周长相等时面积最大化问题的实践探究-小学数学三年级下册“谁围出的面积最大”项目化教案

周长相等时面积最大化问题的实践探究——小学数学三年级下册“谁围出的面积最大”项目化教案

一、教学内容分析

（一）【基础】教材定位与内容解析

本课“谁围出的面积最大”是沪教版小学数学三年级下册第五单元“几何小实践”中的一个重要实践活动。在学习了长方形、正方形的周长与面积计算，并对两者的概念有了初步区分之后，本课旨在引导学生深入探究周长与面积之间的动态关系。它并非简单地计算面积，而是让学生在给定周长的情况下，通过围成不同形状的长方形和正方形，观察并发现“当周长一定时，围成的长方形长与宽的变化如何影响面积”这一核心规律。该内容不仅是周长与面积知识的综合运用，更是培养学生空间观念、推理意识和优化思想的重要载体，为学生后续学习其他图形的最优化问题奠定坚实的经验基础。

（二）【重要】核心素养聚焦

本课的教学设计围绕数学核心素养的落地展开，重点聚焦于以下几个方面：

1.量感与空间观念：通过动手操作“围一围”，在头脑中建立不同形状的图形表象，理解长、宽的变化如何导致图形形状与大小的改变，从而发展空间想象能力。

2.推理意识：在列举不同围法的过程中，引导学生有依据地思考，从具体数据中观察、比较、分析，归纳出一般性的规律，经历从特殊到一般的归纳推理过程。

3.模型意识：将“用绳子围长方形”的生活问题抽象为数学问题，建立“周长一定，长与宽的和一定”的数学模型，并利用此模型探究面积变化规律，体会数学模型在解决问题中的价值。

4.创新意识与合作能力：鼓励学生尝试不同的围法，在小组合作中交流各自的想法与发现，通过思维的碰撞激发新的灵感，培养敢于探索、勇于创新的科学精神。

（三）教学资源准备

为保障探究活动的有效开展，需要准备充足的学具：每组一根长度固定为20厘米的细绳（或铁丝，确保不可伸缩）、一张足够大的方格纸（格子边长为1厘米）、一支记号笔、若干张记录单、一把直尺。同时，利用多媒体课件动态演示不同围法的变化过程，帮助学生直观理解抽象规律。

二、学情分析

（一）【基础】知识起点

三年级学生已经掌握了长方形和正方形的特征，能够熟练计算长方形和正方形的周长与面积。他们对“周长是一条线，面积是一片”有了初步的感性认识，但对于周长与面积这两个既有联系又有区别的概念，在具体情境中灵活运用并探究其深层次关系，尚处于起步阶段。学生已经具备初步的观察、比较和简单归纳的能力。

（二）【重要】认知特点与潜在困难

1.思维局限性：学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们可能能够通过动手操作找到几种不同的围法，但在全面、有序地列举所有可能情况上存在困难，容易出现重复或遗漏。

2.概念混淆风险：在探究过程中，学生极易混淆周长与面积，尤其是在计算面积时，可能会不自觉地与周长公式相混，需要教师在教学过程中持续强化区分。

3.规律发现深度不足：学生能够直观感受到“正方形面积大”，但可能无法清晰、完整地用数学语言表达“为什么正方形的面积最大”，以及长和宽的变化对面积影响的渐进过程。

三、教学目标与重难点

（一）【核心】教学目标

1.知识与技能：通过动手操作和合作探究，掌握在周长相等的长方形中，长与宽越接近，面积越大；当长与宽相等（即正方形）时，面积最大的规律。并能运用这一规律解决生活中的简单实际问题。

2.过程与方法：经历“猜想—验证—归纳—应用”的数学探究过程，学会用有序列表的方法整理数据，培养观察、比较、分析和归纳概括的能力。

3.情感态度与价值观：在探究活动中感受数学的奇妙与乐趣，体会数学与生活的紧密联系，培养严谨求实的科学态度和团队协作精神，初步形成优化意识。

（二）教学重难点

1.【重点】【难点】探索并归纳出“周长相等的长方形，长与宽越接近，面积越大，其中正方形面积最大”的规律。

2.【基础】掌握有序、不重复、不遗漏地列举出所有围成长方形的方法。

3.【高频考点】运用发现的规律，快速判断在给定周长下，如何围出面积最大的图形。

四、教学实施过程

（一）创设情境，激活思维——【核心问题】的提出

（约5分钟）

1.情境引入：

教师手持一根长度为20厘米的细绳，用充满趣味的语气向学生讲述：“同学们，王爷爷家后院养了几只可爱的小鸭子。他想用这根绳子在墙边围出一块长方形的菜地，给小鸭子们做活动场地。可是王爷爷犯难了，他想让围出的这块地尽可能大，让小鸭子有更宽敞的空间玩耍。用这根绳子来围（绳子就是菜地的三条边，因为一面靠墙），怎么围面积最大呢？”

