初中数学八年级下册“提公因式法”单元起始课教学设计

初中数学八年级下册“提公因式法”单元起始课教学设计

一、教学内容解析

本节课是北京师范大学出版社出版的义务教育教科书《数学》八年级下册第四章《因式分解》第二节《提公因式法》的第一课时，属于“数与代数”领域中整式与分式的重要组成部分。因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数式恒等变形的一种最基本、最重要的形式，它在后续的分式运算、方程与函数的学习中起着至关重要的奠基作用-2。提公因式法作为因式分解的首种方法，不仅是本章后续学习公式法、十字相乘法的知识基础，更是学生体会数学转化思想、发展逆向思维能力的绝佳载体。本节内容在知识体系上承上启下，通过对整式乘法的回顾与逆用，自然引出因式分解的概念，进而聚焦于如何从多项式的结构特征中识别并提取出公共因子，最终将多项式转化为几个整式乘积的形式。本节课的核心在于引导学生理解“公因式”的本质，掌握“提”的逻辑与程序，为后续复杂多项式的分解奠定坚实的操作基础与思维范式。

二、学生学情分析

【基础】授课对象为八年级学生，在知识储备上，他们已经系统学习了有理数的运算、整式的加减以及整式的乘法（特别是单项式乘以多项式），对乘法分配律有了深刻的理解，能够熟练地进行单项式与多项式的乘法运算，这为本节课学习逆用分配律提供了坚实的知识前提-1-3。在认知能力上，八年级学生正处于由形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，具备了一定的观察、类比和归纳能力，但对于“逆向变形”的思考方式仍显生疏，容易受思维定势的影响，将因式分解与整式乘法混淆。在心理特征上，学生对富有挑战性和趣味性的问题情境充满好奇，乐于通过探究活动获取新知，但对于纯粹的理论推导和重复性练习容易产生倦怠感。因此，教学设计需充分利用学生的最近发展区，创设具有吸引力的情境，引导学生在观察、对比、操作中自主建构知识，将抽象的代数概念转化为可视化的操作程序，从而有效突破思维障碍。

三、核心素养指向

1、抽象能力：经历从具体多项式的各项中观察、归纳出公共因式的过程，能从系数、字母、指数三个维度抽象概括出确定公因式的一般方法，理解公因式的数学本质。

2、运算能力：理解提公因式法的算理（乘法分配律的逆用），掌握“一找、二提、三写、四查”的操作步骤，能够准确、熟练地运用提公因式法对各项系数是整数、指数是正整数的多项式进行因式分解，并保证分解的彻底性。

3、推理能力：通过探究整式乘法与因式分解的互逆关系，发展逆向思维；在验证分解结果是否正确时，经历“由因式分解到整式乘法”的检验过程，形成言之有据的推理习惯。

4、模型观念：认识到提公因式法实际上是分配律ab+ac=a(b+c)的模型化应用，能够将不同结构的多项式问题化归为这一基本模型来解决，体会数学模型在数学学习中的价值。

四、教学目标设定

1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，能判断一个变形是否是因式分解。【基础】

2、理解公因式的概念，能准确确定多项式各项的公因式（系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，且字母的指数取最低次）。【重点】

3、理解提公因式法的算理，能熟练运用提公因式法分解因式（当公因式是单项式时）。【重要】

4、在探究提公因式法的过程中，体会化归与逆向思维的思想方法，培养观察、归纳及代数运算能力。【高频考点】

五、教学重难点突破

1、教学重点：理解因式分解的概念，掌握公因式的确定方法以及用提公因式法分解因式的步骤。

处理策略：采用“对比发现”与“程序化教学”相结合的方式。首先，通过对比整式乘法与因式分解的两组算式，让学生直观感受两者的互逆关系，自然建构因式分解的概念。其次，在公因式的教学中，引导学生从特殊到一般，总结出“一看系数、二看字母、三看指数”的三步确定法-1-6，将隐性的思维过程显性化、程序化。最后，通过教师规范的板演示范，将“提公因式”的操作步骤固化下来，让学生在模仿与练习中熟练掌握。

2、教学难点：准确、快速地确定公因式，特别是当首项系数为负或公因式包含多项式形式时的符号处理与整体思想。【难点】

处理策略：采用“错例辨析”与“变式递进”的方法。针对首项为负的情形，引导学生总结出“提负号要变号”的规则；针对公因式可能隐含的符号问题，通过对比练习，如a(x-y)+b(y-x)，引导学生观察并发现(y-x)=-(x-y)的转化关系，从而渗透整体思想和符号处理技巧-8。通过阶梯式的变式训练，让学生在“尝试—错误—纠正—总结”中深化理解，化解难点。

