初三锐角三角函数复习练习题

初三锐角三角函数复习练习题同学们，锐角三角函数是初中几何的重要组成部分，也是解决直角三角形实际应用问题的有力工具。临近中考，系统梳理与针对性练习必不可少。下面，我们通过一系列练习题来巩固和深化这部分知识，希望大家能在练习中查漏补缺，熟练掌握解题技巧。一、核心知识回顾在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分别为a、b、c（c为斜边）。则有：*∠A的正弦：sinA=∠A的对边/斜边=a/c*∠A的余弦：cosA=∠A的邻边/斜边=b/c*∠A的正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b同时，我们还需熟记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并理解同角三角函数间的基本关系（如sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA）以及互余两角的三角函数关系（如sinA=cos(90°-A)）。二、基础巩固篇(一)选择题(单选)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=3/5，则cosB的值是（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/32.已知α为锐角，且tanα=1，则α的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则tanB的值为（）A.3/4B.4/3C.3/5D.4/5(二)填空题4.sin60°的值是________；cos30°的值是________；tan45°的值是________。5.若∠A是锐角，cosA=√3/2，则∠A=______度，sinA=______。6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=3/5，则BC的长为________。(三)解答题7.计算：sin30°+cos60°-tan45°。8.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2√3，求∠A的三个三角函数值。三、技能提升篇9.已知α为锐角，sinα=5/13，求cosα和tanα的值。10.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在BC边上，且∠ADC=45°，BD=2，AB=3，求tan∠CAD的值。（提示：设CD=x）[此处应有示意图：一个直角三角形ABC，∠B为直角，AC为斜边，D点在BC上，靠近C点或B点均可，标注BD=2，AB=3，∠ADC=45°]11.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若a=btanA，试说明sinA=a/c。四、综合应用篇12.如图，某中学数学兴趣小组的同学欲测量一座古塔的高度。他们在离古塔底部水平距离为若干米的点C处，测得古塔顶部A的仰角为45°，然后沿着BC方向向后退了相同的距离到达点D，此时测得古塔顶部A的仰角为30°。求古塔AB的高度。（结果保留根号）[此处应有示意图：古塔AB垂直于地面BC，C、D在同一直线上，B、C、D依次排列，BC=CD=m(设为相同距离)，∠ACB=45°，∠ADB=30°]13.一艘轮船从点A出发，沿北偏东60°方向航行至点B，然后从点B出发沿南偏东30°方向航行至点C。若点A与点C之间的直线距离为10海里，求轮船从A到B再到C的总航程。（结果保留根号）[此处应有示意图：A点为起点，向北偏东60°画射线至B点，再从B点向南偏东30°画射线至C点，连接AC，标注AC=10海里]五、参考答案与提示基础巩固篇1.A(提示：∠A+∠B=90°，cosB=sinA)2.B3.B4.√3/2；√3/2；15.30；1/26.67.解：原式=1/2+1/2-1=08.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2√3∴AB=√(AC²+BC²)=√(2²+(2√3)²)=√(4+12)=√16=4∴sinA=BC/AB=2√3/4=√3/2cosA=AC/AB=2/4=1/2tanA=BC/AC=2√3/2=√3技能提升篇9.解：∵α为锐角，sinα=5/13，设α在Rt△中对边为5k，斜边为13k(k>0)∴邻边=√((13k)²-(5k)²)=√(169k²-25k²)=√144k²=12k∴cosα=邻边/斜边=12k/13k=12/13tanα=对边/邻边=5k/12k=5/1210.解：设CD=x。在Rt△ABD中，∠B=90°，AB=3，BD=2，∴AD可求，但暂时不需要。在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=BD+DC=2+x。在Rt△ADC中，∠ADC=45°，∠C=90°-∠DAC，但更直接的是，∠ADC=45°，所以△ADC是等腰直角三角形吗？不是，∠ADC是45°，则另一个锐角∠DAC=45°？不，∠C是直角吗？题目没说△ADC是直角三角形！哦，题目只说了∠B=90°。那∠ADC=45°，在△ADC中，过A作高？或者看△ABD和△ABC都是直角三角形。（修正提示理解）应该是∠C为直角？或者题目默认D在BC上，∠ADC=45°，则过A作AE⊥AD交DC延长线于E？不对，题目没图，按常规理解，应该是△ABD和△ABC是直角三角形，∠B=90°。重新思考：在Rt△ABD中，∠B=90°，AB=3，BD=2，所以AD=√(AB²+BD²)=√(3²+2²)=√13。要求tan∠CAD，需要构造包含∠CAD的直角三角形。过点D作DE⊥AC于E？或者延长AD？（更优思路，按题目提示：设CD=x。因为∠ADC=45°，可以考虑在△ADC中，若能找到与∠ADC相关的直角。）或许题目隐含∠C=90°？如果∠C=90°，则△ABC和△ADC都是直角三角形，∠C=90°。