4.2.1 指数函数的概念

第1页共4页4.2.1指数函数的概念一、选择题1．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝()A．8 B．eq\f(3,2)C．4 D．22．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，对于任意实数x，y都有()A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)3．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝()A．1 B．3C．4 D．24．若点(a,27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，则eq\r(a)的值为()A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．05．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为()A．a(1＋p%)元 B．a(1－p%)元C．eq\f(a,1－p%3)元 D．eq\f(a,1＋p%)元二、填空题6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________.7．已知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.8．某厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．9．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．10．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4096个需经过________小时．三、解答题11．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．12．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)为多少？13．已知函数f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a＞0，且a≠1)．(1)若f(2)＝eq\f(3,5)，求f(x)解析式；(2)讨论f(x)奇偶性．14．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？答案：1、解析：选D函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.故选D.2、解析：选Cf(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.3、解析：选C由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1,3)，m＋n＝4.4、解析：选A点(a,27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，∴27＝(eq\r(3))a，即33＝3eq\f(a,2)，∴eq\f(a,2)＝3，解得a＝6，∴eq\r(a)＝eq\r(6).故选A.5、解析：选C设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝eq\f(a,1－p%3).6、解析：因为函数的图象过点(－1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－a＝2，所以a＝1，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，解得2－x＝2，所以x＝－1.答案：1－17、解析：因为f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，f(a)＝5，则f(a)＝2a＋eq\f(1,2a)＝5.所以f(2a)＝22a＋eq\f(1,22a)＝(2a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2a)))2－2＝23.答案：238、解析：2018年产值为a，增长率为7%.2019年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)(万元)．2020年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%＝a(1＋7%)2(万元)．……2022年的产值为a(1＋7%)4万元．答案：a(1＋7%)49、解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.答案：710、解析：∵细胞分裂一次时有21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞…，∴当分裂n次时变为2n个细胞，故可得出2n＝4096，∵212＝4096，∴n＝12，∵细胞15分钟分裂一次，∴细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时．故这种细菌由1个分裂为4096个，这个过程要经过3小时．故答案为3.答案：311、解：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.(2)F(x)＝2x－2－x，∴F(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．12、解：∵21＋22＋23＋24＋25＝62，21＋22＋23＋24＋25＋26＝126.∴n≥6，故最少需要6天．13、解：(1)∵f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1)，f(2)＝eq\f(3,5).即eq\f(a2－1,a2＋1)＝eq\f(3,5)，∴a＝2.即f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).(2)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝eq\f(a－x－1,a－x＋1)＝eq\f(1－ax,1＋ax)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．14、解：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134＜135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．所以2031年年底的人口数将达到135万．A级必备知识基础练1.[探究点一]如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab=()A.18 B.1C.9 D.82.[探究点二(角度2)]指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则()A.a>1,0<b<1B.a>1,b>1C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<13.[探究点三·2024河南郑州高一期中]设a=0.80.8,b=0.80.9,c=0.90.8,则a,b,c的大小关系是()A.c>b>a B.a>b>cC.a>c>b D.c>a>b4.[探究点二(角度3)]如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则()A.b<-1 B.-1<b<0C.0<b<1 D.b>15.[探究点二(角度2)]函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是()6.[探究点二(角度3)]已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第象限.

7.[探究点二(角度1)]已知a>0,且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为.

8.[探究点三·苏教版教材例题]比较下列各组数中两个数的大小:(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.5-1.2,0.5-1.5;(3)1.50.3,0.81.2.B级关键能力提升练9.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数的图象也经过点()A.(-2,14) B.(-1,1C.(1,2) D.(3,1810.已知函数f(x)=1-x-12,x>0,2A.4 B.1C.-4 D.-111.函数y=a|x|+1(a>0,且a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为()12.已知偶函数f(x)=3x+a,x≥0,g(x),A.(-∞,3) B.(3,+∞)C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)13.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.614.(多选题)若函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、二、三象限,则()A.0<ab<1 B.0<ba<1C.ab>1 D.ba>115.[北师大版教材习题]比较下列各题中两个数的大小:(1)2-1.5,21.5;(2)(16)

-6,(16(3)82,(18)-1.(4)20.1,30.2.16.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(2,19)(1)求a,并比较f(b2+b+1)与f(34)(2)求函数g(x)=ax217.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.C级学科素养创新练18.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是()A.-3 B.-1 C.1 D.319.设f(x)=3x,g(x)=(13)x(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象;(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?答案：1.D根据题意可得2a=1⇒a=12,-(b+3)=0⇒b=-3,则ab=(12)-3=8.故选2.C因为函数y=ax的图象是下降的,所以0<a<1.又因为函数y=bx的图象是上升的,所以b>1.故选C.3.D令f(x)=0.8x,由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递减,又因为0.8<0.9,所以f(0.8)>f(0.9),即0.80.8>0.80.9,所以a>b.令g(x)=x0.8,由幂函数的性质可知g(x)=x0.8在(0,+∞)上单调递增,又因为0.8<0.9,所以g(0.8)<g(0.9),即0.80.8<0.90.8,所以a<c.所以b<a<c.故选D.4.B函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则0<f(0)<1,即0<b+1<1,解得-1<b<0.故选B.5.C当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=ax是减函数,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,故选项D不正确,选项C正确.6.三0<a<1,指数函数y=ax单调递减,-1<b<0,将函数y=ax的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不过第三象限.7.(3,2)当x=3时,y=a0+1=2,∴y=a3-x+1的图象一定经过定点(3,2).8.解(1)考察指数函数y=1.5x,因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是增函数.又因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x,因为0<0.5<1,所以y=0.5x在R上是减函数.又因为-1.2>-1.5,所以0.5-1.2<0.5-1.5.(3)因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是增函数,又因为0.3>0,所以1.50.3>1.50=1.同理0.81.2<0.80=1,故1.50.3>0.81.2.9.D设f(x)=ax,a>0且a≠1.∵f(-1)=1a=2,解得a=12,即f(x)=(12∵f(-2)=(12)-2=4,f(-1)=(12)-1=2,f(1)=12,f(3)=(12)3=1810.B∵f(19)=1-(19)

-1∴f(f(19))=f(-2)=2-2=111.C由题意易知,函数y=a|x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B.当0<a<1时,函数图象如选项C所示.当a>1时,函数图象在区间[0,k]上单调递增,但图象应该是下凸的,排除D.故选C.12.C当x≥0时,f(x)=3x+a单调递增,又由函数f(x)为偶函数,故当x<0时,f(x)单调递减.若f(x-1)<f(2),则|x-1|<2,解得-1<x<3.故选C.13.C画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示.由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值4.故选C.14.BC因为函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、二、三象限,所以a>1,且f(0)=1-b∈(0,1),即0<b<1,所以y=ax是增函数,y=bx是减函数,则ab>a0=1,0<ba<b1<1.故选BC.15.解(1)因为函数y=2x在R上单调递增,且-1.5<1.5,所以2-1.5<21.5.(2)因为函数y=(16)x在R上单调递减,且-6<-1.5,所以(16)

-6>(1(3)因为(18)-1.4=81.4,而函数y=8x在R上单调递增,且2>1.4,所以82>(18)-1(4)由指数函数y=3x与y=2x的图象知,当x>0时,y=3x的图象在y=2x的图象的上方,且函数y=2x在R上单调递增,所以30.2>20.2>20.1,所以30.2>20.1.16.解(1)由已知得a2=19,a>0,解得a=13,故f