2025年华数国际青少年科创大会数学试卷

2025年华数国际青少年科创大会数学试卷1．甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶60千米；5个小时后甲车遇到从B地开往A地的丙车；又过了1小时，乙车遇到丙车。则丙车每小时行驶千米。2．对一个十进制非零自然数，执行如下的操作：取这个数的个位数的平方，把得到的平方数直接写在原来自然数的后面，例如20变为200。对一个非零自然数执行2025次这样的操作，则最后得到的自然数的个位数字有种可能。3．一次测试中全班44位同学的成绩情况如表：成绩处于0～60分之间人数成绩处于61～85分之间人数成绩处于86～100分之间人数语文101420数学82115已知有12位同学的语文与数学成绩都处于86～100分之间，则最少有位同学的语文与数学成绩都处于61～85分之间。4．把一堆桃子分给四个人，每人至少分到一个。甲说：“我分到的个数比总个数的少10个”；乙说：“我分到的个数是某人的2倍”；丙说：“我分到了10个”；丁说：“我分到的个数等于另外两人分到的个数的和”。已知这四个人说的都对，则这堆桃子共有个。5．如图，正方形ABCD与长方形BEFG放在一起，C在BG上，正方形ABCD的边长为4，长方形BEFG的长、宽分别为6、5。连结AC，EC，AF，则图中阴影部分的面积为。6．从1，2，3，……，99，100这100个自然数中，取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，不计两数的先后次序，一共有种取法。7．四个非零自然数的和等于它们的积，求这四个数.并说明理由。8．如图是一款棋类游戏的棋盘，游戏双方各执一子并在棋盘内轮流移动自己的棋子。规定：（1）每次只能选择横向移动若干格或纵向移动若干格，但不能越过对方棋子所在的列或行；（2）移动后不能使自己的棋子与对方棋子处于同一行或同一列；（3）无法移动棋子的一方告败。那么，在棋盘所示的局势下，若先手执左上方的实心棋子，为确保取胜，应该选择向下移动还是向右移动？移动多少格？9．三阶幻方是由九个不同的非零自然数组成的3行3列的九宫格，其中每行、每列及对角线的3个数之和都相等。若两个幻方有一个同行同列格子中的数不同，则称两个幻方不同。如图就是两个不同的三阶幻方。在最大数是11的三阶幻方中，共有多少个互不相同的？详细说明这些幻方。10．时间为15点20分时，时钟上的分针与时针的夹角是度。11．如果，那么S的各位数字的和为。12．如图，在棋盘上放着上下两行各7枚棋子，上面一行都是黑子，下面一行都是白子。允许如下操作：任选两列，交换每列的上下两枚棋子，例如可以交换第2列的上下两枚棋子，同时交换第5列的上下两枚棋子。可以进行任意多次这样的操作。所有操作结束后，上面一行棋子的黑白次序（如“黑黑白白黑白白”）称为一个“状态”。则共有种可能的状态。13．在如图所示的4×4方格网中，任选3个小方格染成黑色，可以得到一个新的4×4的方格网。一个方格网经过旋转或者翻转后得到的方格网视为同一种。则染色后的4×4方格网为轴对称图形的共有种。14．如图，三角形ABC的面积是20平方厘米，ABED是正方形，而ACHI、BCGF均是长方形，AC：AI＝4：3，BC：BF＝5：4，连结ID、FE和GH。则阴影部分的面积是平方厘米。15．志玲有两个装有硬币的储钱罐：猪猪罐和熊猫罐。志玲进行如下硬币调整：第1次：从猪猪罐中取出与熊猫罐中相同数量的硬币，放入熊猫罐；第2次：从熊猫罐中取出与猪猪罐中相同数量的硬币，放入猪猪罐；第3次：从猪猪罐中取出与熊猫罐中相同数量的硬币，放入熊猫罐；……，依此规律交替进行硬币调整。经过10次调整后，猪猪罐和熊猫罐的硬币数相同。则猪猪罐中原先最少有枚硬币。16．对任一非零自然数n，记n!为从1到n的所有自然数的乘积，称为n的阶乘。例如3!＝1×2×3＝6。请问下列数：1!，1!+2!，1!+2!+3!，…，1!+2!+3!+…+2025!中有多少个平方数？说明理由。17．如图，P是正方形ABCD外一点，PB＝16cm，△PAB的面积为48cm2，△PBC的面积为64cm2，求正方形ABCD的面积。18．某次会议共有参会代表54人，分成18个小组，每个小组由3位来自3个不同地区的代表组成.已知这18个小组中，任意7个小组的21个代表中至少有2个代表来自同一个地区，请问全体参会代表最多来自多少个地区？并根据你的结果，列表给出一种分组方案。19．两个正整数a，b（a＜b）满足a4+b4+2a2b2＝2025，则a＝，b＝。20．五个正整数的和等于它们的积，则这五个数之和最小为，最大为。21．对于任意非负实数A，B，定义A⊗B＝（A+B）×（A﹣B），其中等号右边的+、﹣和×是实数通常的加法、减法和乘法运算。对于给定的A，若存在B使得A⊗B＝1，则这样的B是唯一的，称之为A的右逆，记为B＝A﹣1；对于给定的B，总存在A，使得A⊗B＝1，称A为B的左逆，记为A＝﹣1B，对于一个实数A，若右逆A﹣1存在，那么[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]×[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]＝。22．如图，已知D为三角形ABC内一点，过点D作AB的平行线，分别交AC，BC于E，F；又过点D作AC的平行线，分别交AB，CB于G，H；再过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于I，J。已知，S△AIJ＝49，S△BGH＝64，S△CEF＝81，则S△ABC＝。（S△ABC表示△ABC的面积）23．一次数学测验，有6道填空题和3道解答题。每道题只有两种得分，做对得全分，否则得0分。填空题每题15分，解答题每题20分，总分150分。在参加测验的123位同学中，得分相同的同学最少有个。24．把﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4九个数字摆成三行三列，构成一个3×3方阵，使得每一行、每一列上数字之和为0。如果第二行第二列位置放数字0，则共有种摆法；如果第二行第二列位置不放数字0，则共有种摆法。25．已知n是正整数，且n4+n3+n2+n+1是完全平方数，求n。26．如图，ABCD是圆的内接四边形，∠BAD＝50°，P是△ABC内部一点，且∠BAP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD。若AC⊥BD，求∠BPD的度数。27．如图，两个相同的长方形正交得到的十字块内接于圆（两个长方形的8个顶点在圆上），已知圆的半径为r，且，求十字块的最大面积。28．从1，2，…，9这九个数字中，每次取出3个不同的数字组成三位数，则其中能被3整除的所有三位数的和为。29．张阿姨和王阿姨同时到某市场买水果，每人都只买了些樱桃和香梨。已知：（1）樱桃的每千克价格是香梨的4倍；（2）张阿姨买的樱桃和香梨同样重；（3）王阿姨买的水果的总重量比张阿姨买的多1倍；（4）张阿姨和王阿姨买水果花的钱同样多。则王阿姨买的香梨的重量比樱桃的重量多倍。30．一个多项式f（x）＝x3+ax2+bx+c满足f（x2+1）＝x6﹣x4，则a＝，b＝，c＝。31．矩形ABCD的边长AB＝16，BC＝25，E为边BC上的一点，F为线段AE上的一点，FD⊥AE。这样AE与FD将矩形ABCD分割成三块（如图1）。已知这三块可以拼成一个正方形（如图2）。则EF＝。32．一个正整数n使得为整数，则n＝。33．设非负实数x，y，z满足方程组则x最大为，y最大为，z最小为。34．设a为实数，已知方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围。35．如图，正方形ABCD边长为4，F为BC上一点，BF＝1，以AF为斜边在正方形内部作等腰直角三角形AEF，其中∠AEF＝90°，求DE。