3.3 幂函数教学教案

.3幂函数一、单选题1．函数的定义域是（）A． B． C． D．2．下列结论中，正确的是（）A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数3．函数（）的最小值为（）A．1 B．5 C．8 D．104．已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（）A．64 B． C． D．5．函数y＝的图象大致是（）A． B．C． D．6．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：（如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A． B． C． D．7．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．二、多选题8．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数9．(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有（）A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为三、填空题10．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________.11．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．四、解答题12．已知函数是幂函数，求的值．13．比较下列各组中两个数的大小，并说明理由．（1），；（2），．14．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．参考答案1．B【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.2．C【分析】对于AD，举例判断，对于BC，由幂函数的性质判断即可【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选：C.3．A【分析】结合幂函数的单调性判断出函数上单调递增，进而可以求出最小值.【详解】因为幂函数在上单调递增，所以在上单调递增，因此，故选：A.4．D【分析】设幂函数，结合已知条件求出的值，进而可以求出结果.【详解】幂函数的图象过点，，解得，，（4），故选：.5．A【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法）【详解】由题意，设，，所以函数的奇函数，故排除C;当时，，当时，，排除,故选:A.6．B【分析】根据幂函数的图象与性质，结合指数变化时的规律即可求解.【详解】对于幂函数，因为，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴，因为，所以的图象比的图象更接近轴，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B7．A【分析】，由结合函数的递减区间可得结果.【详解】，由得，又，所以函数的单调递减区间为.故选：．8．AC【分析】根据所给条件结合幂函数的意义，求出幂函数的解析式再探讨其性质即可得解.【详解】因是幂函数，设，而其图象过点，即，解得，于是得，且定义域为R，显然是R上增函数，C正确；，则为R上奇函数．A正确．故选：AC9．CD【分析】根据幂函数的图象性质判定单调性、奇偶性和特殊点.【详解】当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.故选：CD.10．【分析】设，将，得到函数的解析式，根据幂函数的奇偶性和单调性可求出的范围.【详解】设，则，解得，所以，此时为上的递增函数，且为奇函数，所以等价于，所以，即，所以或.故答案为：11．【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.【详解】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．故答案为：12．-6【分析】根据幂函数的定义列方程组，解出m、n，即可求出的值．【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以．13．（1），理由见解析；（2），理由见解析.【分析】（1）利用幂函数的单调性即可判断；（2）利用幂函数的单调性进行比较即可.【详解】（1）根据题意，幂函数在定义域上是增函数，而，所以．（2）幂函数在定义域上是增函数，而，所以．14．（1）；（2）；（3）2．【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【详解】解析：（1）．，，（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），，，∴（3）由题可知，，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2．A级必备知识基础练1.[探究点一]已知幂函数f(x)=xα(α是常数)的图象经过点(4,2),则α的值为()A.-12 B.C.-2 D.22.[探究点二]函数y=x12-1的图象关于x轴对称的图象大致是(3.[探究点三]已知a=1.212,b=(109)

12,A.c<b<a B.c<a<bC.b<a<c D.a<c<b4.[探究点四]若(a+1)13<(3-2a)13,则a5.[探究点一·2024江西高一校联考]已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm的图象关于y轴对称.(1)求m的值;(2)若函数g(x)=f(x)-2f(x),求g(xB级关键能力提升练6.若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=()A.8 B.3 C.-1 D.17.已知幂函数f(x)=x12,若f(a-1)<f(14-2a),则a的取值范围是(A.[-1,3) B.(-∞,5)C.[1,5) D.(5,+∞)8.(多选题)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是()A.函数y=xα的图象过原点B.函数y=xα是偶函数C.函数y=xα是减函数D.函数y=xα的值域为R9.幂函数f(x)=xm2-5m+4(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)f(12)=.10.已知函数f(x)=2+xa(a为不等于0的常数)的图象恒过定点P,则点P的坐标为.11.已知幂函数f(x)经过点(9,3),则不等式f(x2-x+1)<1的解集为.

C级学科素养创新练12.[2024黑龙江哈尔滨高一期末]已知幂函数f(x)=(p2-3p+3)xp2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数h(x)=x+af(x),x∈[1,9],是否存在实数a使得h(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.答案：1.B因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),所以2=4α,所以α=12,故选B2.By=x12的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x12-1的图象可看作由y=x12的图象向下平移一个单位长度得到的,即为选项A,将y=x13.Ab=0.9-12=10912∵12>0,函数f(x)=x12在(0,+∞)上单调递增,且1.2>109>1.1,∴1.212>104.-∞,23因为函数f(x)=x13的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-25.解(1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.又因为f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)为偶函数,从而m=2.所以f(x)=x2.(2)由(1)知,g(x)=f(x)-2f(x)=x2-2x2=x2当x≥0时,g(x)=x2-2|x|=x2-2x,图象对称轴为直线x=1,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.当x<0时,g(x)=x2-2|x|=x2+2x,图象对称轴为直线x=-1,所以g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增.因此g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).6.D函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意;当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=1x,所以f(2)=12,故选7.C由幂函数f(x)=x12,若f(a-1)<f(14-2可得a-1<14-2a,即所以a的取值范围为[1,5).8.AD因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.9.2或34幂函数f(x)=xm2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1<m<4.由题知m是整数,故m的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f10.(1,3)因为y=xa的图象恒过(1,1),所以f(x)=2+xa的图象恒过定点P(1,3).11.(0,1)设幂函数f(x)=xa,由题意得9a=3,解得a=12,故f(x)=x12,f则f(x2-x+1)<1,即为f(x2-x+1)<f(1),根据f(x)=x12在区间[0,+∞)上单调递增,则有0≤x2-x+1<1,解得0<x<1,故解集为12.解(1)因为f(x)=(p2-3p+3)xp2所以p2-3p+3=1,解得p=1或p=2.当p=1时,f(x)=1x,在区间(0,+∞)上单调递减当p=2时,f(x)=x,在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x.(2)h(x)=x+af(x)=x+ax,令t=x,因为x∈[1,9],所以t∈[1,3],则原函数转化为k(t)=t2+