模)某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差为(

)A．1.3 B．1.5C．1.7 D．1.93．有13名同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是__________(填“众数”“中位数”或“平均数”)．解析：因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中较高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．中位数4．某校开展了航天知识竞赛活动，竞赛分为初赛和复赛两个阶段．全校共有1000名学生参加，将他们的初赛成绩(成绩都在[50，100]内)分为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计全校学生初赛成绩的平均数(同一组中的数据以这组数据的中间值作为代表)；(2)若规定初赛成绩前20%的学生进入复赛，试估计进入复赛的分数线n.课时作业一、单项选择题1．(2025·湖南永州模拟)某班50名同学的体育测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(

)A．平均数和方差 B．中位数和方差C．中位数和众数 D．平均数和众数解析：由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数之和为50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3，100分出现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25和26位的都是98分，所以成绩的中位数为98，所以中位数和众数都与被遮盖的数据无关．故选C.成绩/分919293949596979899100人数■■12356810122．(2025·湖南长沙模拟)已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是(

)A．7 B．6C．5 D．44．(2025·四川成都模拟)下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是(

)A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数是15.4D．这10个城市地铁运营线路条数的极差是125．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下列叙述不正确的是(

)A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个解析：由题中图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份为六月、七月、八月，只有3个，D错误．6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则(

)A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差7．(2025·陕西西安模拟)某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生的成绩进行整理，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是(

)A．图中的a＝0.012B．若从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]内的学生中采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10名学生，则成绩在[80，90)内的有3人C．这100名学生成绩的中位数约为65D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2二、多项选择题9．(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(

)A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差10．(2025·福建莆田模拟)已知一组正实数样本数据xi(i＝1，2，3，…，10)，满足x1≤x2≤x3≤…≤x10，则(

)A．样本数据的第80百分位数为x8B．去掉样本的第一个数据，样本数据的极差可能不变C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D．将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍三、填空题12．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数？甲：________，乙：________，丙：________.众数平均数中位数13．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学的成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是____________________________________________(写出一个满足条件的m值即可)．7或8或9或10(填上述四个数中任意一个均可)解析：7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，