5.2.2同角三角函数的基本关系 第2课时

同角三角函数的基本关系1．已知α是第三象限角，且sinα＝－eq\f(1,3)，则3cosα＋4tanα＝()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(3)D.eq\r(3)2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D.eq\f(3,2)3．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,5)4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanx＋\f(1,tanx)))cos2x等于()A．tanxB．sinxC．cosxD.eq\f(1,tanx)5．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ≤\f(π,4)))，则sinθ－cosθ＝()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)6．化简eq\f(1,\r(1＋tan220°))的结果是________．7．已知cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝________.8．已知tanα＝2，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.9．化简下列各式：(1)eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－cosα)．10．若eq\f(3π,2)<α<2π，求证：eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＋eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＝－eq\f(2,sinα).参考答案1．A[因为α是第三象限角，且sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，所以3cosα＋4tanα＝－2eq\r(2)＋eq\r(2)＝－eq\r(2).]2．C[原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.]3．B[sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－eq\f(3,5).]4.D[原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)＋\f(cosx,sinx)))·cos2x＝eq\f(sin2x＋cos2x,sinxcosx)·cos2x＝eq\f(1,sinxcosx)·cos2x＝eq\f(cosx,sinx)＝eq\f(1,tanx).]5．B[由(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，得2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，由0<θ≤eq\f(π,4)，知sinθ－cosθ≤0，所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).]6．cos20°[eq\f(1,\r(1＋tan220°))＝eq\f(1,\r(1＋\f(sin220°,cos220°)))＝eq\f(1,\r(\f(cos220°＋sin220°,cos220°)))＝eq\f(1,\r(\f(1,cos220°)))＝|cos20°|＝cos20°.]7．2[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝－\r(5)，,sin2α＋cos2α＝1，))得(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2.]8．1[4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝eq\f(5,5)＝1.]9．[解](1)原式＝eq\f(sinα1－sinα－sinα1＋sinα,1＋sinα1－sinα)＝eq\f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq\f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(cosα,sinα)))(1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)(1－cosα)＝eq\f(sin2α,sinα)＝sinα.10．[证明]∵eq\f(3π,2)<α<2π，∴sinα<0.左边＝eq\r(\f(1－cosα2,1＋cosα1－cosα))＋eq\r(\f(1＋cosα2,1－cosα1＋cosα))＝eq\r(\f(1－cosα2,sin2α))＋eq\r(\f(1＋cosα2,sin2α))＝eq\f(|1－cosα|,|sinα|)＋eq\f(|1＋cosα|,|sinα|)＝－eq\f(1－cosα,sinα)－eq\f(1＋cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα)＝右边．∴原等式成立．A级必备知识基础练1.[探究点二]化简1-sinA.cos160° B.±|cos160°|C.±cos160° D.-cos160°2.[探究点一(角度3)·2024江西上饶高一期末]已知sinα+cosα=355,则tanα+1tanαA.-25 B.5C.-45 D.3.[探究点一(角度2)]已知tanα=-1,则2sin2α-3cos2α=()A.-74 B.-1C.12 D.4.[探究点一(角度2)]若tanα=2,则sinα+cosαsinα-cosαA.165 B.-16C.85 D.-5.[探究点一(角度1)]若α是第三象限角且cosα=-33,则sinα=tanα=.

