4.3动量观点在电磁感应中的应用（教师版）

专题四电路与电磁感应4.3动量观点在电磁感应中的应用【命题分析】高考命题对中涉及安培力是变力，常常结合动量定理利用安培力的冲量解决变加速问题。双金属棒电磁感应问题，若系统所受合外力为零，则满足动量守恒定律。【素养要求】掌握应用动量观点处理电磁感应中的动量、电荷量、时间及位移等问题。掌握动量和能量观点处理电磁感应中的能量转化问题。1.(2023·辽宁卷·10)（多选）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（）

A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为【答案】AC【解析】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A正确；B．任意时刻，设电流为I，则PQ受安培力方向向左；MN受安培力方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，PQ速率为v时，则解得回路的感应电流MN所受安培力大小为选项B错误；C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得可得则最终MN位置向左移动PQ位置向右移动因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F弹，安培力平均值F安，则整个过程根据动能定理可得选项C正确；D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN向左位置移动，PQ位置向右移动，则选项D错误。故选AC。重点一动量定理在电磁感应中的应用在导体切割磁感线做变加速运动时，若运用牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。求解的物理量应用示例电荷量或速度-BILΔt=mv2-mv1，q=IΔt，即-BqL=mv2-mv1位移-B2L2v即-B2L2时间-BILΔt+F其他Δt=mv2-mv1，即-BLq+F其他Δt=mv2-mv1，已知电荷量q、F其他(F其他为恒力)-B2L2vΔtR总+F其他Δ即-B2L2xR总+F其他Δt=已知位移x、F其他(F其他为恒力)例题1.如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度为，一端连接阻值为的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的导体棒放在导轨上，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。给导体棒一个向右的初速度，并以此时刻作为计时起点，在求导体棒的速度随时间变化的函数关系时，可与放射性元素的原子核发生衰变的情形作类比。放射性元素的原子核发生衰变时，单位时间内发生衰变的原子核个数与现存的，未衰变的原子核个数成正比：，其中为比例常数，“-”表示原子核个数减少，上述方程的解为：，其中为时刻未衰变的原子核个数，为时刻未衰变的原子核个数。则导体棒的速度随时间变化的函数关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在极短的时间内，由动量定理可得安培力为导体棒切割磁感线产生的电动势为电路中的电流为联立上式可得整理得结合题目中的信息可得故选A。训练1.如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（）A．线框在进和出磁场的两过程中动量变化量不相等B．线框在进和出磁场的两过程中产生的焦耳热相等C．线框在进和出磁场的两过程中安培力的冲量不相等D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等【答案】D【解析】AD．线框在进和出磁场的过程中通过导线横截面的电荷量为线框在进和出磁场的过程中磁通量变化量相同，线框在进和出磁场的过程中通过导线横截面的电荷量相等，根据线框在进和出的过程中通过导线横截面的电荷量相等，所以线框在进出磁场过程动量变化量相等，A错误，D正确；B．线框产生的焦耳热大小等于线框克服安培力所做的功，即线框中的感应电流为线框在进磁场的过程中的平均速度大于线框在出磁场的过程中的平均速度，则线框在进磁场过程中产生的焦耳热大于出磁场过程中产生的焦耳热，B错误；C．线框在进出磁场过程动量变化量相等，由可知，安培力冲量相等，C错误。故选D。