2026年黑龙江哈尔滨市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试本试卷共19题，共150分，共4页.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项1.命题“Vx≥1,x²-x≥0”的否定为()A.3x≥1,x²-x<0B.VxC.x<1,x²-x<0D.Vx≤1,x²-x≥02.哈尔滨市某月连续10天的AQI(空气质量指数)分别为29,32,34,36,39,50,47,66,48,78,则这组数据的第75百分位数为()A.33B.34C.49A.1B.√24.已知复数z满足z|-1-i|=1,则|2|的取值范围为()5.已知函数y=f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3-x),当0<x<2时，f(x)=Inx,则试卷第1页，共6页曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率为()A.2B.1C.-1的最小值为()OC=20A+OB,记△OAC的面积为S,则S的最大值为()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09.以下运算正确的是()A.√(-0.1)=0.1B.(1g2)²+1g21g25+(1g5)²=1试卷第2页，共6页CC为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,则下列结论正确的是()A.坐标原点O到直线AB的距离为.B.若PF·PF₂<0,则x₀的取值范围为C.△PAB的面积最大值为√2+112.已知等比数列{a}的各项都是正数，a₂a₆=16,则log₂a₅"413.已知dABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若则A="14.设函数f(x),如果存在函数g(x)=ax+b(a、b为常数),使得对函数f(x)定义域内任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么称g(x)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算试卷第3页，共6页(1)求观测点C与建筑物A之间的距离；(2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面16.已知菱形ABCD中，AB=2,,E为边BC的中点，将aABE沿AE翻折成△AB₁E(点B₁位于平面ABCD上方),连接B₁C和B₁D.(2)当B₁D=2√2时，在线段AD上是否存在点P,使得直线CP与平面B₁CD所成夹角的正弦值为?若存在，求出P点位置：若不存在，请说明理由.17.已知函数f(x)=xe³-ax(a>0).(1)若函数f(x)在x=-1处的切线与直线y=x垂直，求函数f(x)的单调区间：(2)若Vx>0,都有f(x)≥a(Inx+1)恒成立，求实数a的取值范围.18.2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”(GenerativeAI)向“决策式AI”(Decision-makingAI)的全面跨越.行业焦点已从AT“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力，某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测.工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分(满分100分),按(40,50),(50,60),(60,70),(70,80),(80,90),[90,100分成6组，绘制成(如下图)频率分布直方图：试卷第4页，共6页试卷第5页，共6页4频率/组距4频率/组距0L405060708090100分数规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率.与(1)估计这批元件人工检测评分的平均数(同一组数据用区间中点值代替);(2)该企业将AI智能质量检测投入使用.①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率；②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为(3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格.已知：每个实际合格元件出厂获利100元：每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理(为便于计算，元件成本忽略不计),若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望.19.双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面.由于双曲面可以由一条斜线通系中动点(u,v)在某双曲线C上，试卷第6页，共6页x²-x<0.