2025年甘肃高起专数学试题含答案

2025年甘肃高起专数学试题含答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.1800种

C.360种

D.720种

答案：A

解析：甲站在正中间，有1种方法。乙和丙两位同学必须站在一起，看作一个整体，有2种站法。将乙丙整体和其余四位同学进行排列，共有6!种排列方式。所以，总共有1×2×6!=720种站法。但由于乙和丙可以互换位置，所以实际站法为720÷2=360种，再乘以甲站在中间的1种方法，共有360×1=360种。

2.已知函数f(x)=2x^33x^2+x+1，求f(1)的值是（）

A.1

B.1

C.5

D.5

答案：D

解析：将x=1代入函数f(x)中，得到f(1)=2×(1)^33×(1)^2+(1)+1=231+1=5。

3.若a、b是方程x^23x+2=0的两根，则a^2+b^2的值是（）

A.1

B.2

C.5

D.10

答案：C

解析：根据韦达定理，a+b=3，ab=2。所以a^2+b^2=(a+b)^22ab=3^22×2=94=5。

4.设函数f(x)=x^2+2x+c，若f(x)在x=1时取得最小值，则c的值是（）

A.3

B.1

C.1

D.3

答案：A

解析：函数f(x)的对称轴为x=b/2a=2/2=1。由于f(x)在x=1时取得最小值，所以对称轴x=1与x=1的距离为2，即|1(1)|=2。因此，f(x)的最小值点为x=1，所以f(1)=1^2+2×1+c=1+2+c=3+c。由于f(x)在x=1时取得最小值，所以3+c=0，解得c=3。

5.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列的通项公式为（）

A.an=4n+3

B.an=4n1

C.an=2n+3

D.an=2n+1

答案：B

解析：当n=1时，a1=S_1=2×1^2+3×1=5。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(2n^2+3n)[2(n1)^2+3(n1)]=4n1。所以，an=4n1。

6.在三角形ABC中，a=3，b=4，sinA=3/5，则三角形ABC的面积S是（）

A.3

B.6

C.9

D.12

答案：B

解析：由sinA=3/5，可得cosA=4/5。根据余弦定理，c^2=a^2+b^22abcosA=3^2+4^22×3×4×4/5=9+1624/5=2924/5=105/524/5=81/5。所以c=√(81/5)=9/√5。三角形的面积S=1/2×ab×sinA=1/2×3×4×3/5=9。

7.若f(x)=x^33x^2+4x+1的导数f'(x)有两个不同的实数根，则实数a的值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：求导数f'(x)=3x^26x+4。由于f'(x)有两个不同的实数根，所以判别式△=b^24ac>0，即(6)^24×3×4>0，解得a=3。

8.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的前10项和S_10是（）

A.110

B.120

C.130

D.140

答案：A

解析：S_10=a1+a2+...+a10=(2×1+1)+(2×2+1)+...+(2×10+1)=3+5+7+...+21=110。

二、填空题（每题5分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^24x+c在x=2时取得最小值，则c=________。

答案：4

解析：f(x)的对称轴为x=b/2a=(4)/2=2。所以，f(x)在x=2时取得最小值。将x=2代入f(x)中，得到f(2)=2^24×2+c=48+c=4+c。因为f(x)在x=2时取得最小值，所以4+c=0，解得c=4。

2.若a、b是方程x^25x+6=0的两根，则a^2+b^2=________。

答案：17

解析：根据韦达定理，a+b=5，ab=6。所以a^2+b^2=(a+b)^22ab=5^22×6=2512=13。

3.若等差数列{an}的通项公式为an=3n+2，则该数列的前10项和S_10=________。

答案：165

解析：S_10=a1+a2+...+a10=(3×1+2)+(3×2+2)+...+(3×10+2)=5+8+...+32=165。

4.若函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是4，则a的值是________。

答案：3

解析：f(x)的对称轴为x=b/2a=2/2=1。所以，f(x)的最小值点为x=1。将x=1代入f(x)中，得到f(1)=(1)^2+2×(1)+1=12+1=0。因为f(x)的最小值是4，所以a=3。

5.在三角形ABC中，a=5，b=7，sinA=4/5，则三角形ABC的面积S=________。

答案：14

解析：由sinA=4/5，可得cosA=3/5。根据余弦定理，c^2=a^2+b^22abcosA=5^2+7^22×5×7×3/5=25+4942=32。所以c=√32=4√2。三角形的面积S=1/2×ab×sinA=1/2×5×7×4/5=14。

6.已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的通项公式an=________。

答案：2n+1

解析：当n=1时，a1=S_1=1^2+1=2。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n+1。所以，an=2n+1。

三、解答题（共30分）

1.（10分）解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=5\\

4x5y=10

\end{cases}

\]

解：将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，得到：

\[

\begin{cases}

4x+6y=10\\

12x15y=30

\end{cases}

\]

将两个方程相加，消去y，得到：

\[

16x=40

\]

解得x=2.5。将x=2.5代入第一个方程，得到：

\[

2×2.5+3y=5

\]

解得y=0.5。所以方程组的解为x=2.5，y=0.5。

2.（10分）已知函数f(x)=x^22x+1，求函数f(x)的单调递增区间。

解：求导数f'(x)=2x2。令f'(x)>0，解得x>1。所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)。

3.（10分）在三角形ABC中，a=8，b=10，C=60°，求三角形ABC的面积S。

解：根据正弦定理，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2