重点二动量守恒定律在电磁感应中的应用物理模型两杆都在运动，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减；系统动量是否守恒分析方法动力学观点通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动能量观点两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和动量观点对双杆合外力为零，应用动量守恒定律处理速度问题，对其中一杆应用动量定理可解电荷量、时间及位移差问题例题2.如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距，放在水平绝缘桌面上，半径为的圆弧轨道处在竖直平面内且与水平直导轨在最低点相切，水平直导轨处在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒、垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒质量为、电阻为，棒的质量为、电阻为。重力加速度为。开始时棒静止在水平直导轨上，棒从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒与棒落地点到桌面边缘的水平距离之比为。则（）A．棒离开导轨时的速度大小为B．棒离开导轨时的速度大小为C．棒在水平导轨上的最大加速度大小为D．两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热为【答案】D【解析】AB．设棒进入水平导轨时的速度为，根据棒从圆弧轨道滑下机械能守恒有解得离开导轨时，设棒的速度为，棒的速度为，棒与棒在水平导轨上运动动量守恒两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移可知联立解得AB错误；C．棒刚进入水平导轨时，棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路中的感应电动势为棒受到的安培力根据牛顿第二定律，棒的最大加速度联立解得C错误；D．根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程中产生的焦耳热解得D正确。故选D。训练2.如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的圆弧轨道处在竖直平面内且与水平直导轨在最低点相切，水平直导轨处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab质量为2m、电阻为r，棒cd的质量为m、电阻为r。重力加速度为g。开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为3∶1。则（）A．棒ab离开导轨时的速度大小为B．棒cd离开导轨时的速度大小为C．棒cd在水平导轨上的最大加速度大小为D．两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热为【答案】D【解析】AB．设ab棒进入水平导轨的速度为v0，由动能定理得设ab棒离开导轨时的速度为v1，cd棒离开导轨时的速度为v2，由动量守恒定律得两棒离开导轨做平抛运动，根据平抛运动的规律可知，二者平抛运动的时间相等，且联立以上各式解得，故AB错误；C．ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时加速度最大，则故C错误；D．根据能量守恒定律，两棒在导轨上运动过程产生的焦耳热故D正确。故选D。难点一用力学三大观点分析电磁感应问题例题3.电磁制动是一种利用电磁感应产生的电磁力来制动的技术，广泛应用于各种机械设备中。一电梯内制动系统核心部分的模拟原理图如图甲所示，一闭合正方形导线框abcd始终处于竖直平面内，其质量，阻值，边长；磁场两边界水平且宽度为L，磁感应强度大小为，方向垂直线框平面向里。当线框ab边与磁场上边界间的距离为L时线框以大小为的初速度竖直向下运动，同时受到大小随位移按图乙所示变化、方向竖直向上的拉力F作用。取，求：(1)线框ab边刚进入磁场时的速度大小以及加速度大小a；(2)线框进入磁场的过程中通过线框某一横截面的电荷量绝对值q；(3)线框通过磁场过程中产生的总焦耳热Q。【答案】(1)，(2)(3)1.375J【解析】（1）根据动能定理有由图乙知解得线框边刚进入磁场时，根据牛顿第二定律有由图乙知根据闭合电路欧姆定律有解得（2）线框进入磁场的过程中，根据法拉第电磁感应定律有根据闭合电路欧姆定律有电荷量解得（3）设线框边到达磁场下边界时的速度大小为，线框离开磁场时的速度大小为，根据动量定理有，又解得根据能量守恒定律有解得训练3.