36．求关于m，n的方程﹣m4+4m2+2nm2+2n+5＝0的所有正整数解。37．在图中，ABCD为梯形，AB∥DC，E，H为腰AD上的点，F，G为腰BC上的点，AB∥EF∥HG。已知，且梯形EFGH的面积为10。则梯形ABCD的面积为。38．对于一个实数a，记[a]为a的“整数部分”，即不超过a的最大整数。已知整数n满足，则n＝。39．如图，O为⊙O'上的任一点，⊙O和⊙O'相交于A，B两点，E为⊙O'的优弧上的一点，OE交⊙O于C，交AB于D，且CD＝1，EC＝2，则OE与OD的比为。40．一个数据库记录了很多人的生日，只记录月日。为了节约存储，采用如下的编码方式：生日编码＝生日日数×12+生日月份数×31例如小军的生日是3月21日，他的生日编码就是21×12+3×31＝345。这样只要3个数字就可以记录一个人的生日。小华的生日编码为359，由此算出他的生日为月日。41．平面上两条直线l，l′交于点O，夹角为40°。设A为平面上异于O的一点，A对l反射所得的点为B（换言之A，B两点关于直线l对称），B对l′反射所得的点为C。则∠ACO＝°。42．设实数x，y满足x3+x﹣2003＝0，y6+3y4+4y2﹣2001＝0，则x﹣y2＝。43．已知a，b是实数，若x2+x﹣1是ax3﹣bx2﹣1的因式，则a＝，b＝。44．已知a，b，c，d均为实数，且a+b+c+d＝12，a2+b2+c2+d2＝48。则a的最大值是。45．一个正方形被分成100个较小的正方形，其中恰有99个是边长为1的正方形。则原正方形的面积的最小值为。

2025年华数国际青少年科创大会数学试卷参考答案与试题解析1．甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶60千米；5个小时后甲车遇到从B地开往A地的丙车；又过了1小时，乙车遇到丙车。则丙车每小时行驶40千米。【分析】甲车与丙车相遇时，甲与乙之间的路程差是（80﹣60）×5＝100（千米），乙车与丙车1小时的路程是100千米，那么它们的速度和是每小时行驶100÷1＝100（千米），则丙车每小时行驶100﹣60＝40（千米）。【解答】解：甲车与丙车相遇时，甲与乙之间的路程差：（80﹣60）×5＝100（千米），乙车与丙车的速度和是每小时行驶：100÷1＝100（千米），丙车每小时行驶：100﹣60＝40（千米）。答：丙车每小时行驶40千米。故答案为：40。【点评】解此题的关键是明白：如何求出乙车与丙车的速度和。2．对一个十进制非零自然数，执行如下的操作：取这个数的个位数的平方，把得到的平方数直接写在原来自然数的后面，例如20变为200。对一个非零自然数执行2025次这样的操作，则最后得到的自然数的个位数字有4种可能。【分析】每次操作是把当前数的个位数字的平方写在后面，因此新的个位数字等于原个位数字的平方的个位数字，非零自然数个位数字是0～9共计10个数字，利用列表法分析0～9操作2025次后的个位数字即可解答本题。【解答】解：0：02＝0→02＝0→个位始终为0，1：12＝1→12＝1→个位始终为1，2：22＝4→42＝16→62＝36→62＝36→后续个位始终为6，3：32＝9→92＝81→12＝1→12＝1→后续个位始终为1，4：42＝16→62＝36→62＝36→后续个位始终为6；5：52＝25→52＝25→个位始终为5，6：62＝36→62＝36→个位始终为6，7：72＝49→92＝81→12＝1→12＝1→后续个位始终为1，8：82＝64→42＝16→62＝36→62＝36→后续个位始终为6，9：92＝81→12＝1→12＝1→后续个位始终为1。如下表所示：即最终可能的个位数字就是0、1、5、6，一共4种。答：最后得到的自然数的个位数字有4种可能。故答案为：4。【点评】本题考查完全平方数的性质，明确题意不难解答本题。3．一次测试中全班44位同学的成绩情况如表：成绩处于0～60分之间人数成绩处于61～85分之间人数成绩处于86～100分之间人数语文101420数学82115已知有12位同学的语文与数学成绩都处于86～100分之间，则最少有3位同学的语文与数学成绩都处于61～85分之间。【分析】语文：60分及以下10人，61～85分14人，86～100分20人，合计10+14+20＝44（人）；数学：60分及以下8人，61～85分21人，86～100分15人，合计8+21+15＝44（人）。已知语文与数学成绩都处于86～100分之间的有12人，则仅语文86～100分的人数：20﹣12＝8（人），仅数学86～100分的人数15﹣12＝3（人），语文非86～100分（即60分及以下+61～85分）：44﹣20＝24（人），数学非86～100分（即60分及以下+61～85分）：44﹣15＝29（人），全班总人数44人，减去86～100分相关的人数（仅语文86～100分8人+仅数学86～100分3人+都86～100分12人），得到“非86～100分”的总人数44﹣（8+3+12）＝21（人）。语文60分及以下10人，数学60分及以下8人，设语文60分及以下与数学60分及以下的重叠人数为a（a最大为8，因为数学60分及以下只有8人）。所以“仅语文60分及以下“的人数（10﹣a）人，“仅数学60分及以下”的人数（8﹣a）人，“语文与数学都60分及以下”的人数a人。“非86～100分”的总人数为（10﹣a）+（8﹣a）+a+都61～85分人数＝21，化简得18﹣a+都61～85分人数＝21，即都61～85分人数＝3+a，要让“都61～85分人数”最少，需让a最小。a最小为10+8﹣24（容斥原理），a不能为负，所以a最小为0。据此即可求出a的值，即所求。【解答】解：因为语文与数学成绩都处于86～100分之间的有12人，所以：仅语文86～100分的人数：20﹣12＝8（人），仅数学86～100分的人数15﹣12＝3（人），又因为总人数是44人，所以“非86～100分”的总人数44﹣（8+3+12）＝21（人）。设语文60分及以下与数学60分及以下的重叠人数为a，语文和数学都61～85分人数为b，所以：（10﹣a）+（8﹣a）+a+b＝21，即18﹣a+b＝21，即b＝3+a，要让b最少，需让a最小。a最小为10+8﹣24（容斥原理），又a不能为负，所以a最小为0。此时b＝3+a＝3+0＝3（人）。答：最少有3位同学的语文与数学成绩都处于61～85分之间。故答案为：3。【点评】本题考查了最值问题的应用，熟练掌握容斥原理是解题的关键。4．把一堆桃子分给四个人，每人至少分到一个。甲说：“我分到的个数比总个数的少10个”；乙说：“我分到的个数是某人的2倍”；丙说：“我分到了10个”；丁说：“我分到的个数等于另外两人分到的个数的和”。已知这四个人说的都对，则这堆桃子共有100个。【分析】设总桃子数为x，甲分到x﹣10，乙分到y，丙分到10个，丁分到z个。则x﹣10+y+10+z＝x，化简得y+z＝x，丁的数量等于另外两人之和，分三种情况尝试，求出符合题意的x即可解答本题。【解答】解：设总桃子数为x，甲分到x﹣10，乙分到y，丙分到10个，丁分到z个。则：x﹣10+y+10+z＝x，即y+z＝x，因为丁的数量等于另外两人之和，分三种情况尝试：丁＝甲+丙，即z＝x﹣10+10＝x，把z＝x代入y+z＝x，即y＝0（不符合每人至少1个）；丁＝乙+丙，即z＝y+10，代入y+z＝x，得2y+10＝x，丁＝甲+乙，即z＝x﹣10+y，代入y+z＝x，得y＝5（不满足“乙是某人2倍”）。乙的条件：乙＝2×某人，取乙＝2×丙＝2×10＝20，即甲＝x﹣10，乙＝y＝20，丙＝10，丁＝z＝乙+丙＝20+10＝30，又y+z＝x，即20+30＝50＝x，即x＝100。所以甲＝40，乙＝20，丙＝10，丁＝30。符合甲、乙、丙、丁四人每句话都正确。答：这堆桃子共有100个。故答案为：100。【点评】本题考查了逻辑推理问题的应用，明确题意不难解答本题。5．