（此处设计将经典的“篱笆问题”前置，能有效激发学生兴趣，并为后续的“四边不靠墙”的探究埋下伏笔，或者也可以直接采用标准版本：用这根绳子首尾相接围成一块长方形菜地，怎样围面积最大？两种设计各有千秋，本教案选择标准版本以聚焦核心规律。）

2.明确任务与猜想：

教师提出问题：“如果用这根绳子首尾相连正好围成一个长方形（包括正方形），你们猜一猜，怎样围，围出的这块长方形菜地的面积会最大呢？是长一点好？还是宽一点好？还是有什么特别的形状？”引导学生进行初步的、直觉性的猜想，并将猜想简要记录在黑板上。这个环节旨在激活学生的已有经验，形成认知冲突，为后续的探究活动提供动力。

（二）【核心环节】动手操作，合作探究——规律的发现之旅

（约25分钟）

本环节是本课的核心，通过层层递进的活动设计，引导学生从无序到有序，从感性到理性，逐步揭示数学规律。

1.初次尝试，初步感知（约8分钟）

（1）明确要求：教师清晰布置任务：“请每组同学利用手中的绳子和方格纸，围一围、画一画、算一算。绳子总长20厘米，正好围成一个长方形（包括正方形），也就是长方形的周长是20厘米。把你们围出的不同长方形的长、宽和面积记录在记录单上。看看哪个小组能找到最多的围法。”

（2）【重要】学生操作，教师巡视：学生以小组为单位开展操作活动。教师深入各组，重点关注学生是如何确定长和宽的，是否有学生利用“周长÷2=长+宽”这一关键数学模型，以及学生在列表记录时是否有序。对于思维受阻的小组，教师可以进行启发式提问：“绳子总长20厘米，围成长方形后，长和宽加起来是多少？你是怎么知道的？”引导学生回顾并运用长方形周长公式的逆运算。

（3）初步交流：操作一段时间后，请一两个小组上台展示他们的发现。此时展示的结果往往是零散的、无序的，例如有的组可能只找到了“长9宽1”和“长5宽5”这两种，有的组可能找到了“长8宽2”、“长7宽3”等。教师将这些数据随机记录在黑板上。这一环节旨在暴露学生的原始思维，让他们感受无序列举的局限性，从而产生“怎样才能不重复不遗漏地找到所有围法”的内在需求。

2.【难点突破】有序思考，全面列举（约8分钟）

（1）聚焦“有序”：教师指着黑板上杂乱的数据提问：“同学们，我们这样东一个西一个地找，很容易漏掉一些围法，怎么才能保证把所有的围法一个不落地全找出来呢？有没有什么好办法？”引导学生思考有序思考的策略。

（2）【基础】建模“长+宽”：引导学生再次聚焦关键点：“一根绳子首尾相连围成长方形，绳子总长是20厘米，这是什么？”（周长）“周长是20厘米，那么一个长加一个宽是多少？”（10厘米）从而明确“长+宽=周长÷2=10厘米”这一不变的数学模型。这是解决所有问题的前提和基础。

（3）【重要】有序列举：在明确了“长+宽=10”之后，教师引导学生：“现在，我们可以从宽是几厘米开始想？怎样想才能既不重复也不遗漏？”引导学生按照一定的顺序，比如从宽是最小的整数开始列举。师生共同有序地列出所有整数情况：宽1厘米，长9厘米；宽2厘米，长8厘米；宽3厘米，长7厘米；宽4厘米，长6厘米；宽5厘米，长5厘米。并追问：“宽可以是0厘米吗？宽可以是6厘米吗？为什么？”引导学生理解长和宽都必须大于0，并且当长=宽时，就是正方形，它是一种特殊的长方形。至此，学生通过有序思考，完整地构建了所有可能的图形。

3.数据对比，发现规律（约6分钟）

（1）计算面积，完善表格：请学生根据完整的有序列列举，计算并填写每个长方形的面积：宽1厘米，面积9平方厘米；宽2厘米，面积16平方厘米；宽3厘米，面积21平方厘米；宽4厘米，面积24平方厘米；宽5厘米，面积25平方厘米。

（2）【核心】观察比较：教师引导学生仔细观察这张有序排列的数据表，并提出深层次的思考问题：“请同学们仔细观察这些数据，从左往右看，随着宽的增加（长在减少），面积发生了怎样的变化？你发现了什么？”给予学生充足的观察和小组讨论时间。

（3）交流汇报，提炼规律：

学生可能会发现：“宽1厘米面积最小，宽5厘米面积最大。”

进一步引导：“面积是一直在增大吗？从宽1到宽2，面积增加了几？从宽2到宽3呢？宽3到宽4呢？宽4到宽5呢？”