如图所示，间距为的光滑平行金属导轨由两部分组成，之间接有一个电容器，左侧部分导轨与水平面成角倾斜放置，两导轨间有垂直该部分导轨所在平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。右侧部分为水平导轨，、两处各由绝缘材料平滑连接两侧导轨，与、与之间均存在垂直该部分导轨所在平面向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，与、与之间距离均为。由质量为、电阻为的均匀金属丝制成的刚性线框放置在导轨上，边恰处于位置，，，其中心到两根导轨的距离相等。初态时开关S断开，质量也为、长度略大于的金属杆从左侧导轨上距离地面高为处由静止下滑至导轨底端时速度大小为。已知与间距离足够长，导轨及金属杆的电阻均不计，重力加速度为。(1)求金属杆下滑至导轨底端时电容器两端的电压及电容器储存的能量；(2)求电容器的电容；(3)金属杆从左侧导轨底端滑出后，闭合开关S，求线框边运动到位置时的速度大小；(4)第（3）问中线框边运动到位置的瞬间断开开关S，求线框的边从位置滑出磁场时的速度。【答案】(1)，(2)(3)(4)【解析】（1）金属杆下滑至导轨底端时，电容器两极板间的电势差金属杆下滑过程中，减小的重力势能等于金属杆增加的动能和电容器储存的能量之和，则杆下滑到导轨底端时，电容器储存的能量为（2）杆下滑过程中，设某时刻回路中电流为，在较短的时间内有对电容器有由法拉第电磁感应定律可得，杆产生感应电动势的变化量根据牛顿第二定律，杆的加速度满足又由加速度的定义式解得可知杆沿导轨向下做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动规律可得，杆运动到导轨底端时的速度满足解得电容器的电容（3）线框边运动到位置的过程中，线框边和边在导轨间的部分并联，电容器通过该并联部分对外放电，因与间距离足够大，因此最终线框匀速运动，由动量定理可得即其中即为电容器放出的电荷量，结合其中解得（4）线框边运动到位置的瞬间断开开关S，在线框边运动到位置之前，线框边和边在导轨间的部分通过导轨形成回路，分别相当于电源和外电路电阻，回路的总电阻为。设回路平均电流为，安培力的冲力为其中平均电流由法拉第电磁感应定律得其中可得安培力的冲量为线框边从位置运动到位置过程中，由于、两处绝缘材料的存在，线框边在导轨间的部分相当于电源，整个线框形成回路，总电阻为，同理可得，安培力的冲量为线框运动出磁场的过程，线框cd边和ef边在导轨间的部分通过导轨形成回路，分别相当于电源和外电路电阻，回路总电阻为。同理可得，安培力的冲量为对线框，从ef边在EF位置运动到cd边恰出磁场的过程，根据动量定理可得解得（建议用时：30分钟）1．如图，间距为的光滑平行金属导轨，水平置于磁感应强度为，方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接有阻值为的定值电阻。质量为的金属杆在水平外力的作用下以速度向右匀速运动，其内部自由电子沿杆定向移动速率为。设在金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。某时刻撤去外力，一段时间后电子沿杆速率变为。在这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设金属杆内单位体积的自由电子数为，金属杆的横截面积为，则金属杆以速度向右做匀速直线运动时产生的电流由电流的微观表达式由金属棒切割磁感线产生的感应电流联立解得当自由电子沿金属杆定向移动的速率可得金属杆的速度以金属杆为研究对象，金属杆的速度由变到，取向右为正方向，由动量定理有根据电流的微观表达式可得由于联立解得故选D。2．如图所示，一充好电的平行板电容器放在光滑绝缘水平面上，两极板垂直于水平面，相距为L，匀强磁场方向垂直水平面向下，磁感应强度大小为B。t=0时刻，将一长度为L的导体棒ab垂直极板放在两极板之间的水平面上，从静止释放，t1时刻导体棒经过图中虚线位置时电流大小为i（i≠0），此时导体棒动量变化率为k。运动中导体棒始终与极板接触良好，不计一切摩擦。下列说法正确的是（）A．0~t1时间内，导体棒的动量变化量一定大于kt1B．0~t1时间内，导体棒的动量变化量一定小于kt1C．k的方向水平向左D．k的大小为iL【答案】A【解析】CD．以水平向右为正方向，对导体棒有BiLΔt=ΔpΔp的方向水平向右；所以k的方向水平向右，故CD错误；AB．