如图，正方形ABCD与长方形BEFG放在一起，C在BG上，正方形ABCD的边长为4，长方形BEFG的长、宽分别为6、5。连结AC，EC，AF，则图中阴影部分的面积为10。【分析】因为BG∥EF，则BH：EF＝AB：AE，由此计算BH，阴影部分的面积等于三角形ACE的面积减去三角形AHE的面积，由此解答本题。【解答】解：因为BG∥EF，则BH：EF＝AB：AE，已知正方形ABCD的边长为4，长方形BEFG的长、宽分别为6、5，则BH＝＝2，阴影部分的面积：（4+6）×4÷2﹣（4+6）×2÷2＝20﹣10＝10。故答案为：10。【点评】本题考查的是三角形的面积的应用，解决本题的关键是阴影部分的面积等于三角形ACE的面积减去三角形AHE的面积。6．从1，2，3，……，99，100这100个自然数中，取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，不计两数的先后次序，一共有1650种取法。【分析】先计算1到100除以3的余数是0、1、2的数的个数，然后找出余数是1、余数是2的组合数，由此解答本题。【解答】解：100÷3＝33（个）……1（个），余数是0的数有33个，余数是1的数：1、4、7……、100，有34个，余数是2的数：2、5、8……、98，有33个，一共有：33×32÷2+34×33＝528+1122＝1650（种）。答：一共有1650种取法。【点评】本题考查的是因数和倍数的应用，本题通过排列组合去解答。7．四个非零自然数的和等于它们的积，求这四个数.并说明理由。【分析】设四个非零自然数为a、b、c、d，且a≤b≤c≤d，则a+b+c+d＝abcd，a最小是1，b最小是1，由此解答本题。【解答】解：设四个非零自然数为a、b、c、d，且a≤b≤c≤d，则a+b+c+d＝abcd，a最小是1，则1+b+c+d＝bcd，b最小是1，则1+1+c+d＝cd，化简得：cd﹣c﹣d＝2，则（c﹣1）（d﹣1）＝3，因为c≤d，c、d为非零自然数，1×3＝3，所以c﹣1＝1、d﹣1＝3或c﹣1＝3、d﹣1＝1，则c＝2、d＝4或c＝4、d＝2（不符合要求），1+1+2+4＝1×1×2×4＝8。答：这四个数是1、1、2、4。【点评】本题考查的是数字问题的应用，本题通过枚举法去解答。8．如图是一款棋类游戏的棋盘，游戏双方各执一子并在棋盘内轮流移动自己的棋子。规定：（1）每次只能选择横向移动若干格或纵向移动若干格，但不能越过对方棋子所在的列或行；（2）移动后不能使自己的棋子与对方棋子处于同一行或同一列；（3）无法移动棋子的一方告败。那么，在棋盘所示的局势下，若先手执左上方的实心棋子，为确保取胜，应该选择向下移动还是向右移动？移动多少格？【分析】棋盘从左往右依次为1～4列，由下往上依次为1～6行；先手必胜策略：第1手占据第1列第2行，之后不管对手占据第2列第1行，还是第3列第1行，实心棋子一方都可“一招制胜”，据此作答。【解答】解：用数对表示棋局进程如下：第一轮：实心棋子占据（1，2），对手只有（2，1）、（3，1）两种选择，如果对手选择（2，1）；第二轮：实心棋子占据（3，2），此时对手只有（1，1）一种选择；第三轮：实心棋子占据（2，2）获胜。或者：第一轮：实心棋子占据（1，2），对手只有（2，1）、（3，1）两种选择，如果对手选择（3，1）；第二轮：实心棋子占据（2，2），此时对手只有（3，3）一种选择；第三轮：实心棋子占据（3，2）获胜。答：应该选择向下移动，移动4格。【点评】本题考查了最佳对策问题，解题关键是要采取尽可能“压缩”对手活动区域的策略：向下极致就是占据（1，2）此时对手只剩下两种选择；向右极致则为占据（3，6），此时对手则留有4种选择，甚至反遭对手占据（4，5）反杀。9．三阶幻方是由九个不同的非零自然数组成的3行3列的九宫格，其中每行、每列及对角线的3个数之和都相等。若两个幻方有一个同行同列格子中的数不同，则称两个幻方不同。如图就是两个不同的三阶幻方。在最大数是11的三阶幻方中，共有多少个互不相同的？详细说明这些幻方。【分析】三阶幻方幻和等于中间数的3倍，9个数的和等于中间数的（3×3）倍，设中间数是M，结合最大数是11限定总和范围，计算中间数M，然后构造符合要求的幻方。【解答】解：设三阶幻方中间数是M，则三阶幻方幻和为3M，9个数的和：3×3×M＝9M，最大数是11，则9个数的和范围：1+2+……+8+11≤9M≤3+4+……+10+11，则47≤9M≤63，所以M＝7，符合要求的幻方：，共有8个互不相同的。【点评】本题考查的是幻方的应用，解决本题的关键是计算中间数。10．时间为15点20分时，时钟上的分针与时针的夹角是20度。【分析】分针每分钟转6°，时针每小时转30°、每分钟转0.5°，15点（3点）时，时针指向3，分针指向12；20分钟后，分针指向4，时针会从3向4转动，用两者转动后的位置差，即可算出夹角。【解答】解：计算分针20分钟转动的角度：分针每分钟转6°，20×6°＝120°（指向数字4），计算时针20分钟转动的角度：时针每分钟转0.5°，20×0.5°＝10°，15点时，时针指向3（对应90°），20分钟后时针位置：90°+10°＝100°，计算夹角：120°﹣100°＝20°。答：15点20分时，分针与时针的夹角是20度。故答案为：20。【点评】本题考查时钟夹角计算，关键是掌握时针和分针的转动速度，明确“时针会随分针转动而移动”。11．如果，那么S的各位数字的和为20252。【分析】11×11＝121，各位数字的和：1+1+2＝4＝22，111×111＝12321，各位数字的和：1+2+3+1+2＝9＝32，1111×1111＝1234321，各位数字的和：1+2+3+4+3+1+2＝16＝42，×的各位数字和是n2，由此解答本题。【解答】解：11×11＝121，各位数字的和：1+1+2＝4＝22，111×111＝12321，各位数字的和：1+2+3+1+2＝9＝32，1111×1111＝1234321，各位数字的和：1+2+3+4+3+1+2＝16＝42，×的各位数字和是n2，，则S的各位数字的和是20252。故答案为：20252。【点评】本题考查的是数字问题的应用，解决本题的关键是找出题中规律。12．如图，在棋盘上放着上下两行各7枚棋子，上面一行都是黑子，下面一行都是白子。允许如下操作：任选两列，交换每列的上下两枚棋子，例如可以交换第2列的上下两枚棋子，同时交换第5列的上下两枚棋子。可以进行任意多次这样的操作。所有操作结束后，上面一行棋子的黑白次序（如“黑黑白白黑白白”）称为一个“状态”。则共有64种可能的状态。【分析】每次操作是“任选两列，交换这两列的上下两枚棋子”，等价于对任意一列，可以选择翻转它（上黑下白→上白下黑）或不翻转；任意多次操作后，最终状态只取决于哪些列被翻转过，而与操作顺序无关。初始时，上面一行全是黑子（7个黑，0个白）。每翻转一列，上面一行的黑子数就会减1（黑变白）或加1（白变黑）。因此，上面一行的黑子数量可以是：7.5.3，1（因为每次翻转改变奇偶性，从7开始，只能得到奇数个黑子），计算每种黑子数对应的状态数即可解答本题。【解答】解：对于上面一行有k个黑子的情况，状态数等于从7个位置中选k个放黑子的组合数C（7，k）。7个黑子：＝1（种），5个黑子：＝21（种），3个黑子：＝35（种），1个黑子：＝7（种），所有可能的状态数：1+21+35+7＝64（种）。答：共有64种可能的状态。故答案为：64。【点评】本题考查了构造型问题的应用，明确题意是解答本题的关键。13．在如图所示的4×4方格网中，任选3个小方格染成黑色，可以得到一个新的4×4的方格网。一个方格网经过旋转或者翻转后得到的方格网视为同一种。则染色后的4×4方格网为轴对称图形的共有14种。【分析】4×4方格网中，对称轴分水平/竖直中线、主/副对角线四类，但因染3个黑格（奇数），存在核心约束：水平/竖直中线：轴不在方格上，无方格能落在轴上，黑格需成对对称出现，无法满足“3个（奇数）黑格”的总数要求，此类对称轴无有效染色。