通过计算面积差（16-9=7，21-16=5，24-21=3，25-24=1），学生惊奇地发现，面积虽然一直在变大，但每次增加的量却在逐渐变小。

教师追问：“那你们能不能用一句话来总结一下，周长是20厘米的长方形，长和宽怎么变，面积会越来越大？”引导学生概括出：【非常重要】【高频考点】“在周长相等的情况下，长方形的长与宽越接近，它的面积就越大；当长与宽相等，也就是围成正方形时，面积最大。”

（4）多媒体验证：教师利用课件动态演示，将长方形从“又长又窄”逐渐向“正方形”变化，图形下面的面积数据同步变化，将抽象的数字规律与直观的图形变化完美结合，进一步巩固学生的认知。

（三）变式练习，深化理解——【重要】规律的普适性验证

（约8分钟）

仅仅通过一个例子得出的规律是否具有普遍性呢？这是培养学生严谨科学态度的重要契机。

1.提出新问题：“刚才我们发现周长是20厘米时，正方形面积最大。那如果绳子的长度变了，比如周长变成了16厘米、24厘米，这个规律还成立吗？”

2.【基础】分组验证：将全班分为两大组，一组验证周长为16厘米的情况，另一组验证周长为24厘米的情况。要求先快速算出“长+宽”的和，再进行有序列举（为节省时间，可重点探究整数边长的情况），并找出面积最大的图形。

3.汇报结论：两组分别汇报验证结果。周长为16厘米时，长+宽=8，围成边长4厘米的正方形面积最大（16平方厘米）；周长为24厘米时，长+宽=12，围成边长6厘米的正方形面积最大（36平方厘米）。

4.归纳总结：通过再次验证，学生更加确信：无论周长是多少，只要是在周长相等的长方形中，围成正方形时面积最大。教师顺势将之前发现的规律中的“周长20厘米”扩展为“周长一定”或“周长相等”。至此，一条具有普适性的数学规律完整地呈现在学生面前。

（四）联系生活，解决问题——【高频考点】的应用拓展

（约5分钟）

1.基础应用：

题目：张叔叔想用一根60米长的篱笆围成一个长方形的鸡舍（四边都不靠墙），要使鸡舍的面积最大，应该围成什么形状？长和宽分别是多少？最大面积是多少平方米？

学生独立思考后回答：围成正方形，边长60÷4=15米，面积15×15=225平方米。此题直接考查核心规律的掌握情况。

2.【热点】拓展思考（为下节课做铺垫）：

教师再次引出开课时“靠墙围”的情境：“同学们，如果王爷爷的绳子是20米，他想靠着一面墙围一个长方形菜地（如图，三条边用篱笆，墙不用篱笆），怎样围面积最大？这和我们今天学的规律一样吗？这个问题留给大家课后去思考，我们下节课再来探究。”

此环节将课堂探究延伸到课外，点燃了学生持续探索的火花。

（五）回顾反思，总结提升——【基础】知识的内化

（约2分钟）

引导学生回顾本节课的学习历程：“同学们，今天我们是怎样一步步发现这个重要规律的？我们先进行了（猜想），然后通过（动手操作、有序列举）收集数据，再通过（观察、比较、分析）发现了规律，最后又用不同的数据（验证）了规律。这种‘猜想—验证—结论’的方法是数学学习中非常重要的思想方法。希望同学们以后也能用这样的方法去探索更多的数学奥秘。”

最后，请学生畅谈自己的收获，包括知识上的收获和方法上的收获。

五、板书设计

谁围出的面积最大

周长一定（相等）长方形

（周长：20cm）

长+宽=周长÷2=10cm

有序列举：

宽（cm）长（cm）面积（cm²）

199

2816

3721

4624

5525

【核心规律】：

长与宽越接近，面积越大

正方形（长=宽）时，面积最大

六、教学效果评价设计

（一）【基础】形成性评价

在教学过程中，通过观察学生的小组合作参与度、记录单的填写情况、回答问题的准确性以及课堂练习的反馈，及时了解学生对知识的掌握程度。对于在有序列举和规律表述上有困难的学生，进行个别指导或小组互助。

（二）【重要】表现性评价

设计一道表现性任务：

“学校要举办数学节，需要在一块长12米、宽8米的长方形空地上，用一根长40米的彩带围出一个长方形的展区（彩带不剪断，首尾相接）。要求这个展区的面积尽可能大，请问可以怎样设计？并计算出这个最大面积是多少平方米。”

此题不仅考查学生对核心规律的直接应用（彩带长即周长），还要求学生在一个更大的背景中识别信息，并进行推理计算。评价的焦点在于学生能否准确识别“周长40米”，并运用规律得出“围成边长10米的正方形，面积100平方米”的结论。

七、【重要】教学反思与预设

（一）可能遇到的问题与应对策略

1.问题：部分学生可能无法理解“长+宽=周长÷2”，在列举时仍然感到茫然。

策略：让理解的学生上台用绳子