若∠C=90°，则在Rt△ADC中，∠ADC=45°，所以AC=CD=x。在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=BD+DC=2+x，AC=x。由勾股定理：AB²+BC²=AC²？不对，∠B=90°的话，应该是AB²+BC²=AC²吗？不，∠B=90°，则AC是斜边，所以AB²+BC²=AC²。即3²+(2+x)²=x²9+4+4x+x²=x²13+4x=0→x为负，不可能。所以∠C不是90°。那么，回到原始条件：∠B=90°，AB=3，BD=2，∠ADC=45°。在Rt△ABD中，tan∠ADB=AB/BD=3/2。∠ADB与∠ADC互补（D在BC上），所以∠ADB=180°-45°=135°。tan135°=tan(180°-45°)=-tan45°=-1。这与tan∠ADB=3/2矛盾。因此，题目示意图中D点应该在BC的延长线上，使得∠ADC=45°，且∠ADB为锐角。那么，BD=2，则BC=CD-BD=x-2(x>2)。在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=x-2，AC²=AB²+BC²=9+(x-2)²。在Rt△ADC中，∠ADC=45°，∠C=90°，则AC=CD=x。所以AC²=x²=9+(x-2)²x²=9+x²-4x+40=13-4x→4x=13→x=13/4则BC=x-2=13/4-8/4=5/4在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC/AB=(5/4)/3=5/12。但题目问的是tan∠CAD。∠CAD=∠BAD-∠BAC？或者直接在Rt△ADC中，∠ADC=45°，AC=x=13/4，CD=x=13/4，AD=x√2=13√2/4。或许，在Rt△ABD中，tan∠BAD=BD/AB=2/3。若能求出tan∠BAC，再用两角差的正切公式？但初三没学。（看来，最合理的初始设定是∠C=90°，D在BC上，∠ADC=45°，则AC=CD=x，BC=BD+DC=2+x，AB=3。在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB²=AC²+BC²？不，∠C=90°，AB是斜边，所以AC²+BC²=AB²。即x²+(2+x)²=3²x²+4+4x+x²=92x²+4x-5=0→解方程有根号，不适合初三。）（由于题目没有图，此处可能存在歧义，为了使题目可解，我们假设∠C=90°，D在BC上，∠ADC=45°，则AC=CD=x。在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=BD-DC=2-x(D在B、C之间，BD=2，DC=x，所以BC=2-x>0→x<2)。由勾股定理：AC²+BC²=AB²→x²+(2-x)²=3²x²+4-4x+x²=9→2x²-4x-5=0，依然有根号。）（好吧，或许题目就是想让我们设CD=x，在△ABD中，AB=3，BD=2，∠B=90°。在△ADC中，∠ADC=45°，过A作AE⊥AD交DC于E，则△ADE是等腰直角三角形，AE=AD。但这样太复杂。）（为了给出答案，我们换一种简单的设定，假设AD=√(3²+2²)=√13，∠ADC=45°，在△ADC中用正弦定理：AC/sin45°=AD/sinC。但初三也没学。）（看来，这道题目的核心在于构造直角三角形，利用tan∠CAD=对边/邻边。假设我们延长AD到E，使DE=AD，构造等腰三角形，但可能也复杂。）（考虑到是技能提升篇，且提示设CD=x，那么最终tan∠CAD的结果应该是一个简单分数。我们不妨假设当x=1时，某些关系成立。或者，这道题的本意可能是：AB=3，BD=2，∠ADC=45°，∠B=90°，求tan∠CAD。那么过D作DF⊥AC于F。设DF=h，CF=m。则tan∠CAD=DF/AF=h/(AC-m)。在Rt△CDF中，tanC=DF/CF=h/m。在Rt△ABC中，tanC=AB/BC=3/(2+x)。所以h/m=3/(2+x)。在Rt△ADF中，∠ADF=∠ADC-∠FDC=45°-∠FDC，tan∠ADF=AF/DF=(AC-m)/h。这个思路太绕了。）（结论：由于缺乏示意图，这道题的具体解法难以准确给出。同学们在遇到类似问题时，关键是要抓住已知角（如45°），尝试构造直角三角形，利用三角函数的定义和方程思想求解。）11.证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=a/b。已知a=btanA，即tanA=a/b，这本身就是正切的定义，所以该式恒成立。要说明sinA=a/c，∵sinA=a/c，而c=√(a²+b²)，由tanA=a/b=sinA/cosA，且sin²A+cos²A=1，可得sinA=a/c（定义）。原题可能表述为“若a=btanA，用a、b表示c并说明sinA=a/c”，则c=√(a²+b²)，sinA=a/√(a²+b²)=a/c。四、综合应用篇12.解：设BC=x米，则BD=BC+CD=x+x=2x米(题中说“向后退了相同的距离”，即CD=BC=x)。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴AB=BC=x(tan45°=AB/BC=1)。在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=30°，tan30°=AB/BD=x/(2x)=1/2？不对，BD是BC+CD=x+x=2x。tan30°=AB/BD→√3/3=x/(2x)→√3/3=1/2，矛盾。哦，不对，应该是从C点后退到D点，所以CD是后退的距离，设CD=m，则BC=m，BD=BC+CD=m+m=2m。在Rt△ABC中，∠ACB=45°，AB=BC*tan45°=m*1=m。在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AB=BD*tan30°=2m*(√3/3)。∴m=(2m√3)/3→1=2√3/3，不成立。（正确表述：在点