六、教学实施过程

（一）情境导入：创设“图形密码破译”情境，激活逆向思维（约3分钟）

【教学活动】多媒体展示一个组合长方形，它由三个小长方形拼成，这三个小长方形的高相同（均为m），宽分别为a、b、c。提出问题：你能用几种不同的代数式表示这个大长方形的面积？学生很快得出两种表示方法：一种是将三个小长方形面积相加，即S=ma+mb+mc；另一种是利用大长方形的长乘以宽，即S=m(a+b+c)。教师进一步追问：这两个代数式之间可以用什么符号连接？它们之间进行了怎样的变形？学生回答可以用等号连接，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。教师顺势指出：我们把左边多项式的形式化成了右边几个整式乘积的形式，这就是我们今天要研究的核心内容——因式分解。而上面这个式子，就是我们这节课要重点掌握的“提公因式法”。

【设计意图】从学生熟悉的几何图形面积计算入手，将抽象的代数等式赋予直观的几何意义，不仅激发了学习兴趣，更自然地揭示了因式分解与整式乘法的互逆关系，为整节课的学习埋下了伏笔。这种数形结合的方式，让抽象的数学概念变得可感可知。

（二）概念建构：辨析因式分解，探寻“公因式”本质（约8分钟）

【教学活动】

1、概念引出与辨析：教师板书ma+mb+mc=m(a+b+c)，并给出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）【重要】。随后，教师展示一组等式，请学生判断哪些属于因式分解，并说明理由。

（1）(x+2)(x-2)=x²-4

（2）x²-4=(x+2)(x-2)

（3）2x²-4x=2x(x-2)

（4）x²-3x+1=x(x-3)+1

通过辨析，学生明确因式分解的对象必须是多项式，结果必须是“整式×整式”的积的形式，且变形前后值不变，是一种恒等变形。同时，进一步强化因式分解与整式乘法是互为逆变形的关系。

2、公因式的生成与定义：教师引导学生聚焦ma+mb+mc=m(a+b+c)这个等式，提出问题：“观察等号左边的多项式ma+mb+mc，它的每一项都含有一个共同的因式，你发现了吗？”学生异口同声回答：“m”。教师指出：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式【基础】。

3、公因式的确定方法探究（核心环节）：教师呈现三个递进的多项式，组织学生以小组合作形式探究如何确定公因式。

问题组：

（1）多项式4x²y+6x³y²各项的公因式是什么？

（2）多项式8a²b²c-12a³b⁴各项的公因式是什么？

（3）多项式-3x²y³+9xy²-6x²y²各项的公因式是什么？

在小组充分讨论的基础上，各小组派代表展示本组的发现。教师引导学生从系数、字母、指数三个维度进行归纳总结，最终形成确定公因式的口诀化方法：

一看系数：公因式的系数取各项系数的最大公约数（如4和6的最大公约数是2）；

二看字母：公因式含有的字母取各项都含有的相同字母（如都含有x和y）；

三看指数：公因式中相同字母的指数取各项中该字母指数的最低次（如x的最低次是1次，y的最低次是1次）。因此，第（1）题的公因式是2x²y？不，学生需计算验证，应为2x²y？4和6最大公约数是2，x最低次是x¹，y最低次是y¹，所以是2xy。第（2）题公因式为4a²b²？系数8和12最大公约数是4，a最低次是a²，b最低次是b²，c不是各项共有，故公因式为4a²b²。第（3）题，首项系数为负，教师引导学生讨论：当首项系数为负时，通常我们提取的公因式也带负号，这样括号内首项就为正了。因此公因式确定为-3xy²？系数3、9、6的最大公约数是3，取负号，x最低次是x¹，y最低次是y²，故公因式为-3xy²。

【设计意图】通过辨析强化概念的本质属性；通过层层递进的问题组，让学生在探究中自主发现并总结出确定公因式的科学方法，将隐性的思维技能显性化、条理化，有效突破教学难点。特别是对负号的处理，通过讨论达成共识，为后续规范解题奠定基础。

（三）规则内化：习得“提公因式法”，规范解题步骤（约12分钟）

【教学活动】

1、方法命名与算理阐释：教师指出，像这样，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法【重要】。教师引导学生回顾ma+mb+mc=m(a+b+c)的变形过程，追问：这一步变形的理论依据是什么？引导学生明确，这是乘法分配律的逆用，从而理解提公因式法的算理本质。

2、例题示范，规范步骤（教师板演，强调书写的严谨性）【高频考点】：

例1：分解因式8a³b²+12ab³c

解：（找）首先确定公因式：系数8和12的最大公约数是4；相同字母有a和b；a的最低指数是1，b的最低指数是2。所以公因式为4ab²。

（提、写）原式=4ab²·2a²+4ab²·3bc

（查）将公因式提到括号前，括号内写剩下的因式：=4ab²(2a²+3bc)

最后，引导学生用整式乘法验证结果，确保分解正确。

例2：分解因式-3x²y³+9xy²-6x²y²

解：（找）首项系数为负，确定公因式时连同负号一起提出。系数3、9、6的最大公约数是3，取-3；相同字母有x和y；x的最低指数是1，y的最低指数是2。所以公因式为-3xy²。

