4.5.2 用二分法求方程的近似解

第1页共4页4.5.2用二分法求方程的近似解一、选择题1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－12．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1 B．x2C．x3 D．x43．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,1.5)内的近似解的过程中，有f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定4．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))>0，则()A．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))上有零点B．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))上有零点C．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))上无零点D．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))上无零点5．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.40625)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为()A．1.5 B．1.25C．1.375 D．1.4375二、填空题6．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．8．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．三、解答题9．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．10．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m范围内)?11．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．12．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．答案：1、解析：选C因为f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2＝(x＋eq\r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2、解析：选C能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.3、解析：选B∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴该方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．故选B.4、解析：选B由f(a)·f(b)<0，f(a)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))>0可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))·f(b)<0，根据零点存在性定理可知f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))上有零点．5、解析：选D由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，则f(1.40625)·f(1.4375)<0，且|1.4375－1.40625|＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.6、解析：设等分的次数为n，由eq\f(0.1,2n)<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4，即将区间(0,0.1)等分的次数至少为4.答案：47、解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．答案：(2,3)8、解析：设f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝1－2－1＝－2<0，f(2)＝8－4－1＝3>0.取区间(1,2)的中点eq\f(3,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3－2×eq\f(3,2)－1＝－eq\f(5,8)<0，故下一步可以断定该根所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))9、解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．下面用二分法求解：区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.51.328(1,1.5)1.250.128(1,1.25)1.125－0.444(1.125,1.25)1.1875－0.160因为f(1.1875)·f(1.25)＜0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.10、解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为eq\f(10000,2n)m，则有eq\f(10000,2n)≤100，即2n≥100，又26＝64,27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．11、证明：∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0，∴－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.取区间[0,1]的中点eq\f(1,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)a＋b＋c＝eq\f(3,4)a＋(－a)＝－eq\f(1,4)a<0.∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上各有一个零点．又f(x)为二次函数，最多有两个零点，∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．12、解：(1)证明：∵f(0)＝1>0，f(2)＝－eq\f(1,3)<0，∴f(0)·f(2)＝－eq\f(1,3)<0，由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取x1＝eq\f(1,2)(0＋2)＝1，得f(1)＝eq\f(1,3)>0，由此可得f(1)·f(2)＝－eq\f(1,9)<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x2＝eq\f(1,2)(1＋2)＝eq\f(3,2)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,8)<0，∴f(1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,24)<0，下一个有解区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).再取x3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)))＝eq\f(5,4)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝eq\f(17,192)>0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).故f(x)＝0的实数解x0在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))内．A级必备知识基础练1.[探究点一·广东高一阶段练习]用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,2] D.[2,3]2.[探究点三]一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测()A.4次 B.6次 C.8次 D.30次3.[探究点一]若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984f(1.375)≈-0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为()A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.54.[探究点一](多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2A.函数f(x)在区间0,B.函数f(x)在区间a16C.函数f(x)在a16D.函数f(x)的零点可能是a5.[探究点二]3的近似值(精确度0.1)为.

6.[探究点二·北师大版教材习题]已知函数f(x)=x3+x-3在区间[1,2]内有零点,求方程x3+x-3=0在区间[1,2]内的一个近似解.(精确度0.1)B级关键能力提升练7.[江苏淮安高一期末]已知函数f(x)=x3+x-1在(0,1)内有一个零点,且求得f(x)的部分函数值数据如下表所示:x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f(x)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使f(x)零点的近似值精确度为0.1,则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为()A.6次0.75 B.5次0.75 C.4次0.65 D.5次0.658.用二分法求方程lnx-1x=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为(A.(1,1.25) B.(1,1.5) C.(1,2) D.(1.5,2)9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,32),(54,32)A.f(54) B.f(2)C.f(1) D.f(3210.已知f(x)=1x-lnx在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n=.若用二分法求x0的近似值(精确度0.01),则至少需要将区间等分次.C级学科素养创新练11.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.答案：1.Cf(-1)=-52<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>则f(1)·f(2)<0,又f(x)在R上是单调递增的,故初始区间可选[1,2].故选C.2.B利用二分法检测,每次取中点,焊接点数减半,不妨设需要n次检测,则602n≤1,即2n≥60,因为25<60<26,故n即至少需要检测6次.故选B.3.A4.ABD根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,a16或a16,a8中5.1.625(答案不唯一)令f(x)=x2-3.因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以方程x2-3=0在区间[1,2]上有实数解,如此下去,f(1.5)=-0.75<0,f(1.75)=0.0625>0,f(1.625)=-0.359375<0,f(1.6875)=-0.15234375<0.因为1.6875-1.625=0.0625<0.1,所以我们可以选取区间[1.625,1.6875]内的任意一个数作为方程x2-3=0的一个近似解.例如,可以选取1.625作为方程x2-3=0的一个近似解.即1.625为满足精确度0.1的3的近似值.6.解f(1)=-1,f(2)=7,用二分法得到方程x3+x-3=0的实数解所在的区间(如下表):区间中点中点近似函数值[1,2]1.51.875[1,1.5]1.250.2031[1,1.25]1.125-0.4512[1.125,1.25]1.1875-0.1379因为f(1.25)·f(1.1875)<0,且1.25-1.1875=0.0625<0.1,所以区间[1.1875,1.25]内任何一值都可作为方程的近似解,所以方程的一个近似解为1.2.7.C由题意可知,需要求解f(0),f(1),f(0.5),f(0.75),f(0.625),f(0.6875)的值,然后达到f(x)零点的近似值精确度为0.1,所以零点的近似解为0.65,共等分4次.故选C.8.D令f(x)=lnx-1x,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12=ln2-lne12>ln2-ln412=ln2f(1.5)=ln32−23=ln32−23lne=13ln323−13lne2=13(ln27所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.9.BD由二分