3.4 函数的应用（二）

.4函数的应用（一）一、单选题1．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．2．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（）A． B．C． D．3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）①这几年生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1 B．2C．3 D．44．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米二、多选题5．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是（）A．买小包装实惠B．买大包装实惠C．卖3小包比卖1大包盈利多D．卖1大包比卖3小包盈利多6．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（）A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢C．第三年后，这种产品停止生产D．第三年后，年产量保持不变7．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当时，y与x的关系式为E.当时，y与x的关系式为三、填空题8．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米元.李明家的使用面积为平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过_______平方米.9．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.10．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．四、解答题11．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式（可带参数）；（2）假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的表达式；12．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM面积的最大值.13．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝(t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/时）是关于车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到辆/千米，造成阻塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/时，研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数.（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.（结果精确到辆/时）参考答案1．A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.【详解】由题设有，由得，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.2．D【分析】根据已知条件可得出函数解析式，结合三角形三边关系可得出的取值范围.【详解】依题意得，所以，由三边形三边关系可得，即，解得.因此，函数解析式为.故选：D.3．C【分析】认真观察图形就可以判断.【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．故选：C.4．A【分析】由题意得到关于用水量和水费的分段函数，然后求解该职工这个月实际用水即可.【详解】设职工的用水量为立方米，需要交纳的水费为元，当时，，当时，，即函数的解析式为：，据此分类讨论：当时，，解得，不合题意，舍去；当时，，解得，符合题意；综上可得：该职工这个月实际用水为13立方米.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．BD【分析】根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.故选：BD6．AC【分析】根据函数图像依次分析各选项即可得答案.【详解】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.故选：AC7．BD【分析】分析函数图象，即可判断正误.【详解】解：在中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，错误；由题中图象知，正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，错误；当时，设，则，解得，正确；当时，题中图象是平行于轴的线段，错误．故选：．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．8．【分析】设李明家建筑面积为平方米，分别求出两种方案所需费用，再根据选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，列出不等式，即可得出答案.【详解】解：设李明家建筑面积为平方米，按方案（1），李明家需缴元，按方案（2），李明家需缴元，因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，则，解得，所以它的建筑面积最多不超过80平方米.故答案为：80.9．2250【分析】先设原价，再根据题意列等式求解即可.【详解】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2250.∴每台彩电的原价为2250元.故答案为：2250.10．7【分析】确定函数解析式，解不等式，即可得到结论．【详解】设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.解y≥0，得6-≤x≤6+，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.故答案为：711．（1）；（2）.【分析】（1）根据流量R与管道半径r的四次方成正比求得函数解析式.（2）利用已知条件求得，由此求得的表达式.【详解】(1)由于流量R与管道半径r的四次方成正比，所以函数解析式为．(2)由r＝3cm，R＝400cm3/s，得k·34＝400，∴，∴流量R的表达式为.12．（1）；（2）48.【分析】（1）利用三角形相似，可得函数得解析式与定义域；（2）表示出面积，结合二次函数得性质即可求出最大值.【详解】解（1）如图所示，延长NP交AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.在中，，所以.所以，定义域为.（2）设矩形BNPM的面积为S，则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.13．销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．【分析】先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值．【详解】设日销售金额为元，则，即，当时，，时有最大值900；当时，是减函数，时有最大值1125.综上所述，时有最大值1125，所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.14．（1）；（2），最大值为3333.【分析】（1）分两段进行讨论，当时，容易得到答案，当时，设出函数解析式，再将点（200,0）和（20,60）代入解出即可；（2）由（1）写出函数解析式，分两段分别求出函数的最大值，进而得到答案.【详解】（1）由题意得，当时，，当时，设，由已知得，解得，故函数；（2）依题意得，，当时，为增函数，此时，，当时，，最大值为，∴当时，的最大值为.A级必备知识基础练1.[探究点一]用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25m.当这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为()时,围成的矩形菜园ABCD的面积最大?A.152 B.25C.10 D.152.[探究点一](多选题)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元3.[探究点三]某企业为响应政府号召,积极参与帮扶活动.该企业2022年初有资金150万元,资金的年平均增长率固定,每三年政府将补贴10万元.若要实现2025年初的资金达到270万元的目标,资金的年平均增长率应为(参考值:31.82≈1.22,31.73A.10% B.20%C.22% D.32%4.[探究点二]某医院在成为某病毒检测定点医院并开展检测工作的第n天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位:小时)大致服从的关系为t(n)=t0n,n<N0,t0N0,n≥N0(t0,N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为A.16小时 B.11小时 C.9小时 D.7小时5.[探究点二]为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为千瓦时.

6.[探究点三]某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(单位:万元)与药品利润y(单位:万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告费用投入5万元,预计今年药品利润为万元.

7.[探究点一]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(单位:万元)与年产量x(单位:吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=x25-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210(1)求年产量为多少吨时,总成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?B级关键能力提升练8.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶2km,乘客需付费8元B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km9.某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售,销售方案如下:若一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%,在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为.

10.为弘扬“中国女排精神”,加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习,某同学以初速度v0=12m/s竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为秒(小数点后保留两位有效数字).(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式h=v0t-12gt2,其中g取9.8m/s2,655≈25.59)11.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念,展示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速发展.筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一万台需另投入80万元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完.当0<x≤20时,每万台的年销售收入t(单位:万元)与年产量x(单位:万台)满足关系式:t=180-2x;当x>20时,每万台的年销售收入t与年产量x满足关系式:t=70+2(1)写出年利润y关于年产量x的函数解析式(利润=销售收入-成本);(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大?并求最大利润.C级学科素养创新练12.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-3x500)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?答案：1.B设矩形的宽为x米,矩形的面积为S,则由题意可得矩形的长为50-2x,则0<x<25,所以矩形的面积为S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5.因为0<x<25,所以当x=252时,矩形面积取得最大值,故选B2.BC设杂志的定价为x元,总销售收入为y元,根据题意可得y=x(100000-x-20.2×-25000x2+150000x,当销售收入不少于22.4万元时,-25000x2+150000x≥224000,解得2.8≤x≤3.2,故选BC.3.B由题意,设年平均增长率为x,则150(1+x)3+10=270,所以x=32615-1≈1.2-1=0.2,故资金的年平均增长率为20%.故选4.C因为第16天检测过程平均耗时为16小时,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,所以N0>16,因为第16天检测过程平均耗时为16小时,所以t016=16,得t0因为第64天检测过程平均耗时为8小时,所以64N0=8,解得N0=64,所以t(n)所以当n=49时,t(49)=6449=647≈5.580设用电量为x千瓦时,电费y元,y=0若y=360时,当0≤x≤240时,则0.5x=360,解得x=720∉[0,240],不满足题意;当240<x≤400时,则0.6(x-240)+120=360,解得x=640∉(240,400],不满足题意;当x>400时,则0.8(x-400)+216=360,解得x=580∈(400,+∞),满足题意.故该户居民10月份的用电量为580千瓦时.6.125由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y=xα中,即3α=27,解得α=3,故函数关系式为y=x3.所以当x=5时,y=53=125.7.解(1)因为y=x25-48x+8000=15(x-120)2+5120(0≤所以当年产量为120吨时,其生产的总成本最低,最低成本为5120万元.(2)设该工厂获得年总利润为f(x)万元,则f(x)=40x-y=40x-x25+48x-8000=-x25+88x-8000=-15(x-220)2+1680(0因为f(x)在[0,210]上单调递增,所以当x=210时,f(x)取最大值f(210)=-15(210-220)2+1680=1660故当年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.8.BCD在A中,出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.9