4.3.2对数的运算 第2课时

对数的运算一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝()A．eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,6)2．(2021·郑州高一检测)已知a＝log23，b＝log25，则log415＝()A．2a＋2b B．a＋bC．ab D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b3．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030kg.地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024kg.下列各数中与eq\f(m,M)最接近的是()(参考数据：lg3≈0.4771，lg6≈0.7782)A．10－5.519 B．10－5.521C．10－5.523 D．10－5.5254．(2021·龙岩高一检测)已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y，则x＋2y＝()A．3 B．8 C．4 D．log48二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·南阳高一检测)eq\f(2lg4＋lg9,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)＝________.6．(2021·杭州高一检测)已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________．三、解答题7．(10分)(2021·长沙高一检测)计算下列各式的值：(1)＋＋lg20－lg2－(log32)·(log23)；(2)＋log3eq\f(1,27)＋log65·(log52＋log53)＋10lg3.能力过关一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3eq\f(\r(x),\r(y\r(3,y)))用m，n可表示为()A．eq\f(1,2)m－eq\f(4,3)n B．eq\f(2,3)m－eq\f(1,3)nC．eq\r(m)－eq\r(3,n2) D．eq\f(1,2)m－eq\f(2,3)n2．(多选题)(2021·潍坊高一检测)若10a＝4，10b＝25，则()A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab＞8lg22 D．b－a＜lg6二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2021·汉中高一检测)－＋lgeq\f(1,100)＋lneq\r(e)＋＝________．4．(2021·绍兴高一检查)若2a＝5b＝10，则a＝________，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________．三、解答题5．(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.3010)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝()A．eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,6)分析选B.由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以有4－a＝eq\f(1,9).2．(2021·郑州高一检测)已知a＝log23，b＝log25，则log415＝()A．2a＋2b B．a＋bC．ab D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b分析选D.log415＝eq\f(1,2)log215＝eq\f(1,2)(log23＋log25)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.3．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030kg.地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024kg.下列各数中与eq\f(m,M)最接近的是()(参考数据：lg3≈0.4771，lg6≈0.7782)A．10－5.519 B．10－5.521C．10－5.523 D．10－5.525分析选C.由题意可得eq\f(m,M)＝3×10－6，所以lgeq\f(m,M)＝lg3＋lg10－6≈0.4771－6＝－5.5229≈－5.523，故eq\f(m,M)≈10－5.523.4．(2021·龙岩高一检测)已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y，则x＋2y＝()A．3 B．8 C．4 D．log48分析选A.因为2x＝3，所以x＝log23.又log4eq\f(8,3)＝y，所以x＋2y＝log23＋2log4eq\f(8,3)＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)log22－\f(1,2)log23))＝log23＋3－log23＝3.二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·南阳高一检测)eq\f(2lg4＋lg9,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)＝________.分析原式＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg4＋lg3)),1＋lg\r(0.36)＋lg\r(3,8))＝eq\f(2lg12,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(2lg12,lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10×0.6×2)))＝2.答案：26．(2021·杭州高一检测)已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________．分析因为3a＝4，b＝log23，所以a＝log34，所以ab＝log34·log23＝eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＝2.4b＝＝9.答案：29三、解答题7．(10分)(2021·长沙高一检测)计算下列各式的值：(1)＋＋lg20－lg2－(log32)·(log23)；(2)＋log3eq\f(1,27)＋log65·(log52＋log53)＋10lg3.分析(1)原式＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＋1－1＝1.(2)原式＝eq\f(1,2)－3＋log65·log56＋3＝eq\f(3,2).能力过关一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3eq\f(\r(x),\r(y\r(3,y)))用m，n可表示为()A．eq\f(1,2)m－eq\f(4,3)n B．eq\f(2,3)m－eq\f(1,3)nC．eq\r(m)－eq\r(3,n2) D．eq\f(1,2)m－eq\f(2,3)n分析选D.log3eq\f(\r(x),\r(y\r(3,y)))＝log3eq\r(x)－log3eq\r(y\r(3,y))＝－＝eq\f(1,2)log3x－eq\f(2,3)log3y＝eq\f(1,2)m－eq\f(2,3)n.2．(多选题)(2021·潍坊高一检测)若10a＝4，10b＝25，则()A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab＞8lg22 D．b－a＜lg6分析选AC.因为10a＝4，10b＝25，所以a＝lg4，b＝lg25，所以a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A选项正确，b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)＞lg6，故B，D选项不正确，ab＝2lg2×2lg5＝4lg2·lg5＞4lg2·lg4＝8lg22，故C选项正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2021·汉中高一检测)－＋lgeq\f(1,100)＋lneq\r(e)＋＝________．分析因为－logeq\f(2,5)eq\f(25,4)＋lgeq\f(1,100)＋lneq\r(e)＋＝＋lg10－2＋＋2－1·＝2－2＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)＝eq\f(1＋\r(3),2).答案：eq\f(1＋\r(3),2)4．(2021·绍兴高一检查)若2a＝5b＝10，则a＝________，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________．分析因为2a＝5b＝10，所以指数式化为对数式得a＝log210，b＝log510，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log210)＋eq\f(1,log510)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.答案：log2101三、解答题5．(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.3010)分析设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a.则a(1－60%)n<0.1%a，即0.4n<0.001，两边取常用对数得n·lg0.4<lg0.001，所以n>eq\f(lg0.001,lg0.4)＝eq\f(－3,2lg2－1)≈7.5.故至少需要抽8次．A级必备知识基础练1.[探究点一]2log510+log50.25=()A.0 B.1 C.2 D.42.[探究点一]下列等式恒成立的是()A.(logax)2=2logaxB.loga(x-y)=loC.logax-logay=loga(x-y)D.log105x3=3.[探究点一]log28+lg25+lg4+6log612+9.8A.1 B.4 C.5 D.74.[探究点二]已知2x=3,log483=y,则x+2y的值为(A.3 B.8 C.4 D.log485.[探究点三]已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为()A.6 B.9 C.12 D.186.[探究点一]设ax=M,y=logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示logaM34N7.[探究点二]log35log46log57log68log79=.

