4.5.3 函数模型的应用 第1课时

第1页共6页4.5.3函数模型的应用一、选择题1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Igeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍 B．10倍C．10eq\f(7,6)倍 D．lneq\f(7,6)倍3．设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa，在1000m高空处的大气压强为0.90×105Pa，则在600m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)()A．9.4×104Pa B．9.4×106PaC．9×103Pa D．9×105Pa4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是()5．(2018·唐山一中高一期中)拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3.71，0<m≤4，,1.06×0.5[m]＋1，m>4))给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为()A．3.71元 B．4.24元C．4.7元 D．7.95元6．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于()A．lgeq\f(0.5,0.92) B．lgeq\f(0.92,0.5)C．eq\f(lg0.5,lg0.92) D．eq\f(lg0.92,lg0.5)二、填空题7．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________.8．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)9．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为Teq\f(1,2).现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________.10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin后物体的温度θ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，且把温度是100℃的物体放在10℃的空气中冷却tmin后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于______．(参考数据：ln3取1.099，ln2取0.693)三、解答题11．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为eq\r(e)－1秒，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)12．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－eq\f(t,400)，其中Q0是臭氧的初始量．(1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？14．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．(1)求a的值；(2)求k的值；(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程．答案：1、解析：选D经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2、解析：选B依题意可知，η1＝10·lgeq\f(I1,I0)，η2＝10·lgeq\f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq\f(I1,I0)－10·lgeq\f(I2,I0)，则1＝lgI1－lgI2，所以eq\f(I1,I2)＝10.故选B.3、解析：选A依题意得：1.01×105＝ce0＝c,0.90×105＝ce1000k，因此e1000k＝eq\f(0.9,1.01)≈0.89，因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104，故选A.4、解析：选A由题意得，当0<x≤1时，S△APM＝eq\f(1,2)×1×x＝eq\f(1,2)x；当1<x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×1－eq\f(1,2)×1×(x－1)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2－x)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)；当2<x<eq\f(5,2)时，S△APM＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－x))×1＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4).结合各选项可知，A选项符合题意．5解析：选B由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.2]＝6.所以f(5.2)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元．故选B.6、解析：选C由题意知a(1－8%)t＝eq\f(a,2)，即(1－8%)t＝eq\f(1,2)，等式两边取对数得lg0.92t＝lg0.5，即tlg0.92＝lg0.5，∴t＝eq\f(lg0.5,lg0.92)，故C选项是正确的．7、解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，所以(1＋a)3＝eq\f(125,64)，所以1＋a＝eq\f(5,4)，故a＝eq\f(1,4)＝25%.答案：y＝6.4(1＋a)x25%8、解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有nlgeq\f(3,4)＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq\f(13,3)＝4eq\f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．答案：59、解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝320·2(t≥0)．答案：4320·2(t≥0)10、解析：由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，化简可得e－0.24t＝eq\f(1,3)，∴－0.24t＝lneq\f(1,3)＝－ln3，∴0.24t＝ln3＝1.099，∴t≈4.58.答案：4.5811、解：因为刹车反应时间为eq\r(e)－1秒，所以S1＝10ln(eq\r(e)－1＋1)＝10lneq\r(e)＝5，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，解得b＝eq\f(1,180)，即S2＝eq\f(1,180)v2.若v＝100，则S2＝eq\f(1,180)×1002≈56，S1＝5，所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．12、解：(1)因为Q0>0，－eq\f(t,400)<0，e>1，所以Q＝Q0e为减函数，所以随时间的增加，臭氧的含量减少．(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q＝Q0e＝eq\f(1,2)Q0，即e＝eq\f(1,2)，取对数可得－eq\f(x,400)＝lneq\f(1,2)，解得x＝400ln2≈277.2.所以278年以后将会有一半的臭氧消失．13、解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，则eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，则eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．14、解：(1)由题意，t＝0，S＝a＝7.(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．溶解过程：随着时间的增加，逐渐溶解．A级必备知识基础练1.[探究点一·陕西西安高一期末]如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该果蔬的保鲜时间为()A.16小时 B.24小时 C.36小时 D.72小时2.[探究点三]有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2t B.V=log12C.V=t2-12 D.3.[探究点二](多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.74.[探究点二]大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P的关系为v=12log3P100,则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为(A.1 B.100 C.200 D.3005.[探究点一]已知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5h,1个病毒能繁殖个.