0～t1时间内，电容器带电量逐渐减小，则流过导体棒的电流减小，平均电流大于t1时刻的电流，所以该过程中导体棒的动量变化量一定大于kt1，故A正确，B错误。故选A。3．如图所示，水平传送带足够长，沿顺时针方向以速度匀速转动，某质量为m、带负电的绝缘物块无初速度地从最左端放上传送带。该装置处于垂直纸面向里的匀强磁场中，物块所带电荷量保持不变。下列说法中正确的是（）A．物块所受的摩擦力大小不变B．物块做加速度减小的加速运动C．物块增加的动能为D．物块动量的变化率保持不变【答案】C【解析】A．物块带负电，所受洛伦兹力方向竖直向下，设动摩擦因素为，那么，随着v增大，物块所受的摩擦力大小增大，当物块速度与传送带速度相等时，摩擦力消失，A错误；B．根据牛顿第二定律得解得随着v增大，加速度也增大，当物块速度与传送带速度相等时，加速度，B错误；C．当物块速度与传送带速度相等时，物块将做匀速直线运动，物块增加的动能为，C正确；D．根据动量定理有可得物块开始加速过程中合外力等于摩擦力，摩擦力在变大，故物块动量的变化率变大，D错误。故选C。4．某电磁缓冲装置如图所示，两足够长且间距为的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨左端与一阻值为的定值电阻相连，导轨BC段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于磁感应强度大小为方向竖直向下的匀强磁场中，、、均与导轨垂直，一质量为的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，，导轨电阻不计，重力加速度为，下列说法正确的是（）A．金属杆在磁场中做匀减速直线运动B．在整个过程中，定值电阻产生的热量为C．金属杆经过区域过程，其所受安培力的冲量大小为D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离等于原来的2倍【答案】B【解析】A．金属杆在磁场中运动过程，根据，，可得可知安培力随速度的减小而减小，所以金属杆在磁场中不是做匀减速直线运动，故A错误；B．在整个过程中，根据能量守恒有则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为故B正确；C．金属杆经过区域过程，其所受安培力的冲量大小为故C错误；D．金属杆以初速度在磁场中运动时，设金属杆在区域运动的时间为，全过程对金属棒根据动量定理可得金属杆的初速度加倍，设此时金属杆在区域运动的时间为，全过程对金属棒根据动量定理可得联立整理得分析可知当金属杆速度加倍后，金属杆通过区域的速度比第一次大，故，可得可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍，故D错误。故选B。5．如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一根水平放置的金属棒以某一水平速度抛出，金属棒在运动过程中始终保持水平且未离开磁场区域。不计空气阻力，金属棒在运动过程中，下列说法正确的是（）A．感应电动势越来越大B．单位时间内，金属棒的动量增量变大C．金属棒中的机械能越来越小D．单位时间内金属棒扫过的曲面中的磁通量不变【答案】D【解析】A．金属棒做平抛运动，水平速度不变，根据E=BLv0可知，棒中的感应电动势不变，故A错误；B．根据动量定理可知，单位时间内，金属棒的动量增量为，大小不变，故B错误；C．金属棒在运动过程只有重力做功，则机械能守恒，故C错误；D．单位时间内ab的水平位移为v0，则扫过的曲面中的磁通量不变，故D正确；故选D。6．某电磁缓冲装置的原理如图所示，两足够长的平行光滑金属导轨置于同一水平面内，两导轨左端之间与一阻值为的定值电阻相连，直线右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为的金属杆垂直导轨放置，在直线的右侧有与其平行的两直线和，且与、与间的距离均为。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终金属杆恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为。导轨的电阻及空气阻力均可忽略不计，下列说法中正矶的是（）A．金属杆经过时的速度为B．在整个过程中，定值电阻产生的热量为C．金属杆经过和区域，其所受安培力的冲量不同D．若将金属杆的初速度变为原来的倍，则其在磁场中运动的最大距离大于原来的倍【答案】A【解析】A．