主/副对角线：轴经过方格（如（1，1）、（2，2）等），存在“轴上方格”，可满足“1个轴上黑格+1对对称黑格”或“3个轴上黑格”的奇数总数要求，仅此类对称轴有效。据此解答即可。【解答】解：以主对角线为例（副对角线对称，模式数相同）：情况1：1个轴上黑格+1对对称黑格：轴上有4个方格，选1个：＝4（种），非轴上有6对对称方格（如（1，2）与（2，1）），选1对：＝6（种），小计：4×6＝24（种）；情况2：3个轴上黑格：轴上4个方格选3个：＝4（种），小计：4种；主对角线种数：24+4＝28（种）。主、副对角线总种数：28×2＝56（种）。因3黑格无法同时关于两条对角线对称，即主、副对角线模式无重叠。主对角线的染色模式，旋转90°后会转化为副对角线的染色模式，二者属于同一等价类，每个等价类包含2个主对角线模式+2个副对角线模式（共4个模式），无重复无遗漏，等价类数量：56÷4＝14（种）。所有等价类均对应“至少有一条对角线对称轴“的轴对称图形，且无重复计数，因此满足条件的轴对称图形数量为14种。答：染色后的4×4方格网为轴对称图形的共有14种。故答案为：14。【点评】本题是一道关于组合图形对称性的计数问题，解题关键在于按照一定规律找出所有满足3个小方格染色且方格网为轴对称图形的情况。14．如图，三角形ABC的面积是20平方厘米，ABED是正方形，而ACHI、BCGF均是长方形，AC：AI＝4：3，BC：BF＝5：4，连结ID、FE和GH。则阴影部分的面积是43平方厘米。【分析】如下图所示：根据三角形面积的正弦表达式，即S△ABC＝absinC，结合互补的两个角（和为180°）的正弦值相等以及图示边与边的关系即可求出三个阴影三角形面积和三角形ABC面积的关系，进而求出三个阴影三角形的面积，最后求和即可解答本题。【解答】解：题干图示不清晰，重新绘图如下所示：因为ABED是正方形，ACHI是长方形，所以∠BAD＝∠CAI＝90°，所以∠DAI+∠DAI＝360°﹣90°×2＝180°，所以sin∠BAC＝sin∠DAI，因为S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC，S△ADI＝AD•AI•sin∠DAI，所以＝＝＝•因为ABED是正方形，所以AB＝AD，因为AC：AI＝4：3所以＝1，＝，所以＝•＝1×＝，而S△ABC＝20cm2，所以S△ADI＝S△ABC＝×20＝15（cm2）。因为ABED是正方形，BCGF是长方形，所以∠ABE＝∠CBF＝90°，所以∠EBF+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°，所以sin∠EBF＝sin∠ABC，因为S△ABC＝BA•BC•sin∠ABC，S△BEF＝BE•BF•sin∠EBF，所以＝＝＝•，因为ABED是正方形，所以BA＝BE，因为BC：BF＝5：4，所以＝1，＝，所以＝•＝1×＝，而S△ABC＝20cm2，所以S△BEF＝S△ABC＝×20＝16（cm2）。因为ACHI、BCGF均是长方形，所以∠BCG＝∠ACH＝90°，所以∠ACB+∠GCH＝360°﹣90°×2＝180°，所以sin∠ACB＝sin∠GCH，因为S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB，S△CGH＝CG•CH•sin∠GCH，所以＝＝＝•，因为ACHI、BCGF均是长方形，所以AI＝CH，BF＝CG，又因为AC：AI＝4：3，BC：BF＝5：4，AC：AI＝CA：CH＝4：3，BC：BF＝CB：CG＝5：4，所以＝，＝，所以＝•＝×＝，而S△ABC＝20cm2，所以S△CGH＝S△ABC＝×20＝12（cm2），S阴影＝S△ADI+S△BEF+S△CGH＝15+16+12＝43（cm2）。答：阴影部分的面积是43平方厘米。故答案为：43。【点评】明确若两个三角形夹角互补（和为180），则它们的面积比等于对应邻边的比例，这是解答本题的关键。15．志玲有两个装有硬币的储钱罐：猪猪罐和熊猫罐。志玲进行如下硬币调整：第1次：从猪猪罐中取出与熊猫罐中相同数量的硬币，放入熊猫罐；第2次：从熊猫罐中取出与猪猪罐中相同数量的硬币，放入猪猪罐；第3次：从猪猪罐中取出与熊猫罐中相同数量的硬币，放入熊猫罐；……，依此规律交替进行硬币调整。经过10次调整后，猪猪罐和熊猫罐的硬币数相同。则猪猪罐中原先最少有1365枚硬币。【分析】采用倒推法，从第10次调整后的状态反向推导初始状态，设每次调整后两罐硬币数为整数，通过逐步倒推找到初始时猪猪罐的最小正整数解。【解答】解：设第10次调整后，猪猪罐和熊猫罐各有2a枚硬币（a为正整数）。①第10次调整（偶次：熊猫罐→猪猪罐）：设第9次调整后，猪猪罐有x枚，熊猫罐有y枚，操作后：猪猪罐x+x＝2x＝2a，熊猫罐y﹣x＝2a，解得：x＝a，y＝3a；②第9次调整（奇次：猪猪罐→熊猫罐）：设第8次调整后，猪猪罐有m枚，熊猫罐有n枚，操作后：猪猪罐m﹣n＝a，熊猫罐n+n＝2n＝3a，解得：n＝a，m＝a；③第8次调整（偶次：熊猫罐→猪猪罐）：设第7次调整后，猪猪罐有p枚，熊猫罐有q枚，操作后：猪猪罐p+p＝2p＝a，熊猫罐q﹣p＝a，解得：p＝a，q＝a；④第7次调整（奇次：猪猪罐→熊猫罐）：设第6次调整后，猪猪罐有r枚，熊猫罐有s枚，操作后：猪猪罐r﹣s＝a，熊猫罐s+s＝2s＝a，解得：s＝a，r＝a；⑤第6次调整（偶次：熊猫罐→猪猪罐）：设第5次调整后，猪猪罐有u枚，熊猫罐有v枚，操作后：猪猪罐u+u＝2u＝a，熊猫罐v﹣u＝a，解得：u＝a，v＝a；⑥第5次调整（奇次：猪猪罐→熊猫罐）：设第4次调整后，猪猪罐有w枚，熊猫罐有z枚，操作后：猪猪罐w﹣z＝a，熊猫罐z+z＝2z＝a，解得；z＝a，w＝a；⑦第4次调整（偶次：熊猫罐→猪猪罐）：设第3次调整后，猪猪罐有k枚，熊猫罐有l枚，操作后：猪猪罐k+k＝2k＝a，熊猫罐l﹣k＝a，解得：k＝a，l＝a；⑧第3次调整（奇次：猪猪罐→熊猫罐）：设第2次调整后，猪猪罐有c枚，熊猫罐有d枚，操作后：猪猪罐c﹣d＝a，熊猫罐d+d＝2d＝a，解得：c＝a，d＝a；⑨第2次调整（偶次：熊猫罐→猪猪罐）：设第1次调整后，猪猪罐有e枚，熊猫罐有f枚。操作后：猪猪罐e+e＝2e＝a，熊猫罐f﹣e＝a，解得：e＝a，f＝a；⑩第1次调整（奇次：猪猪罐→熊猫罐）：设初始时，猪猪罐有g枚，熊猫罐有h枚。操作后：猪猪罐g﹣h＝a，熊猫罐h+h＝2h＝a，解得：h＝a，g＝a。为使g，h为正整数，a取最小的512的倍数，即a＝512。此时g＝1365，h＝683。即猪猪罐中原先最少有1365枚硬币。答：猪猪罐中原先最少有1365枚硬币。故答案为：1365。【点评】本题考查了最值问题的应用，解答本题的关键是从第10次调整后的状态反向推导初始状态。16．对任一非零自然数n，记n!为从1到n的所有自然数的乘积，称为n的阶乘。例如3!＝1×2×3＝6。请问下列数：1!，1!+2!，1!+2!+3!，…，1!+2!+3!+…+2025!中有多少个平方数？说明理由。【分析】1!+2!+3!+4!＝33，1!+2!+3!+4!+5!＝153，当n≥5时，n!的个位数是0（因为包含因子2和5），即当n≥5时，Sn＝1!+2!+3!+4!+5!+……+n!的个位数由前4项和决定，即从n≥4开始，1!+2!+3!+…+2025!的个位数字一定是3，而平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，没有3，即只需验证n≤3的时候平方数的个数即可解答本题。【解答】解：1!＝1，1是完全平方数，1!+2!＝1+2＝3，3不是完全平方数，1!+2!+3!＝1+2+6＝9，9是完全平方数，1!+2!+3!+4!＝1+2+6+24＝33，33不是完全平方数，1!+2!+3!+4!+5!＝1+2+6+24+120＝153，153不是完全平方数，……当n≥5时，n!的个位数是0（因为包含因子2和5），所以当n≥5时，Sn＝1!+2!+3!