（提、写）原式=(-3xy²)·xy+(-3xy²)·(-3)+(-3xy²)·2x？注意多项式除以单项式的过程，要细心。

规范书写：原式=-3xy²·(xy?)实际上，第一项-3x²y³除以-3xy²得xy；第二项9xy²除以-3xy²得-3；第三项-6x²y²除以-3xy²得2x。所以：

原式=-3xy²(xy-3+2x)

【特别注意】教师在此处要反复强调：提出公因式后，括号内多项式的项数应与原多项式的项数保持一致。当某一项恰好是公因式时，提取后括号内对应位置应为“1”，切忌漏项-6。

3、即时巩固，分层练习：

学生独立完成课本随堂练习第1题（基础题组），两名学生板演，师生共同评议，重点关注公因式找得是否准确，符号处理是否正确，是否漏项。

【设计意图】通过例题的规范讲解，将提公因式的操作流程直观化、标准化；通过强调算理，使学生不仅知其然更知其所以然。即时练习与板演评议，能够及时发现并纠正学生在初学阶段出现的典型错误，夯实基础技能。

（四）思维进阶：探究“公因式为多项式”的情形，孕育整体思想（约8分钟）

【教学活动】

1、问题呈现，引发认知冲突：教师出示问题：分解因式2a(b+c)-3(b+c)。引导学生观察，这个多项式有什么特征？学生发现，这里不再是单项式，而是有相同的多项式(b+c)。

2、小组讨论，探究解法：教师组织学生分组讨论，如何确定这个多项式的公因式？公因式是什么？如何提取？

学生在讨论中发现，可以将(b+c)看作一个整体，这个整体就是各项的公因式【重要】。因此，直接提取(b+c)即可。

3、规范板书，揭示整体思想：

解：原式=(b+c)·2a-(b+c)·3

=(b+c)(2a-3)

教师强调：这里将(b+c)视为一个“整体”，体现了数学中的整体思想。公因式既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

4、变式训练，深化理解（难点突破）：

教师出示变式题：分解因式2a(x-y)-3b(y-x)。

引导学生思考：这里有没有公因式？(x-y)和(y-x)一样吗？它们有什么关系？学生通过观察发现(y-x)=-(x-y)。因此，可以将原式转化为2a(x-y)+3b(x-y)，这样公因式(x-y)就显现出来了。

解：原式=2a(x-y)-3b[-(x-y)]？实际上应为：2a(x-y)-3b(y-x)=2a(x-y)+3b(x-y)=(x-y)(2a+3b)。

【设计意图】将知识从单项式公因式拓展到多项式公因式，是思维的一次重要跃升。通过设置认知冲突，引导学生将旧知迁移到新知，自然孕育并运用“整体思想”。通过符号变式训练，彻底突破“符号处理”这一难点，提升学生灵活应变的能力。

（五）综合闯关：挑战“最强大脑”，在实战中巩固升华（约9分钟）

【教学活动】

本环节设计为三个梯度的闯关练习，以小组竞赛的形式开展。

第一关：夯实基础（必答）

分解因式：（1）3x²-6xy（2）-4a³+16a²-8a（3）5x(a-b)-10y(b-a)

小组派代表板演，其他小组评价、纠错。

第二关：火眼金睛（抢答）

判断下列分解因式是否正确，若不正确，请指出错误并改正。

（1）6x²-3x=3x(2x²)？（错误，漏项，应为3x(2x-1)）

（2）-2a²+4a=-2a(a+2)？（错误，符号错误，应为-2a(a-2)）

（3）4x²-2xy+2x=2x(2x-y)？（错误，漏项，括号内应补“1”，即2x(2x-y+1)）

第三关：学以致用（拓展）

用简便方法计算：2.31×3.14+5.69×3.14+3.14×2（提示：将3.14看作公因式提取）

已知a+b=5，ab=3，求a²b+ab²的值。

【设计意图】将枯燥的练习设计成富有挑战性的闯关游戏，极大地调动了学生的参与热情。梯度化的题目设计照顾了不同层次学生的需求，使所有学生都能在原有基础上获得发展。错例辨析环节，将学生练习中常见的典型错误集中呈现，让学生在“找茬”中加深对规则的理解，提高元认知能力。最后一关的拓展题，让学生体会到因式分解在简化计算和代数求值中的实际应用价值。

（六）课堂小结与作业布置（约5分钟）

【教学活动】

1、知识梳理（师生共同完成）：

本节课我们学习了哪些内容？

（1）因式分解的概念：多项式→整式积（与整式乘法互为逆变形）。

（2）公因式的确定方法：一看系数（最大公约数），二看字母（相同字母），三看指数（最低次幂）【基础】。

（3）提公因式法的步骤：“一找（公因式）、二提（公因式）、三写（另一个因式）、四查（分解是否彻底，项数是否一致）”【重要】。

（4）思想方法：整体思想、化归思想、逆向思维。

2、易错点警示：

教师再次强调两点易错点：