8.[探究点二·2024上海高一阶段测试]已知17a=13,log74=b,则用a,b表示log499.[探究点三]已知4a=3b=6,则2a+bab10.[探究点一·2024江苏高一期中]设lg2=a,lg3=b,用a,b表示下列各对数:(1)lg45;(2)lg274;(3)lg5011.[探究点四]2021年长征号运载火箭成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送入预定轨道,在考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足的函数关系是v=20003ln(1+Mm).(参考数据:e0.01785≈1.018)(保留小数点后三位有效数字)B级关键能力提升练12.设a=log36,b=log520,则log215=()A.a+b-3C.a+2b-313.方程2logx25-3log25x=1的解集是()A.{535} B.⌀C.{125} D.{5314.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2a15.[2024江苏常州高一期中]已知lg2=a,lg3=b,则log615=(结果用a,b表示).

16.计算下列各式的值:(1)12lg3249−43lg(2)(lg2)2+1(3)lg5·lg400+(lg(4)(log3312)2+log0.251(5)3log32+lg5-log132·17.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值;(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1h)(参考数据:ln0.2≈-1.61,ln0.3≈-1.20,ln0.4≈-0.92,ln0.5≈-0.69,ln0.9≈-0.11)C级学科素养创新练18.(1)求(log23+log89)(log34+log98+log32)+(lg2)2+lg20·lg5的值.(2)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,求log2(1+b+ca)+log2(1+a答案：1.C原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.D2logax=logax2≠(logax)logaxlogay=logyx≠logalogax-logay=logaxy≠loga(x-y),故C错误log105x3=log10x35=35log10x,3.C原式=32log22+lg(25×4)+12+1=2+2+1=故选C.4.A由2x=3得x=log23,∴x+2y=log23+2log483=log23+2log283log24=log23+5.D∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,∴1a=logk2,1b=logk3,∵2a+b=ab,∴2b+1a=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk186.3x-5y4∵ax=M,∴x=logaM,∴logaM34N5=logaM3-loga4N5=3logaM-57.3log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg68.12a+b由17a=13,得a=则log4948=12log748=12(log73+log716)=12(log73+2log74)=9.2由题意可得a=log46,b=log36,则1a=log64,1b=log故2a+bab=1a+2b=log64+2log63=log64+10.解(1)lg45=lg(32×5)=2lg3+lg5=2lg3+1-lg2=2b-a+1.(2)lg274=lg27-lg4=3lg3-2lg2=3b-2a(3)lg5027=lg50-lg27=lg1002-lg33=2-lg2-3lg3=2-a-311.解由v=20003ln(1+Mm)=11.9,可得ln(1+Mm)=35.72000=0.01785,所以Mm=e0所以燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值为0.018.12.D∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,∴log23=1a-1,log25=2b-1,∴log215=log23+log2513.D易知x>0且x≠1.2logx25-3log25x=1⇒2log25x-3log25x=1⇒3(log25x)2+log25x-2=0解得log25x=23或log25x=-1,所以x=535或x=所以方程的解集为535,1故选D.14.AD由题意,设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,因为bc+ba=log6klog9k+log6klog2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk故2c≠2a+2b−1a=2log6k−1log4k=2logk6-logk4