+4!+5!+……+n!的个位数由前4项和决定：1!+2!+3!+4!＝1+2+6+24＝33，个位数是3，加上5!，6!，……这些个位为0的数，总和的个位数仍然是3。因此，当n≥4时，Sn的个位是3，不可能是平方数。即只有n＝1和n＝3时，Sn是平方数。所以这些数中平方数的个数是2个。理由：当n≥4时，和数的个位是3，而平方数的个位不可能是3，因此只有1!＝1和1!+2!+3!＝9是平方数。答：1!，1!+2!，1!+2!+3!，…，1!+2!+3!+…+2025!中有2个平方数，理由是当n≥4时，和数的个位是3，而平方数的个位不可能是3，因此只有1!＝1和1!+2!+3!＝9是平方数。【点评】明确完全平方数的个位数字是解答本题的关键。17．如图，P是正方形ABCD外一点，PB＝16cm，△PAB的面积为48cm2，△PBC的面积为64cm2，求正方形ABCD的面积。【分析】过P作PE⊥CB，交CB延长线于E，如图：，设正方形ABCD的边长是x厘米，利用三角形的面积公式计算PE、BE，利用勾股定理计算正方形ABCD的边长，然后计算正方形的面积。【解答】解：过P作PE⊥CB，交CB延长线于E，如图：，已知△PAB的面积为48平方厘米，△PBC的面积为64平方厘米，则PE＝64×2÷x＝（厘米），BE＝48×2÷x＝（厘米），已知PB＝16厘米，由勾股定理可知：，解得：x＝10，则正方形ABCD的面积。10×10＝100（平方厘米）。答：正方形ABCD的面积是100平方厘米。【点评】本题考查的是三角形的面积的应用，解决本题的关键是掌握三角形、正方形的面积公式以及勾股定理。18．某次会议共有参会代表54人，分成18个小组，每个小组由3位来自3个不同地区的代表组成.已知这18个小组中，任意7个小组的21个代表中至少有2个代表来自同一个地区，请问全体参会代表最多来自多少个地区？并根据你的结果，列表给出一种分组方案。【分析】题目中“任意7个小组的21个代表中至少有2个来自同一地区”，等价于不存在7个小组，它们的地区集合完全互不相交（否则21人会来自21个不同地区，违反条件）。若地区数m≥21，则可以构造7个互不相交的三元组（每组3个不同地区，组间无重复地区），此时这7组的21人来自21个不同地区，与条件矛盾。因此m≤20。然后验证m＝20是否可行即可。【解答】解：若地区数m≥21，则可以构造7个互不相交的三元组（每组3个不同地区，组间无重复地区），此时这7组的21人来自21个不同地区，与条件矛盾，因此m≤20。当m＝20时，总出现次数为18×3＝54，可安排14个地区各出现3次，6个地区各出现2次：14×3+6×2＝54，满足总人数要求，且能通过分组设计确保任意7组必有重复地区。综上，全体参会代表最多来自20个地区。分组方案如下图所示：答：全体参会代表最多来自20个地区。【点评】本题考查了最值问题的应用，明确题意不难解答本题。19．两个正整数a，b（a＜b）满足a4+b4+2a2b2＝2025，则a＝3，b＝6。【分析】a4+b4+2a2b2＝（a2+b2）2＝2025＝452，即a2+b2＝45，因为72＝49，所以a，b是小于7的正整数，尝试a＝1～6，求出b，再根据a＜b即可解答本题。【解答】解：因为a4+b4+2a2b2＝2025，所以（a2+b2）2＝452，即a2+b2＝45，当a＝1时，b2＝45﹣a2＝45﹣12＝45﹣1＝44，44不是完全平方数，b无解；当a＝2时，b2＝45﹣a2＝45﹣22＝45﹣4＝41，41不是完全平方数，b无解；当a＝3时，b2＝45﹣a2＝45﹣32＝45﹣9＝36，36不是完全平方数，b＝6，符合a＜b；当a＝4时，b2＝45﹣a2＝45﹣42＝45﹣16＝29，29不是完全平方数，b无解；当a＝5时，b2＝45﹣a2＝45﹣52＝45﹣25＝20，20不是完全平方数，b无解；当a＝6时，b2＝45﹣a2＝45﹣62＝45﹣36＝9，9是完全平方数，b＝3，不符合a＜b。综上，只有当a＝3，b＝6时（a＜b）满足a4+b4+2a2b2＝2025。答：两个正整数a，b（a＜b）满足a4+b4+2a2b2＝2025，则a＝3，b＝6。故答案为：3，6。【点评】解答本题的关键是数量掌握完全平方公式，即（a+b）2＝a2+2ab+b2。20．五个正整数的和等于它们的积，则这五个数之和最小为8，最大为10。【分析】由于数越大乘积的增长远快于和的增长，所以这五个数之中必须包含多个1，才能使和与乘积相等，因此我们从包含多个1的情况开始枚举，找到满足“和＝积”的组合即可。【解答】解：‌‌（1，1，2，2，2）‌：和＝1+1+2+2+2＝8，积＝1×1×2×2×2＝8，即1+1+2+2+2＝1×1×2×2×2＝8。‌（1，1，1，3，3）‌：和＝1+1+1+3+3＝9，积＝1×1×1×3×3＝9，即1+1+1+3+3＝1×1×1×3×3＝9。（1，1，1，2，5）‌：和＝1+1+1+2+5＝10，积＝1×1×1×2×5＝10‌，即1+1+1+2+5＝1×1×1×2×5＝10‌。答：五个正整数的和等于它们的积，则这五个数之和最小为8，最大为10。故答案为：8；10。【点评】本题考查了极值问题的灵活运用。21．对于任意非负实数A，B，定义A⊗B＝（A+B）×（A﹣B），其中等号右边的+、﹣和×是实数通常的加法、减法和乘法运算。对于给定的A，若存在B使得A⊗B＝1，则这样的B是唯一的，称之为A的右逆，记为B＝A﹣1；对于给定的B，总存在A，使得A⊗B＝1，称A为B的左逆，记为A＝﹣1B，对于一个实数A，若右逆A﹣1存在，那么[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]×[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]＝3。【分析】根据左逆和右逆分别设﹣1A＝m，A﹣1＝n，﹣1（﹣1A⊗A﹣1）＝p，即可轻松解题。【解答】解：定义A⊗B＝（A+B）×（A﹣B）＝A2﹣B2，令﹣1A＝m，即有m2﹣A2＝1①，令A﹣1＝n，则有A2﹣n2＝1②，令﹣1（﹣1A⊗A﹣1）＝p，则有p2﹣（m2﹣n2）＝1，那么[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]×[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]＝p2，①+②得：m2﹣A2+A2﹣n2＝2，即m2﹣n2＝2，那么p2＝1+2＝3，即[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]×[﹣1（﹣1A⊗A﹣1）]＝3，故答案为：3。【点评】此题关键是要搞清楚什么是左逆，什么是右逆。计算过程其实很简单。22．如图，已知D为三角形ABC内一点，过点D作AB的平行线，分别交AC，BC于E，F；又过点D作AC的平行线，分别交AB，CB于G，H；再过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于I，J。已知，S△AIJ＝49，S△BGH＝64，S△CEF＝81，则S△ABC＝576。（S△ABC表示△ABC的面积）【分析】在三角形内任取一点D，作三边的平行线，形成三个小三角形，它们的面积平方根之和等于原三角形对应边方向“缩放比例”之和。即几何结论为：若在△ABC内任取一点D，过D分别作三边的平行线，形成三个与原三角形相似的小三角形，其面积分别为S1，S2，S3，则原三角形面积S△ABC＝（++）2，这个结论的推导基于相似三角形比例关系和线段分割比例相加为1的性质，可以直接用来求三角形ABC的面积。据此解答。【解答】解：S△ABC＝（++）2＝（++）2＝（7+8+9）2＝242＝576。答：S△ABC＝576。故答案为：576。【点评】熟练掌握求该三角形面积的几何结论是解题的关键。23．一次数学测验，有6道填空题和3道解答题。每道题只有两种得分，做对得全分，否则得0分。