6.[探究点一]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·(12)

tℎ,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多少时间?(参考数据:lg11≈1.7.[探究点三]某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线,本年度第一季度统计数据如下表:月份1月2月3月小型汽车数量x/辆306080创造的收益y/元480060004800(1)根据上表数据,从下列三个函数模型中:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=ax+b(a,b,c为常数,且a≠0)选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x(单位:辆)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式;(2)利用上述你选取的函数关系式计算,若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上,那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车?B级关键能力提升练8.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是()(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)A.年 B.2025年C.2026年 D.2027年9.(多选题)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化、相对统一的和谐美.定义:圆O的圆心在原点,若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆O的一个“太极函数”,则下列说法正确的是()A.对于圆O,其“太极函数”有且只有1个B.函数f(x)=x2-x(x≥0C.函数f(x)=x3-3x不是圆O的“太极函数”D.函数f(x)=ln(x2+1+x)是圆O的一个“10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位,1ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.

11.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3其中所有正确的叙述是.(填序号)

12.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少23,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y(1)写出y与x的函数关系式;(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)13.[宁夏银川高一期末]某科研机构对某变异毒株在特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y表示此变异毒株的数量,单位为万个,得到如下观测数据:x/T123456…y/万个…10…50…250…若该变异毒株的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q(p>0)与y=kax(k>0,a>1)可供选择.(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求至少经过多少个单位时间,该变异毒株的数量不少于一亿个.(参考数据:5≈2.236,6≈2.449,lg2≈0.301,lg6≈0.778)C级学科素养创新练14.某地区为响应上级号召,在2022年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房面积的年平均增长率只能达到5%.(1)设经过x年后,该地区的廉价住房面积为y万平方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y=f(x)的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房面积能达到300万平方米?答案：1.D由题设216=e6所以x=12时,ax+b=-2ln3+4ln3+3ln2=ln72,此时y=eln72=72小时.故选D.2.C当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=log124选项C中的V=42-12选项D中的V=2×4-2=6,故选C.3.BC设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈4.B因为v=12log3P100,所以当鲑鱼静止时,v1=0m/s,即12log3P100=0,所以P=100.故选B.5.2ln21024当t=0.5时,y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴y=e2tln当t=5时,y=e10ln2=210=1024.6.解由题意知40-24=(88-24)·(12即14=(12)

20故T-24=(88-24)·(12当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(12)

t10两边取对数,求得t≈25.因此,降温到35℃约需要25min.7.解(1)选取②y=ax2+bx+c,由题表可知,随着x的增大,y的值先增大后减小,而函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数,故不符合题意,所以选取②y=ax2+bx+c,将(30,4800),(60,6000),(80,4800)三点分别代入函数解析式y=ax2+bx+c中,可得二次函数图象的对称轴为直线x=30+802=55,故可将函数解析式设为y=a(x-55)2+h即得到52a所以y=-2(x-55)2+6050=-2x2+220x=ax2+bx+c,所以a=-2,b=220,c=0.(2)设在一周内大约应生产x辆小型汽车,根据题意,可得-2x2+220x>6020,即-2x2+220x-6020>0,即x2-110x+3010<0,因为Δ=1102-4×3010=60>0,所以方程x2-110x+3010=0有两个实数根x1=55-15,x2=55+15,由二次函数y=x2-110x+3010的图象可知不等式的解为55-15<x<55+15.因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量满足53≤x≤58且x∈N时,这家工厂能够获得6020元以上的收益.8.C设2020年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,则5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,解得x>log1.22.56=lg2.56lg1.则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026.故选C.9.BD对于选项A,圆O的“太极函数”不止一个,故选项A错误;对于选项B,由于函数f(x)=x2-x(x≥0),-x2-x(x<0),当x≥0时,f(-x)=-x2+x=-f(x);当x<0时,f(-x所以根据对称性可知函数f(x)=x2-x(x≥0),-x2-对于选项C,函数f(x)=x3-3x的定义域为R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),f(x)=x3-3x也是奇函数,故函数f(x)=x3-3x是圆O的“太极函数”,故选项C错误;对于选项D,函数f(x)=ln(x2+1+x)的定义域为R,f(-x)=ln(x2+1-x)=ln-ln(x2+1+x)=-