广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z1=cosπ6+isinA.12 B.1 C.2 2.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos2x−A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度

C.向右平移π6个单位长度 D.3.在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A.45∘ B.60∘ C.120∘4.已知a=(−2,4)，b=(1,m)，(2a+bA.(−3,6) B.(3,−6) C.(6,−3) D.(6,3)5.已知复数z满足z2+z+1=0，则z的值为(

)A.12 B.22 C.16.已知a=4，b=3，a⋅b=6，则b在A.23a B.38a C.7.函数fx=Acosωx+φ(A>0,ω>0,φ<π2)的部分图象如图所示，将函数y=fxA.12 B.1 C.2 8.已知▵ABC是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则PA⋅PC的取值范围为(

)A.[−1,3] B.(−1,3) C.[−2,2] D.(−2,2)二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.在下列各组向量中，不可以作为基底的是(

)A.a=0,0，b=1,−2 B.a=−1,2，b=5,7

C.10.已知z1，z2是复数，则下列说法正确的有(

)A.若z2=z1，则z1z2=z12 B.若z11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式ht=Asinωt+φ确定，其中A>0，ω>0，φ<π.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是A.ht=Asinπt+π2

B.t=9秒与t=53秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2

C.当0<t<t0三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.设点P1(−1,−1)，P2(2,5)，P是直线P1P2上一点，当P13.如图，在⊙C中，已知弦AB=2，则AB⋅AC=

．14.设α，β是关于x的方程x2+4x+c=0的两个虚数根，若α，β，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则c=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知向量a与b的夹角为π4，且a=2,(1)求a⋅(2)求a−(3)求向量a−b与向量a16.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bsinA=(1)求角B的大小；(2)若a=2，b=7，求(3)若b=7，求▵ABC17.已知z1是虚数，ω=1−z11+z(1)求z1的值和z(2)求证：ω为纯虚数；(3)求z2−18.图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面70m，最低点Q距离地平面10m，当t=2s时，过山车到达最高点P，当t=8s时，过山车到达最低点Q，设h(t)=Asin(1)求A，B，ω，φ的值；(2)求入口处M离地平面的高度；(3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于25m的时长．19.如图，设Ox、Oy是平面内相交成角α(0<α<π)的两条数轴，e1、e2分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy(α)仿射坐标系，在xOy(α)(1)在xOyπ4仿射坐标系中，若a(2)在xOy(α)仿射坐标系中，若a=−1,3，b=−3,1，且a与(3)如图所示，在xOyπ3仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，BC=1，OD=719OC，E、F分别为参考答案1.B

2.D

3.A

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.ACD

10.ACD

11.B

12.−4,−7

13.2

14.20

15.解：(1)因为向量a与b的夹角为π4，且a则a⋅(2)因为向量a与b的夹角为π4，且a=2,b可得a−(3)设向量a−b与向量a的夹角为可得cosθ=因为θ∈[0,π]，可得θ=π4，所以向量a−b与向量16.解：(1)∵在▵ABC中，由正弦定理得asinA=bsin∴a=2RsinA，代入得2Rsin∵A∈0,π，∴两边同时约去2RsinA，得sinB=又∵B∈0,π，∴B=(2)∵a=2，b=7，由余弦定理得b2代入得7即7=4+c2−2c解得c=3或c=−1(边长为正，舍去)．∴▵ABC的面积S=1(3)由余弦定理得b2即7=a由基本不等式得ac≤(a+c2)∴7=(a+c)∴(a+c)2≤28，即a+c≤2又∵三角形两边之和大于第三边，∴a+c>b=∴∴▵ABC的周长L=a+b+c=17.解：(1)设z1=a+bi，a,b∈R且b≠0，则因−1≤z2≤1，得出z2为实数，那么z1z2=2a，因为−1≤z2≤1(2)证：ω=1−z11+z因此ω为纯虚数．(3)由上题得，z2=2a，ω=−bi设1+a=t，那么z2其最小值在2t=2t时取得，即t=±1，因为−1因此t=1时z2−ω18.解：(1)∵高度最大值为70m，最小值为10m，∴A+B=70−A+B=10，解得A=30，∵从最高点t=2s到最低点t=8s的时间间隔为半个周期，∴T2=8−2=6，即T=12∴ht将t=2，h=70代入得30sinπ6∴π3+φ=(2)由(1)知ht入口处M对应t=0，∴h0即入口处M离地面高度为55m．(3)令h(t)≤25，即30sinπ6函数周期T=12，取一个周期t∈[0,12]，则π6由sinx≤−12,x∈π解得6≤t≤10．∴时长为10−6=4s．19.解：(1)由题意可知，e1、e2的夹角为∴∵a=(1,∴∴|a(2)由a=(−1,3)，b=(−3,1)，得：a=−∴b则|aa∵a与b的夹角为π∴解得cosα=(3)依题意设B(m,0)、C(0,n) (m>0,n>0)，且∠BOC=π3，OD