填空题每题15分，解答题每题20分，总分150分。在参加测验的123位同学中，得分相同的同学最少有5个。【分析】共有3道解答题，根据解答题做对0、1、2、3道，列举出所有的得分情况数，即抽屉数，然后根据抽屉原理解答即可。【解答】解：如果解答题做对0道，总得分：0、15、30、45、60、75、90，共7种；如果解答题做对1道，总得分：20、35、50、65、80、95、110，共7种；如果解答题做对2道，总得分：40、55、70、85、100、115、130，共7种；如果解答题做对3道，总得分：60、75、90、105、120、135、150，共7种；其中60、75、90这3种得分重复，所以共有7×4﹣3＝25（种）得分情况；123÷25＝4（个）……23（个），4+1＝5（个）。答：在参加测验的123位同学中，得分相同的同学最少有5个。故答案为：5。【点评】关键问题：构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。24．把﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4九个数字摆成三行三列，构成一个3×3方阵，使得每一行、每一列上数字之和为0。如果第二行第二列位置放数字0，则共有48种摆法；如果第二行第二列位置不放数字0，则共有0种摆法。【分析】如下图所示，满足每行、每列和为0，数字无重复。中心放0（e＝0）：①核心约束：由e＝0得f＝﹣d、h＝﹣b，第一行a+b+c＝0，剩余位置由a，b，d唯一确定（c＝﹣a﹣b、g＝﹣a﹣d、i＝a+b+d）；②有效组合：第一行需选3个非零数，满足“一个数的绝对值＝另外两个数的绝对值之和”，共4组有效三元组（如{1，2，﹣3}、{1，3，﹣4}等）；③计数：每组三元组有3!＝6种排列，剩余1对相反数给d有2种选择，总摆法数：4×6×2＝48；中心不放0（e≠0）：①反证法：假设e≠0，由第二行和d+f＝﹣e、第二列和b+h＝﹣e，将所有列和相加化简得e＝0，与假设矛盾。②结论：无可行摆法，摆法数为0。据此解答。【解答】解：设3×3方阵为：满足每行和为0：a+b+c＝0，d+e+f＝0，g+h+i＝0，每列和为0：a+d+g＝0，b+e+h＝0，c+f+i＝0，数字集合S＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，所有数字无重复、无遗漏。第二行第二列放0（e＝0）的摆法数：推导方阵的约束关系：由e＝0，结合行、列、和条件，得强制对称/推导关系：①第二行和：d+0+f＝0→f＝﹣d，②第二列和：b+0+h＝0→h＝﹣b，③第一行和：a+b+c＝0→c＝﹣a﹣b，④第一列和：a+d+g＝0→g＝﹣a﹣d，⑤第三行和：g+h+i＝0，代入g＝﹣a﹣d、h＝﹣b，得：i＝a+b+d，⑥第三列和：c+f+i＝0（代入以上结果后恒成立，无额外约束）。因此，方阵由a，b，d唯一确定，剩余位置由上述关系推导，且a，b，d需满足：a，b，d，﹣a﹣b，﹣d，﹣a﹣d，﹣b，a+b+d为S中8个不同非零数。第一行a+b+c＝0，且a，b，c为绝对值互不相同的非零数，需满足一个数的绝对值＝另外两个数的绝对值之和，枚举得4组有效三元组（无序）：（1，2，﹣3}、{1，3，﹣4}、{﹣1，﹣2，3}、{﹣1，﹣3，4}，对每组有效三元组，计数规则如下：三元组排列：每组3个数在第一行有3!种排列方式，即6种，剩余数选择：每组三元组用去3对相反数，剩余1对相反数（2个数），d可取其中任意1个，共2种选择，总摆法数：4×3!×2＝48（种）。第二行第二列不放0（e≠0）的摆法数，利用反证法证明无可行摆法：假设e≠0，则e∈S≠{0}＝{±1，±2，±3，±4}，0位于非中心位置。由行列和条件：第二行和：d+e+f＝0→d+f＝﹣e，第二列和：b+e+h＝0→b+h＝﹣e，将所有列和相加：（a+d+g）+（b+e+h）+（c+f+i）＝0，代入d+f＝﹣e、b+h＝﹣e，并结合行和a+b+c＝0、g+h+i＝0，化简得：0+e+0＝0→e＝0，与假设e≠0矛盾，故不存在满足条件的方阵。即摆法数为0。答：如果第二行第二列位置放数字0，则共有48种摆法；如果第二行第二列位置不放数字0，则共有0种摆法。故答案为：48，0。【点评】本题考查了幻方的填法，明确幻方的填法规则是解题的关键。25．已知n是正整数，且n4+n3+n2+n+1是完全平方数，求n。【分析】通过不等式放缩法来分析解答，已知n4+n3+n2+n+1是完全平方数，先把它和相邻的平方数比较，再尝试n的取值即可解答本题。【解答】解：因为（n2+）2＝n4+n3+，显然n4+n3+＜n4+n3+n2+n+1，因为（n2++1）2＝n4+n3++n+1，显然n4+n3+n2+n+1＜（n2++1）2，所以n4+n3+＜n4+n3+n2+n+1＜（n2++1）2，即（n2+）2＜n4+n3+n2+n+1＜（n2++1）2，因为n是正整数，n2+n当n为偶数时是整数，当n为奇数时是半整数，若n为偶数，设n＝2k，则：（2k2+k）2＜16k4+8k3+4k2+2k+1＜（2k2+k+1）2，此时中间的数介于两个相邻整数平方之间，不可能是完全平方数；若n为奇数，设n＝2k+1，则：n2+＝（2k+1）2+＝4k2+4k+1+k+＝4k2+5k+，n2++1＝（2k+1）2++1＝4k2+4k+1+k++1＝4k2+5k+，中间的数需要是整数平方，只能尝试小的正整数：当n＝1时：14+13+12+1+1＝5（不是平方数）；当n＝3时：34+33+32+3+1＝81+27+9+3+1＝121＝112（是平方数）；当n＞3时，n4+n3+n2+n+1会严格介于（n2+）2和（n2++1）2之间，无法成为整数平方。即n＝3。答：已知n是正整数，且n4+n3+n2+n+1是完全平方数，则n是3。【点评】明确完全平方数的性质以及求出算式平方数的边界是解答本题的关键。26．如图，ABCD是圆的内接四边形，∠BAD＝50°，P是△ABC内部一点，且∠BAP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD。若AC⊥BD，求∠BPD的度数。【分析】先延长AP，过P点作FG∥DB，再证明出P是圆心，即可解题。【解答】解：延长AP，与圆的交点为E，连接EB，过P点作FG∥DB，如图：∵弦AB所对的圆周角相等，∴∠ADB＝∠AEB，令∠BAP＝∠CAD＝x，∵AC⊥BD，∴∠ADB＝90°﹣x，∴∠ADB＝∠AEB＝90°﹣x，∴∠ABE＝90°，又∵直径所对的圆周角是直角，∴AE是圆的直径，又∵AC⊥BD，∴FG⊥AC，根据垂径定理，FG也是圆的直径，那么P就是圆心，又∵∠BAD＝50°，∴∠BPD＝100°（圆心角是圆周角的2倍），答：∠BPD为100°。【点评】此题关键是要证明P是圆心，然后根据圆周角和圆心角的关系即可解题。27．如图，两个相同的长方形正交得到的十字块内接于圆（两个长方形的8个顶点在圆上），已知圆的半径为r，且，求十字块的最大面积。【分析】设长方形的长和宽分别为a，b（a＞0，b＞0），由于长方形的8个顶点均在半径为r的圆上，故长方形的对角线长即为圆的直径2r，根据勾股定理结合即可求出a2+b2的值，再设十字块面积为S，十字块是由两个正交放置的长方形重叠构成，其面积等于两长方形面积之和减去重叠部分的面积，单个长方形面积为ab，重叠部分为边长b的正方形，面积为b2，因此：S＝2ab﹣b2，即在约束a2+b2＝2（+1）下求S的最大值。转化为一元二次方程后利用均值不等式即可求出ab的最大值，进而求出S的最大值。据此解答。【解答】解：设长方形的长和宽分别为a，b（a＞0，b＞0），由于长方形的8个顶点均在半径为r的圆上，故长方形的对角线长即为圆的直径2r。由勾股定理得：a2+b2＝（2r）2＝4r2，而，所以a2+b2＝4r2＝4×＝2（+1）。