2025-2026学年福建省泉州市南安市国光中学等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省泉州市南安市国光中学等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列各式中正确的是（）A.（3x）′=3xln3 B.（logax）′=

C.（3x）′=3x D.（logax）′=2.在某一次招聘中，主考官要求应聘者从备选题中一次性随机抽取10道题，并独立完成所抽取的10道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响．记甲最后的得分为X，则D（X）=（）A. B. C. D.3.若函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，0]上的最大值为2，则它在R上的极小值为（）A.-5 B.-3 C.24 D.274.的展开式中含x4的项的系数为（）A.55 B.36 C.27 D.215.下列说法错误的是（）A.设随机变量X服从二项分布，则

B.设离散型随机变量η服从两点分布，若P（η=1）=2P（η=0），则

C.设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n,若P（X＜4）=0.3，则n=20

D.从装有大小形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为Y，则6.已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A. B.

C. D.7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种8.已知不等式对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（）A. B. C.-e D.-2e二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法

B.5人站成一排，若甲、乙两人站一起，共有24种排法

C.站两排，甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法

D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有84种排法10.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记事件Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），事件B=“零件为次品”，则（）A.P（A1）=0.2 B.P（B|A2）=0.05 C.P（B）=0.058 D.11.已知函数f（x）=ex-bx-2有两个零点x1，x2，则（）A.当b=e时，f（x）≤-2 B.

C.当b＞e时， D.函数g（b）=|x1-x2|取最小值时，b=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从1，2，3，…，9这9个自然数中任取3个数，若ξ表示取出的三个数中偶数的个数，则E（ξ）=

.13.已知的展开式第3项的系数为84，则展开式中最大的二项式系数值为

.14.已知函数，则∀x∈R，存在a,b（其中a,b∈R且|a|≥1），能使以下式子恒成立的是

.

①f（2x）≤f（l+x2）；②f（x）+f（-x）=2026；③f（-x2）＜f（a+l）；④f（x2）＞f（2-a-1）.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的.

（1）六位奇数；

（2）不大于4310的四位偶数.16.(本小题15分)

已知函数．

（1）若a=1，求f（x）在[1，2]上的值域；

（2）若a2-a≠0，讨论f（x）的单调性．17.(本小题15分)

已知函数f（x）=a（ex+a）-2lnx（a＞0），f（x）的导函数为f'（x）.

（1）当a=1时，解不等式f（x）＞ex；

（2）判断f′（x）的零点个数；

（3）证明：.18.(本小题17分)

为营造浓厚的全国文明城市创建㞣围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

（2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E（X）；

（3）若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望E（Y）.19.(本小题17分)

某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对p1（0＜p1＜1）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为p1，亮起绿灯的概率为1-p1．随后若第n（n∈N*）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．

（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】BD

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】35

14.【答案】①②

15.【答案】288

110

16.【答案】解：（1）因为a=1，所以，，

所以f（x）在[1，2]上单调递增，

因为，f（2）=-3+ln2，所以f（x）在[1，2]上的值域．

（2）．

因为a2-a≠0，所以a≠0，且a≠1．

当a＜0时，a2＞0，则f（x）在（0，a2）上单调递减，在（a2，+∞）上单调递增；

当0＜a＜1时，a2＜a，则f（x）在（0，a2）上单调递增，

在（a2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；

当a＞1时，a2＞a，则f（x）在（0，a）上单调递增，

在（a，a2）上单调递减，在（a2，+∞）上单调递增．

17.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=ex+1-2lnx，x>0,

对于f（x）＞ex，

则ex+1-2lnx＞ex，

即，所以，

所以不等式的解集为；

（2）函数f（x）的定义域为，

，

令g（x）=axex-2，x>0，

则g′（x）=a（x+1）ex＞0，

所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

又因为

，

所以存在使得g（x0）=0，

所以f′（x）在区间（0，+∞）上有且只有一个零点x0；

（3）证明：由（2）知，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，

f（x）在（0，x0）上单调递减，

当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，

f（x）在（x0，+∞）上单调递增，

所以，

因为，

所以，

所以

=

，当且仅当x0=1时等号成立,

所以.

18.【答案】解：（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动为事件B，

则P（AB）==，P（A）==，

所以P（B|A）===；

（2）依题意知X服从超几何分布，

所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，

所以X的分布列为：X012P所以；

（3）设一名女生参加活动可获得工时数为X1，一名男生参加活动可获得工时数为X2，

则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，

，E（X1）==，

，，

有X名女生参加活动，则男生有2-X名参加活动，Y==15-2X，

所以E（Y）=E（15-3X）=15-3E（X）=15-3×=13，

即两人工时之和的期望为13个工时．

19.【答案】解：（1）据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，

当X=0时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则，

当X=1时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则，

当X=2时，前3次亮灯的颜色为“红红绿“或“红绿红”或“绿红红”，

则，

当X=3时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则，

所以X的分布列为：

X