设平行金属导轨间距为，金属杆在区域向右运动的过程中切割磁感线有，金属杆在区域运动的过程中，时间内，根据动量定理有则由于则上面方程左右两边累计求和，可得设金属杆经过的速度为，同理对金属杆在区域运动的过程中根据动量定理，同理可得综上有则金属杆经过的速度等于，A正确；B．在整个过程中，根据能量守恒有则在整个过程中，定值电阻产生的热量为B错误；C．金属杆经过与区域，金属杆所受安培力的冲量为因金属杆经过与区域滑行距离均为，所以金属杆所受安培力的冲量相同，C错误；D．根据A选项可得，金属杆以初速度在磁场中运动有可见若将金属杆的初速度变为原来的倍，则金属杆在磁场中运动的最大距离等于原来的倍，D错误。故选A。7．如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（）A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动C．在时间内，ab棒产生的热量为D．在时间内，通过cd棒的电荷量为【答案】D【解析】A．金属棒刚开始运动时，根据右手定则可知棒中的电流方向为，故A错误；B．ab运动后，由于安培力作用，速度会逐渐减小，同时cd棒将做加速运动，回路总电动势减小，电流减小，cd棒受到的安培力会减小，由于，可知，cd棒的加速度会减小，故B错误；C．两金属棒组成的系统动量守恒解得由于棒与棒质量之比为，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为，由得电阻之比为，故棒与棒产生的热量之比为，根据两棒组成的系统能量守恒有时间内棒产生的热量故C错误；D．对棒列动量定理有又则在时间内，通过棒的电荷量故D正确。故选D。8．如图所示，水平面内固定有两根足够长的光滑平行导轨，导轨间距为l，电阻忽略不计。质量为m、电阻为R的导体棒与质量为、电阻为的导体棒均垂直于导轨静止放置，两导体棒相距为d，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现让棒以初速度v水平向左运动，直至最终达到稳定状态，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则在此过程中下列选项错误的是（

）A．两导体棒任意时刻加速度不相同B．通过两导体棒的电荷量总是相等C．棒上所产生的热量为D．最终稳定时两导体棒间的距离为【答案】C【解析】AB．棒切割磁感线，产生感应电动势，整个回路中产生感应电流，所以两导体棒中电流大小相同，根据可知，通过两导体棒的电荷量总是相等。再根据左手定则及安培力公式可判断出两棒所受安培力大小相等，方向相反，根据可知，两导体棒质量不同，所以加速度大小方向均不同，故AB正确，不符合题意；C．经分析可知，棒受向后的安培力，减速，PQ棒受向前的安培力，加速，直到两个导体棒共速，则不再产生感应电流，两棒匀速，根据动量守恒定律，有根据能量守恒定律，有棒上所产生的热量为解得故C错误，符合题意；D．整个过程中通过的电荷量为对棒，根据动量定理，有即最终稳定时两导体棒间的距离为解得故D正确，不符合题意。本题选择错误选项；故选C。9．如图，光滑平行金属导轨、水平部分固定在水平平台上，圆弧部分在竖直面内，足够长的光滑平行金属导轨、固定在水平面上，导轨间距均为L，点与点高度差为，水平距离也为，导轨、左端接阻值为R的定值电阻，水平部分处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，平行金属导轨、完全处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，两磁场的磁感应强度大小均为。质量为的导体棒放在金属导轨、上，质量为m的金属棒从距离导轨水平部分高度为处由静止释放，从处飞出后恰好落在P、Q端，并沿金属导轨、向右滑行，金属棒落到导轨、上时，竖直方向分速度完全损失，水平分速度不变，最终a、b两金属棒恰好不相碰，重力加速度大小为，不计导轨电阻，一切摩擦及空气阻力。a、b两金属棒接入电路的电阻均为R，运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。求：(1)导体棒a刚进入磁场时的加速度大小；(2)平行金属导轨、水平部分长度d；(3)通过导体棒b中的电量及整个过程金属棒a产生的焦耳热。【答案】(1)(2)(3)，【解析】（1）设金属棒a刚进入磁场时的速度大小为，根据动能定理有解得金属棒进入磁场的瞬间，金属棒a中感应电动势感应电流根据牛顿第二定律有解得（2）设金属棒a从、飞出时的速度为，飞出后做平抛运动，则有，解得金属棒a在金属导轨、水平部分运动过程中，根据动量定理有根据电流的定义式有该过程感应电动势的平均值感应电流的平均值又解得（3）金属棒