设十字块面积为S，十字块是由两个正交放置的长方形重叠构成，其面积等于两长方形面积之和减去重叠部分的面积，单个长方形面积为ab，重叠部分为边长b的正方形，面积为b2，因此：S＝2ab﹣b2，即在约束a2+b2＝2（+1）下求S的最大值。令K＝a2+b2＝2（+1），因为式a2+b2＞2ab，所以ab≤（a2+b2）＝K，当且仅当a＝b时，等号成立。为了使S＝2ab﹣b2最大，需要将a＝代入面积公式，转化为单变量函数求极值。设y＝b2，则a2＝K﹣y，所以a2b2＝（K﹣y）y，即ab＝，面积函数可写为：S（y）＝2ab﹣b2＝2﹣y，对y求导，并令导数S′（y）＝0找极值点：S′（y）＝2×﹣1＝﹣1＝0，整理可得：K﹣2y＝化简可得：5y2﹣5Ky+K2＝0，这是关于y的一元二次方程，解得：y＝，由于a＞b（长大于宽），故a2＞b2，即y＜K。若取“+“号：y+＝＞K，舍去；若取“﹣”号：y﹣＝，符合条件。将K＝2（+1）代入y﹣可得：y﹣＝＝＝，即b2＝y＝，此时a2＝K﹣y＝2（+1）﹣＝2+，所以（ab）max＝＝＝，利用恒等式＝（+1）进行最终化简可知：（ab）max＝＝（+1）。将（ab）max和y﹣代入面积公式S＝2ab﹣b2可知：Smax＝2（ab）max﹣b2＝2×（+1）﹣＝（+1）﹣＝（+）﹣＝×+﹣＝×5＝4。答：十字块的最大面积是4。【点评】解答本题的关键是利用勾股定理建立面积的函数，利用均值不等式解答。28．从1，2，…，9这九个数字中，每次取出3个不同的数字组成三位数，则其中能被3整除的所有三位数的和为99900。【分析】能被3整除的数的特征是：各位数字之和能被3整除。因此，我们先将1～9按数字模3的余数分类：余0类（A类）：3、6、9（和为18）余1类（B类）：1、4、7（和为12）余2类（C类）：2、5、8（和为15）然后结合排列组合知识解答即可。【解答】解：将1～9按数字模3的余数分类：余0类（A类）：3、6、9（和为18），余1类（B类）：1、4、7（和为12），余2类（C类）：2、5、8（和为15），A类选3个：数字和：3+6+9＝18，三位数和：222×18＝3996，B类选3个：数字和：1+4+7＝12，三位数和：222×12＝2664，C类选3个：数字和：2+5+8＝15，三位数和：222×15＝3330，A、B、C类各选1个：每个类的数字会与另外两类各3个数字组合，因此A类数字出现9次（3×3）、B类9次、C类9次，总和为：18×9+12×9+15×9＝45×9＝405，三位数和：222×405＝89910，将四种情况相加：3996+2664+3330+89910＝99900。答：其中能被3整除的所有三位数的和为99900。故答案为：99900。【点评】本题考查了数的整除、排列组合知识和位值原则的综合运用。29．张阿姨和王阿姨同时到某市场买水果，每人都只买了些樱桃和香梨。已知：（1）樱桃的每千克价格是香梨的4倍；（2）张阿姨买的樱桃和香梨同样重；（3）王阿姨买的水果的总重量比张阿姨买的多1倍；（4）张阿姨和王阿姨买水果花的钱同样多。则王阿姨买的香梨的重量比樱桃的重量多10倍。【分析】设香梨每千克价格为a，则樱桃每千克价格为4a；设张阿姨买的樱桃、香梨重量均为x，则张阿姨买水果总重量为2x，花费为4ax+ax＝5ax。王阿姨买的水果的总重量比张阿姨买的多1倍，即王阿姨买水果总重量是张阿姨的2倍，即4x；且花费与张阿姨相同，为5ax。设王阿姨买樱桃y千克，香梨（4x﹣y）千克，列方程4ay+a（4x﹣y）＝5ax，即y＝x。因此，王阿姨买香梨的重量为4x﹣x＝x。用王阿姨买的香梨的重量减去樱桃的重量后除以樱桃的重量即可解答本题。【解答】解：设香梨每千克价格为a，则樱桃每千克价格为4a，设张阿姨买的樱桃、香梨重量均为x，则张阿姨买水果总重量为2x，花费为：4ax+ax＝5ax，因为王阿姨买的水果的总重量比张阿姨买的多1倍，所以王阿姨买水果总重量是张阿姨的2倍，即2×2x＝4x，因为王阿姨花费与张阿姨相同，所以王阿姨花费为5ax，设王阿姨买樱桃y千克，则香梨为：（4x﹣y）千克，因为张阿姨和王阿姨买水果花的钱同样多，所以4ay+a（4x﹣y）＝5ax，即y＝x。所以王阿姨买香梨的重量为：4x﹣y＝4x﹣x＝x，即王阿姨买香梨的重量比樱桃的重量多：x﹣x＝x，王阿姨买的香梨的重量比樱桃的重量多的倍数：x÷y＝x÷x＝10。答：王阿姨买的香梨的重量比樱桃的重量多10倍。故答案为：10。【点评】本题考查了和差倍问题的应用，明确题意中的数量关系是解答本题的关键。30．一个多项式f（x）＝x3+ax2+bx+c满足f（x2+1）＝x6﹣x4，则a＝﹣4，b＝5，c＝﹣2。【分析】将x2+1代入多项式f（x）＝x3+ax2+bx+c，展开得到含x6、x4、x2和常数项的表达式。将展开式与f（x2+1）＝x6﹣x4对比，对应项系数相等，得到关于a、b、c的方程。解方程组得出a、b、c的值。【解答】解：将x2+1代入到f（x）得：f（x2+1）＝（x2+1）3+a（x2+1）2+b（x2+1）+c＝x6+3x4+3x2+1+a（x4+2x2+1）+b（x2+1）+c＝x6+（3+a）x4+（3+2a+b）x2+（1+a+b+c），因为f（x2+1）＝x6﹣x4，对比系数：3+a＝﹣1，3+2a+b＝0，1+a+b+c＝0，a＝﹣1﹣3＝﹣4，b＝5，c＝﹣2。故答案为：﹣4，5，﹣2。【点评】将x2+1代入多项式展开后，通过对比对应项系数建立方程求解a、b、c。31．矩形ABCD的边长AB＝16，BC＝25，E为边BC上的一点，F为线段AE上的一点，FD⊥AE。这样AE与FD将矩形ABCD分割成三块（如图1）。已知这三块可以拼成一个正方形（如图2）。则EF＝5。【分析】连接DE，将四边形ECDF分割成两个直角三角形，应用勾股定理依次求出BE、EC、DE的长度，最终求出EF的长度，据此作答。【解答】解：连接DE，如图：长方形的面积：25×16＝400，正方形的边长：400＝20×20，即：AE＝DF＝20；BE长度的平方值：202﹣162＝400﹣256＝144，BE的长度：144＝12×12，即：BE＝12，EC的长度：25﹣12＝13，DE长度的平方值：162+132＝256+169＝425，EF长度平方值：425﹣400＝25，EF的长度：25＝5×5，即：EF＝5。故答案为：5。【点评】本题考查了直角三角形的边长计算问题，解题关键是要熟练掌握“勾股定理”：直角三角形两条直角边长度值的平方之和＝斜边长度的平方。32．一个正整数n使得为整数，则n＝23。【分析】因为n是正整数，所以7n+12必须是n2﹣10的因数，用多项式带余除法来简化n2﹣10＝（n﹣）（7n+12）+（﹣），即49×（n2﹣10）＝（7n﹣12）（7n+12）﹣446，整理后可得7n+12|346，即7n+12必须是346的正因数。据此解答。【解答】解：因为一个正整数n使得为整数，即∈Z，所以7n+12|n2﹣10，令7n+12＝d，则：n2≡10（modd），由于d＝7n+12，所以7n≡﹣12（modd），即n≡﹣（modd），代入n2≡10（modd）可得：（﹣）2≡10（modd），即≡10（modd），所以≡10（modd），即﹣≡10（modd），所以d|346且d＞0（因为n＞0，即d＝7n+12＞12）。因为346＝2×173，所以d的正因数有1、2、173、346，但d＝7n+12≥19（n≥1），所以d只可能是173或346。当d＝173时，7n+12＝173，解得：n＝23，此时＝＝＝3，是整数，符合题意；当d＝346时，7n+12＝346，解得：n＝，非整数，不符合题意。所以n＝23是唯一符合题意的解。答：一个正整数n使得为整数，则n＝23。故答案为：23。【点评】熟练掌握数的整除性质是解答本题的关键。33．设非负实数x，y，z满足方程组则x最大为5，y最大为3，z最小为6。【分析】求x的最大值联立方程（1）和（2）消去z，得3x+5y＝15，即。由y≥0得x≤5，且恒成立，故x最大为5。