北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（

）A. B. C. D.2.已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（）A.464 B.576 C.720 D.14403.曲线在处的切线的倾斜角为（

）A. B. C. D.4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A.504 B.210 C.336 D.1205.若，则（

）A.18 B. C.12 D.6.若，则在处的切线方程为（

）A. B. C. D.7.曲线f（x）=e2x过坐标原点的切线方程为（）A. B.y=ex C.y=e2x D.y=2ex8.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）

A. B.

C. D.9.两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格品．令事件A为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B为“从100个产品中任意取一个，取出甲生产的产品”，则等于（

）A. B. C. D.10.已知函数f(x)=,g(x)=,若对任意的,(0,+),<,f()-f()<g()-g()恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-,0] B.(-,] C.(-,e] D.(0,]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.的展开式中的系数为

.12.已知随机变量，若，，则

．13.在二项式的展开式中，常数项为

．14.若函数在区间上单调，则实数的取值范围是

.15.已知，，随机变量X的分布列是：X012Pab若，则a=

；D（3X-1）=

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)现有5道题，其中3道甲类题，，，2道乙类题，.（1）若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率；（2）若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括但不包括的概率.17.(本小题12分)

某校组织一次冬令营活动.有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学.为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务.记其中有X名男同学.(1)求X的分布列与期望；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.18.(本小题12分)在△ABC中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若c=4，△ABC的面积为，求该三角形的周长.19.(本小题12分)如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．(1)证明：；(2)若点是中点，求点到平面的距离．20.(本小题14分)已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)试判断函数的单调性并写出单调区间；21.(本小题15分)

北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元（10≤a≤13）的税收，预计当每件产品的售价为x元（13≤x≤17）时，一年的销售量为（x-18）2件．

（1）求该商店一年的利润L（万元）与每件品的售价x的函数关系式；

（2）求出L的最大值Q（a）．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】240

14.【答案】

15.【答案】

；

5

16.【答案】解：(1）从这5道题中任选2道，基本事件有：，共10个

至少有1道题是乙类题包含的基本事件有,共7个，

所以这2道题至少有1道题是乙类题的概率为.

(2）从甲类题、乙类题中各选1道题，基本事件有共6个

包括但不包括包含的基本事件有：,共2个.

这2道题包括但不包括的概率为

答：这2道题包括但不包括的概率为.

17.【答案】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，

，，，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

(2)记事件去执行任务的同学中有男有女则.

18.【答案】解：（1）由正弦定理得

，

即

，

所以

，

​

所以

，

所以

；

（2）由题意得

，

所以

，

由余弦定理得​

，

所以

，

所以​该三角形的周长为.

19.【答案】(1)证明:因为AB=2,BF=2,AF=2,

所以+=,所以BFAB.

因为平面ABEF平面ABCD,

平面ABEF平面ABCD=AB,BF面ABEF,

所以BF平面ABCD,​​​​​​​

又因为CD平面ABCD,所以CDBF.

(2)解：由(1)知,BF平面ABCD且ABBC,

以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),D(2,2,0),F(0,0,2),E(-2,0,2),M(-1,2,1),

所以=(2,2,0),

=(-2,0,2)，=(-1,2,1).

设平面BDE的一个法向量为=(x,y,z),

则,

故可取=(1,-1,1).

设点M到平面BDE的距离为d,

​​​​​​​则d===.

20.【答案】解：（1）由函数，所以函数的定义域为，，所以，，∴曲线在点处的切线方程为：，即．所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为函数的定义域为，且，令，得；令，得，因此函数的单调增区间是，单调减区间是．

21.【答案】解：（1）商店一年的利润L（万元）与每件品的售价x的函数关系式为：

L=（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17]．

（2）L=（x-5-a）（18-x）2，

求导可得L'（x）=（28+2a-3x）（18-x），

令L'=0，解得x=18或x=，

∵10≤