4.2.2指数函数的图像与性质 第1课时

第1页共4页4.2.2指数函数的图象与性质一、选择题1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(0,1)2．函数f(x)＝eq\f(1,2x＋1)在(－∞，＋∞)上()A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值3．已知函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数4．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))5．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则()A．f(－1)＞f(－2) B．f(1)＞f(2)C．f(2)＜f(－2) D．f(－3)＞f(－2)6．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2的单调递减区间为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)7．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是()A．6 B．1C．3 D．eq\f(3,2)8．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)9．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－2)等于()A．－7 B．－3C．7 D．310．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x，x≥1，,－x2＋2ax－3，x＜1))在R上是单调递增函数，则a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(2,3]C．(2，＋∞) D．[1,2)二、填空题11．若不等式3>eq\f(1,3)对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．12．若函数f(x)＝eq\r(1＋a·3x)在区间(－∞，1]内有意义，则实数a的取值范围是________．13．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．14．函数f(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，则a的取值范围是________．三、解答题15．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．16．已知函数y＝22x－1－3·2x＋5.(1)如果y＜13，求x的取值范围；(2)如果0≤x≤2，求y的取值范围．答案与解析1、解析：选D∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，又f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))－2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))－3，∴eq\f(1,a)＞1，∴0＜a＜1.2、解析：选Au＝2x＋1为R上的增函数且u＞0，∴y＝eq\f(1,u)在(0，＋∞)上为减函数，即f(x)＝eq\f(1,2x＋1)在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．3、解析：选A因为f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x))＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函数．4、解析：选B由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜eq\f(1,2)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).5、解析：选D由f(2)＝4得a－2＝4，又∵a＞0，∴a＝eq\f(1,2)，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选D.6、解析：选B函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u在R上为减函数，欲求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．7、解析：选C函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.8、解析：选C由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1,9]．9、解析：选A由f(x)为定义在R上的奇函数知f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.因此f(－2)＝－f(2)＝－(22＋2×2－1)＝－7，故选A.10、解析：选B依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＞1，,a≥1，,a－11≥－12＋2a×1－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2，,a≥1，,a≤3.))即2＜a≤3.故选B.11、解析：不等式即为3>3－1，则有ax2－2ax>－1，即ax2－2ax＋1>0对一切实数x恒成立．当a＝0时，满足题意；当a≠0时，要满足题意，则需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1.综上，实数a的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)12、解析：依题意得1＋a·3x≥0在区间(－∞，1]上恒成立，即a≥－eq\f(1,3x)在区间(－∞，1]上恒成立，由－eq\f(1,3x)在区间(－∞，1]上的最大值为－eq\f(1,3)，得a≥－eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))13、解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为y＝2x.当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．答案：1914、解析：设F(x)＝f(x)－2，则F(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)，易知F(x)是奇函数，F(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＝eq\f(32x－1,32x＋1)＝1－eq\f(2,32x＋1)在R上是增函数，由f(a)＋f(a－2)＞4得F(a)＋F(a－2)＞0，于是可得F(a)＞F(2－a)，即a＞2－a，解得a＞1.答案：(1，＋∞)15、解：因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2，因为－1≤x≤1，所以eq\f(1,3)≤3x≤3，即t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3)).又因为y＝4t－2t2的对称轴t＝1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.16、解：由题意知y＝eq\f(1,2)(2x)2－3·2x＋5.(1)由y＜13，得(2x)2－6·2x－16＜0，所以(2x－8)(2x＋2)＜0，因为2x＋2＞0，所以2x－8＜0，解得x＜3，所以x的取值范围为(－∞，3)．(2)因为0≤x≤2，所以1≤2x≤4，而y＝eq\f(1,2)(2x－3)2＋eq\f(1,2)，于是当2x＝3时，y取得最小值，且最小值为eq\f(1,2)；当2x＝1时，y取得最大值，且最大值为eq\f(5,2).所以y的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).A级必备知识基础练1.[探究点一]如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab=()A.18 B.1C.9 D.82.[探究点二(角度2)]指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则()A.a>1,0<b<1B.a>1,b>1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<13.[探究点三·2024河南郑州高一期中]设a=0.80.8,b=0.80.9,c=0.90.8,则a,b,c的大小关系是()A.c>b>a B.a>b>cC.a>c>b D.c>a>b4.[探究点二(角度3)]如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则()A.b<-1 B.-1<b<0C.0<b<1 D.b>15.[探究点二(角度2)]函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是()6.[探究点二(角度3)]已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第象限.