【详解】数据从小到大重新排列为29,32,34,36,39,47,48,50,66,78,因为10×75%=7.5,由百分位数的定义可知：这组数据的第75百分位数是第8个数据50.【详解】由抛物线y²=2px过点A(2,2√2),得(2√2)²=2p2,解得p=2,所以抛物线的焦点到准线的距离为2.【分析】利用导数求出曲线在点(1,f(1))处的切线的【详解】由函数y=f(x)的定义域为R,f(1+x)=f(3-x),得函数y=f(x)的图象关于所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线的斜率为-1.【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解.【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.因为积水深9寸，所以水面半径答案第1页，共12页答案第2页，共12页所以盆中水的体积(立方寸).所以平地降雨量等于(寸),【分析】根据射影定理和基本不等式即可求解.【详解】因为圆的半径为2,所以AC+BC=AB=4,由射影定理可知CD²=AC·BC,所以【分析】首先求出点B的轨迹方程和直线AB的方程，然后根据向量的坐标运算求出点C的圆的参数方程以及辅助角公式即可求解.【详解】设B(x,y),已知P(2,0),PB|=1,因此B的轨迹为圆：(x-2)²+y²=1,直线OA的斜率,所以直线OA的方程为y=3x,即3x-y=0,点C到直线OA的距离答案第3页，共12页其中最大值为6+√10,因此：【分析】根据题意得出关于d的等式，再结合a>0可求得d的值，可判断A选项：由a₁=a₃-2d可判断B选项；求出S,的表达式，利用裂项求和法可判断C选项；求出的表达式，可判断D选项.由S₂S₃=S₆,则(10-3d)(15-3d)=3(d+10),整理可得3d²-26d+40=0,即(3d-20)(d-2)=0,解得或d=2,对于B选项，a=a₃-2d=5-2×2=1C对；对于D选项，,D对.对于A:直线AB过A(-2,0),B(0,-1),方程,即x+2y+2=0,对于D:直线PA方程：令x=0得,则直线PB方程：令y=0得,则,代入x²+4y}=4,得,D正确.【分析】根据等比数列的下标和性质以及对数的计算公式即可求解.【详解】由等比数列的性质可知log₂a₆=log₂√aza₁₀=log₂4=2.【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解。【详解】在cABC中，由,得整理得sinA=cosAcosC-sinAsinC=cos(A+C)=-cosB,而,则,又A是锐角，所以【分析】由题意可知对任意的x≥0,f(x)≤g(x),参变量分离,求出函数在[0,+∞]上的最大值，结合得出实数a的取值范围，【详解】由题意可知，对任意的x≥0,f(x)≤g(x),即sin2x-ae≤x-2,参变量分离可得令h(x)=2x-sin2x,其中x≥0,则h(x)=2-2cos2x≥所以函数h(x)在[0,+∞]上单调递增，故当x≥0时，h(x)=2x-sin2x≥h(0)=0,即答案第5页，共12页构造函数,其中x≥0,(2)根据方向角得：∠BCD=90°-60°=30°,∠BDC=90°+30°=120°,即AE⊥BC,得AE⊥BE,AE⊥EC(2)存在，P为AD的中点，过程如下：得各点坐标：E(0,0,0),A(-√J3,0,0),C(0,1,0),D(-√3,2,0),P在线段AD上，设AP=AAD(O≤λ≤1),得P(-答案第7页，共12页代入计算：,化简得2λ²-52+2=0,解得(2=2舍去，超出范围).因此存在点P,P为AD的中点满足条件，17.(1)f(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+∞).【分析】(1)首先利用导数的几何意义以及垂直关系求出a,然后根据导数的正负即可求解；利用导数求出其最小值，使其最小值大于等于0即可求解.(2)原不等式整理得：xe≥a(x+Inx+1)令t=x+Inx(x>0时可取遍所有实数),不等式转化为：对任意1,e≥a(t+1)恒成立.答案第8页，共12页要求g(1)≥0恒成立，即-alna≥0,结合a>0得Ina≤0,解得0<a≤1.故实数a的取值范围为(0,1).18.(1)71.5分②X0123P【分析】(1)先确定每组中点值，再结合频率分布直方图的频率/组距计算每组频率，最后代入公式计算平均数；(2)①先根据频率分布直方图计算实际合格和实际不合格的概率，再利用互斥事件概率加法公式和条件概率公式计算总概率；②因为X服从二项分布，所以先确定二项分布的参数n和P,再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，进而得到分布列.(3)先分析每种情况的收益和对应的概率，再根据离散型随机变量期望公式计算收益的期望，其中需要结合前面求出的实际合格、不合格的概率，以及AI判定的相关概率来确定各情况的概率，【详解】(1)平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.15+95×0.15=71.5分.(2)设事件A:元件实际合格，事件B:元件被AI判定为不合格，由题意得：①由全概率公式：②由题意，,计算概率得；答