6.[探究点一·2024云南曲靖高一期末]若α是第四象限的角,且tanα=-3,则cosα=.7.[探究点二]已知α为第二象限角,则cosα1+tan2α+sinα1+18.[探究点三]求证:(1)1+tan2α=1co(2)sin4α-cos4α=sin2α-cos2α;(3)tan2αsin2α=tan2α-sin2α.9.[探究点一(角度3)]已知-π2<x<0,sinx+cosx=15(1)sinxcosx;(2)sinx-cosx;(3)1coB级关键能力提升练10.已知α是三角形的一个内角,且sinα+cosα=23,那么这个三角形的形状为(A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形11.[2024山东枣庄高一期末]已知sinα+cosα=13,且α∈(0,π),则sinα-cosα的值为(A.-13 B.-C.173 D.173或12.已知cosxsinx-1A.12 B.-1C.2 D.-213.若α∈[0,2π),且1-cos2α+1-sin2A.0,π2 C.π,3π214.已知θ是第二象限角,且sinθ=m-3m+5,cosθ=4-A.{m|3<m<9} B.{m|-5<m<9}C.{m|m=0或m=8} D.{m|m=8}15.[2024四川资阳高一期末]化简cosα1+sinα1-sinα+sinα1+cosα1-cosαA.-sinα-cosα-2B.2-sinα-cosαC.sinα-cosαD.cosα-sinα16.已知cosα+π4=13,0<α<π2,则sin(α17.若cosα+2sinα=-5,则tanα=.

18.[2024广东高三阶段练习]已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ=()A.-25 B.2C.-65 D.19.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125①sinθ-cosθ的值为;②cos2θ-sin2θ的值为.

C级学科素养创新练20.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sinα,cosα是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.答案：1.D1-sin2160°=cos2.B因为sinα+cosα=355,平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=又sin2α+cos2α=1,故sinαcosα=25则tanα+1tanα=sin3.B因为tanα=-1,所以cosα≠0,则2sin2α-3cos2α=2sin2α-3cos4.A∵tanα=2,∴cosα≠0,∴sinα+cosαsinα-cosα+cos5.-632∵α是第三象限角且cosα∴sinα=-1-cos2α=-63,∴6.12由tanα=-3,所以sin2α=3cos2α,所以cos2α=14.因为α是第四象限的角,所以cosα=7.0由题可知cosα≠0,所以原式=cosαsin2α+cos2αcos2α+sinαsi因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα8.证明(1)1+tan2α=1+sin(2)sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α.(3)右边=tan2α-sin2α=sin2αcos2α-sin2α=sin2α(1cos2α-1)=sin2α·1-cos2αco9.解(1)∵sinx+cosx=15∴(sinx+cosx)2=152,即1+2sinxcosx=∴2sinxcosx=-2425,∴sinxcosx=-12(2)由(1)知,sinxcosx=-1225则(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+2425又-π2<x<0,∴sinx<0,cosx>∴sinx-cosx<0,∴sinx-cosx=-75(3)∵sinx+cosx=15,sinx-cosx=-7∴1co10.B∵sinα+cosα=23∴(sinα+cosα)2=49,即1+2sinαcosα=4∴sinαcosα=-518<0又α是三角形的一个内角,∴α∈π2∴三角形为钝角三角形.11.C将sinα+cosα=13两边同时平方可得,sin2α+cos2α+2sinαcosα=1可得sinαcosα=-49又α∈(0,π),所以sinα>0,cosα<0.易知(sinα-cosα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=179,可得sinα-cosα=±17又sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=173.故选C12.B由题可知sinx≠1,cosx≠0.因为cosx所以1+sinxcosx13.B由已知1-cos2α+1-sin2α=sin2α∴sinα≥0,cosα≤0.又α∈[0,2π),∴α∈π214.D∵θ是第二象限角,∴sin∴m<-5或m>315.A∵π<α<3π2,∴-1<sinα<0,-1<cosα∴cosα1+sinα1-sinα=cosα(1+sinα)2(=cosα(1+sinα)21=cosα·1+sinα-cosα+sin=-sinα-1-cosα-1=-sinα-cosα-2.故选A.16.223∵sin2α+π4+∴sin2α+π4=1∵0<α<π2,∴π4<α+π4<317.2由cosα+2sinα=-5,得cosα=-2sinα-5,因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+(-2sinα化简得5sin2α+45sinα+4=0,得(5sinα+2)2=0,解得所以cosα=-2×(-255)-5=-55,所以ta