7.[探究点二(角度1)]已知a>0,且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为.

8.[探究点三·苏教版教材例题]比较下列各组数中两个数的大小:(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.5-1.2,0.5-1.5;(3)1.50.3,0.81.2.B级关键能力提升练9.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数的图象也经过点()A.(-2,14) B.(-1,1C.(1,2) D.(3,1810.已知函数f(x)=1-x-12,x>0,2A.4 B.1C.-4 D.-111.函数y=a|x|+1(a>0,且a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为()12.已知偶函数f(x)=3x+a,x≥0,g(x),A.(-∞,3) B.(3,+∞)C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)13.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.614.(多选题)若函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、二、三象限,则()A.0<ab<1 B.0<ba<1C.ab>1 D.ba>115.[北师大版教材习题]比较下列各题中两个数的大小:(1)2-1.5,21.5;(2)(16)

-6,(16(3)82,(18)-1.(4)20.1,30.2.16.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(2,19)(1)求a,并比较f(b2+b+1)与f(34)(2)求函数g(x)=ax217.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.C级学科素养创新练18.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是()A.-3 B.-1 C.1 D.319.设f(x)=3x,g(x)=(13)x(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象;(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?答案：1.D根据题意可得2a=1⇒a=12,-(b+3)=0⇒b=-3,则ab=(12)-3=8.故选2.C因为函数y=ax的图象是下降的,所以0<a<1.又因为函数y=bx的图象是上升的,所以b>1.故选C.3.D令f(x)=0.8x,由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递减,又因为0.8<0.9,所以f(0.8)>f(0.9),即0.80.8>0.80.9,所以a>b.令g(x)=x0.8,由幂函数的性质可知g(x)=x0.8在(0,+∞)上单调递增,又因为0.8<0.9,所以g(0.8)<g(0.9),即0.80.8<0.90.8,所以a<c.所以b<a<c.故选D.4.B函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则0<f(0)<1,即0<b+1<1,解得-1<b<0.故选B.5.C当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=ax是减函数,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,故选项D不正确,选项C正确.6.三0<a<1,指数函数y=ax单调递减,-1<b<0,将函数y=ax的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不过第三象限.7.(3,2)当x=3时,y=a0+1=2,∴y=a3-x+1的图象一定经过定点(3,2).8.解(1)考察指数函数y=1.5x,因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是增函数.又因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x,因为0<0.5<1,所以y=0.5x在R上是减函数.又因为-1.2>-1.5,所以0.5-1.2<0.5-1.5.(3)因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是增函数,又因为0.3>0,所以1.50.3>1.50=1.同理0.81.2<0.80=1,故1.50.3>0.81.2.9.D设f(x)=ax,a>0且a≠1.∵f(-1)=1a=2,解得a=12,即f(x)=(12∵f(-2)=(12)-2=4,f(-1)=(12)-1=2,f(1)=12,f(3)=(12)3=1810.B∵f(19)=1-(19)

-1∴f(f(19))=f(-2)=2-2=111.C由题意易知,函数y=a|x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B.当0<a<1时,函数图象如选项C所示.当a>1时,函数图象在区间[0,k]上单调递增,但图象应该是下凸的,排除D.故选C.12.C当x≥0时,f(x)=3x+a单调递增,又由函数f(x)为偶函数,故当x<0时,f(x)单调递减.若f(x-1)<f(2),则|x-1|<2,解得-1<x<3.故选C.13.C画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示.由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值4.故选C.14.BC因为函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、二、三象限,所以a>1,且f(0)=1-b∈(0,1),即0<b<1,所以y=ax是增函数,y=bx是减函数,则ab>a0=1,0<ba<b1<1.故选BC.15.解(1)因为函数y=2x在R上单调递增,且-1.5<1.5,所以2-1.5<21.5.(2)因为函数y=(16)x在R上单调递减,且-6<-1.5,所以(16)

-6>(1(3)因为(18)-1.4=81.4,而函数y=8x在R上单调递增,且2>1.4,所以82>(18)-1(4)由指数函数y=3x与y=2x的图象知,当x>0