2025年高起专广东省数学（文科）真题及答案

2025年高起专广东省数学（文科）练习题及答案一、选择题（每小题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x²+bx+c（b、c为常数）在区间（∞，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（）

A.b≤2

B.b≤0

C.b≥2

D.b≥0

答案：D

解析：二次函数的开口向上，对称轴为x=b/2a。由于函数在区间（∞，+∞）上递增，对称轴必须在左侧，即x=b/2a≤0。因此b≥0。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=30，则S15的值为（）

A.50

B.60

C.70

D.80

答案：D

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n1)d)。根据题意，得到以下两个方程：

5/2(2a1+4d)=10

10/2(2a1+9d)=30

解得a1=2，d=1。因此S15=15/2(22+141)=15/218=135，即答案为80。

3.若直线l的斜率为2，且过点（1，3），则直线l的方程为（）

A.y=2x5

B.y=2x1

C.y=2x+1

D.y=2x+5

答案：A

解析：直线方程的一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。已知斜率k=2，代入点（1，3）得3=21+b，解得b=5。所以直线方程为y=2x5。

4.已知函数f(x)=|x2|+|x+1|的最小值为3，则实数x的取值范围是（）

A.x≤0

B.x≤1

C.x≤2

D.x≥2

答案：B

解析：f(x)在x=1和x=2处取得最小值。对于x<1，f(x)=(x2)(x+1)=2x+1；对于1≤x≤2，f(x)=(x2)(x+1)=3；对于x>2，f(x)=(x2)+(x+1)=2x1。因此，f(x)的最小值为3，当x≤1时。

5.若三角形ABC的面积为6，且a=4，b=3，则角C的正弦值sinC等于（）

A.1/2

B.3/4

C.1/3

D.1/4

答案：C

解析：根据海伦公式，三角形面积S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2。由题意，S=6，a=4，b=3，代入公式得：

6=√[p(p4)(p3)(pc)]

解得c=5。根据余弦定理，cosC=(a²+b²c²)/(2ab)，代入得cosC=1/4。由于sin²C+cos²C=1，得sinC=√(1cos²C)=√(11/16)=√15/4，化简得sinC=1/3。

6.若函数f(x)=x²2x+3在区间（∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≤2

C.a≤3

D.a≤4

答案：B

解析：f(x)=x²2x+3的导数为f'(x)=2x2。当f'(x)<0时，f(x)为减函数。解不等式2x2<0，得x<1。因此，实数a的取值范围是a≤2。

7.若函数f(x)=log2(x²2x+1)在区间（1，+∞）上是增函数，则实数b的取值范围是（）

A.b≥1

B.b≤1

C.b≥2

D.b≤2

答案：B

解析：f(x)=log2(x²2x+1)=log2[(x1)²]。由于对数函数在其定义域内是增函数，所以(x1)²在（1，+∞）上也是增函数。因此，b≤1。

8.若椭圆x²/4+y²/3=1的离心率为e，则e的取值范围是（）

A.0<e<1

B.e=1

C.e>1

D.e≤0

答案：A

解析：椭圆的离心率e=√(a²b²)/a。代入椭圆方程的a和b值，得e=√(43)/2=1/2。因此，e的取值范围是0<e<1。

二、填空题（每小题5分，共40分）

9.已知函数f(x)=x²2ax+a²+1在x=a处取得最小值，则a的取值范围是______。

答案：a≤1

解析：f(x)=(xa)²+1。由于函数在x=a处取得最小值，所以a的取值范围是a≤1。

10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7=49，则公差d等于______。

答案：2

解析：S7=7/2(2a1+6d)=49。由于S7=7/2(2a1+6d)=7/2(2a1+(71)d)，得7a1+21d=49。又因为a1=a1，d=d，所以d=2。

11.若直线l过点（2，3）且垂直于x轴，则直线l的方程为______。

答案：x=2

解析：直线垂直于x轴，则斜率不存在，直线方程为x=2。

12.若函数f(x)=|x1|+|x+1|的最小值为2，则实数x的取值范围是______。

答案：x=1

解析：f(x)在x=1和x=1处取得最小值。对于x<1，f(x)=(x1)(x+1)=2x；对于1≤x≤1，f(x)=(x1)(x+1)=2；对于x>1，f(x)=(x1)+(x+1)=2x。因此，f(x)的最小值为2，当x=1。

13.若三角形ABC的面积为6，且a=4，b=3，则角C的余弦值cosC等于______。

答案：1/4

解析：根据海伦公式，三角形面积S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2。由题意，S=6，a=4，b=3，代入公式得：

6=√[p(p4)(p3)(pc)]

解得c=5。根据余弦定理，cosC=(a²+b²c²)/(2ab)，代入得cosC=1/4。

14.若函数f(x)=x²4x+5在区间（∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤2

解析：f(x)=x²4x+5的导数为f'(x)=2x4。当f'(x)<0时，f(x)为减函数。解不等式2x4<0，得x<2。因此，实数a的取值范围是a≤2。

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数f(x)=x²2x+3，求f(x)在区间（∞，+∞）上的最大值和最小值。

答案：最小值f(x)min=2，最大值不存在。

解析：f(x)=(x1)²+2。由于平方项总是非负的，所以f(x)的最小值为2，当x=1。由于平方项可以无限增大，所以f(x)没有最大值。

16.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=30，求该数列的通项公式。

答案：an=n2