求y的最大值由，当x＝0时，y最大为3。求z的最小值由，当x＝0时，z最小为6。【解答】解：联立方程（1）和（2），﹣2x+5y+2z+8x+5y﹣2z＝27+3，即6x+10y＝30（4），由（4）得，因y≥0，则，解得x≤5，由方程（2）得：，代入：，故xmax＝5，由，因x≥0，当x＝0时：，由，因x≥0，当x＝0时：。答：x最大为5，y最大为3，z最小为6。故答案为：5，3，6。【点评】本题考查了等量关系与方程，解决本题的关键是通过消元得到变量关系，结合非负条件确定各变量最值。34．设a为实数，已知方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围。【分析】因为根号下的数非负，且等式右边x等于一个非负数，所以x+a≥0且x≥0，即x≥0且x≥﹣a，所以x≥max（0，﹣a）。然后方程去根号根据韦达定理解方程结合x的取值即可求出a的取值。【解答】解：因为根号下的数非负，且等式右边x等于一个非负数，所以：x+a≥0且x≥0，即x≥0且x≥﹣a，所以x≥max（0，﹣a）。因为，所以x+a＝x2，即x2﹣x﹣a＝0。一元二次方程x2﹣x﹣a＝0的判别式：Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣a）＝1+4a，因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即1+4a＞0，即a＞﹣。设方程的两个根为x1，x2，根据韦达定理：x1+x2＝1，x1x2＝﹣a，因为原方程要求x≥0，所以两个根都必须非负，x1+x2＝1＞0，可知至少有一个根为正；x1x2＝﹣a≥0，得a≤0。所以﹣＜a≤0。答：a的取值范围是﹣＜a≤0。【点评】本题考查了一元二次方程根的求解，掌握韦达定理是解题的关键。35．如图，正方形ABCD边长为4，F为BC上一点，BF＝1，以AF为斜边在正方形内部作等腰直角三角形AEF，其中∠AEF＝90°，求DE。【分析】如解答图，过点E作GH⊥AD交AD于点G，交BC于点H，根据AAS判定三角形AEG全等于三角形EFH，所以AG＝EH，GE＝HF，所以BF＝BH﹣HF＝AG﹣HF＝1，AB＝GE+EH＝HF+AG＝4，根据和差公式即可求出HF和AG的长度，即GE的长可求，再根据GD＝AD﹣AG即可求出GD的长度，然后在直角三角形DEG中，根据勾股定理即可求出DE的长度。【解答】解：过点E作GH⊥AD交AD于点G，交BC于点H，如下图所示：因为四边形ABCD是正方形，所以AD∥BC，因为GH⊥AD，所以GH⊥BC，所以四边形AGHB和四边形CDGH都是长方形。因为三角形AEF是等腰直角三角形，所以EA＝EF，因为∠EAG+∠AEG＝90°，∠FEH+∠AEG＝90°（∠AEF＝90°），所以∠EAG＝∠FEH，又因为∠AGE＝∠EHF＝90°，所以△AEG≌△EFH（AAS），所以AG＝EH，GE＝HF，因为四边形AGHB是长方形，所以AG＝BH，GH＝AB＝4，因为BF＝BH﹣HF＝AG﹣HF＝1，AB＝GE+EH＝HF+AG＝4，即，根据和差公式可得：。所以GD＝AD﹣AG＝4﹣2.5＝1.5，GE＝HF＝1.5，在Rt△DEG中，根据勾股定理可得：DE＝＝＝。答：DE的长度是。【点评】本题主要利用正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理来求解线段DE的长度。36．求关于m，n的方程﹣m4+4m2+2nm2+2n+5＝0的所有正整数解。【分析】化简等式后可知：2n＝m2﹣5，因为m、n是正整数，据此分析正整数解即可。【解答】解：因为﹣m4+4m2+2nm2+2n+5＝0，即﹣m4+4m2+5+2n（m2+1）＝0，所以2n（m2+1）＝m4﹣4m2﹣5＝（m2﹣5）（m2+1）因为m是正整数，所以m2+1＞0，两边同时除m2+1可得：2n＝m2﹣5。因为m、n是正整数，所以：①m2﹣5＞0（因为2n＞0），即m2＞5，所以m≥3；②m2﹣5必须是2的幂。试验证：m＝3：32﹣5＝9﹣5＝4＝22，此时n＝2，符合条件；m＝4：42﹣5＝16﹣5＝11，不是2的幂，不符合；m＝5：52﹣5＝25﹣5＝20，不是2的幂，不符合；m＝6：62﹣5＝36﹣5＝31，不是2的幂，不符合；m≥7时，m2﹣5增长速度远快于2n，且不会再是2的幂。即唯一的正整数解是：m＝3，n＝2。答：关于m，n的方程﹣m4+4m2+2nm2+2n+5＝0的所有正整数解唯一，即m＝3，n＝2。【点评】本题考查了指数和整数方程的解法，解答本题的关键是化简等式到最简。37．在图中，ABCD为梯形，AB∥DC，E，H为腰AD上的点，F，G为腰BC上的点，AB∥EF∥HG。已知，且梯形EFGH的面积为10。则梯形ABCD的面积为15。【分析】取HE、GF的中点并连线，可得梯形EFGH、梯形ABCD的“中位线”MN；可得DA与HE的长度比，即为两个梯形的高度比，同为两个梯形的面积比，据此求解即可。【解答】解：作梯形EFGH的中位线，同为梯形ABCD的中位线，如图：（已知），即AE：DH：EH＝1：1：4，则HE：DA＝4：（1+4+1）＝4：6＝2：3，梯形ABCD的面积：答：梯形ABCD的面积为15。故答案为：15。【点评】本题考查了梯形面积计算的应用问题，解题关键是要清楚：梯形面积＝中位线长度值×高，其中“中位线长度值”即为上、下底长度之和的一半；中位线相同的两个梯形，高度比即为两者的面积比。38．对于一个实数a，记[a]为a的“整数部分”，即不超过a的最大整数。已知整数n满足，则n＝74。【分析】设A＝[]，B＝[]，C＝[]，已知，则A+B+C＝31，因为x﹣1＜[x]≤x，则﹣1＜A≤，﹣1＜B≤，﹣1＜C≤，利用“A+B+C＝31”计算n的值。【解答】解：设A＝[]，B＝[]，C＝[]，已知，则A+B+C＝31，因为x﹣1＜[x]≤x，则﹣1＜A≤，﹣1＜B≤，﹣1＜C≤，所以（++）﹣3＜31≤（++），解得：71≤n＜78，当n＝71时，A＝14，B＝10，C＝6，14+10+6＝30，不符合要求；当n＝72时，A＝14，B＝10，C＝6，14+10+6＝30，不符合要求；当n＝73时，A＝14，B＝10，C＝6，14+10+6＝30，不符合要求；当n＝74时，A＝15，B＝10，C＝6，15+10+6＝31，符合要求；当n＝75时，A＝15，B＝11，C＝6，15+11+6＝32，不符合要求；当n＝76时，A＝15，B＝11，C＝6，15+11+6＝32，不符合要求；当n＝77时，A＝15，B＝11，C＝6，15+11+6＝32，不符合要求；则n＝74。故答案为：74。【点评】本题考查的是高斯取整问题的应用，本题通过枚举法去解答。39．如图，O为⊙O'上的任一点，⊙O和⊙O'相交于A，B两点，E为⊙O'的优弧上的一点，OE交⊙O于C，交AB于D，且CD＝1，EC＝2，则OE与OD的比为4：1。【分析】如解答图，连接OA、OB，利用余弦定理和相交弦定理，找到两个定理的结合点，通过设未知数建立方程来求解。据此解答。【解答】解：连接OA、OB，如下图所示：设小圆O的半径为r，OD＝x，则OA＝OC＝OB＝r，因为CD＝1，EC＝2，所以ED＝EC+CD＝2+1＝3，OE＝EC+CD+DO＝2+1+x＝3+x，OC＝CD+DO＝1+x＝r（因为OC是小圆半径），根据相交弦定理：ED•DO＝AD•DB，即3x＝AD•DB，在△ODA中，令θ＝∠ODA，根据余弦定理可知：OA2＝OD2+AD2﹣2OD•AD•cos∠ODA，即r2＝x2+AD2﹣2x•AD•cosθ……①在△ODB中，因为AD和BD共线，∠ODB＝180°﹣θ，cos（180°﹣θ）＝﹣cosθ，OB2＝OD2+DB2﹣2•OD•DB•cos（180°﹣θ），即r2＝x2+DB2+2x•DB•cosθ……②联立①②，①+②消去cosθ可得：r2＝x2+（AD2+DB2）…