2025年高二数学双曲线的对称中心探究试卷及解析

2025年高二数学双曲线的对称中第一部分：单项选择题(共10题，每题2分)1、在平面直角坐标系中，双曲线的对称中心是其几何性质的核心。关于双曲线的对称中心，下列说法正确的是?A、对称中心是双曲线的两个顶点连线的中点B、对称中心是双曲线两条渐近线的交点C、对称中心是双曲线上任意一点关于某条直线对称的点D、对称中心是双曲线的焦点之一【答案】B【解析】正确答案是B。双曲线的对称中心是其两条渐近线的交点，也是双曲线的中心，它具有中心对称性。选项A错误，两个顶点连线的中点确实是中心，但这只是中心的一种位置描述，其本质定义是渐近线的交点。选项C错误，描述的是轴对称性，而非中心对称性。选项D错误，焦点是双曲线的特殊点，不是对称中心。知识点：双曲线的几何性质，特别是对称中心的概念和位置。易错点：将中心对称与轴对称混淆，或将中心与顶点、焦点等其他特殊点混淆。2、已知一个双曲线的中心在原点，其图像经过点A(3,√5)和点B(3,√5)。根据中心对称的性质，可以推断出?A、点(3,√5)也一定在该双曲线上B、点(3,√5)也一定在该双曲线上C、该双曲线的渐近线方程为y=±(√5/3)x【答案】B【解析】正确答案是B。双曲线是中心对称图形,其对称中心是原点(0,0)。心对称性无法直接确定其是否在曲线上。此处题目设计旨在考察对中心对称点的理关于原点的对称点(3,√)需要双曲线关于y轴对称才能保证。标准双曲线确实关于坐标轴对称,但题目并未严谨的推断是,如果(3,√)在曲线上,那么(3,√)必在曲线上。如果(3,√)在曲线上,那么(3,√)必在曲线上。因此,这两个点互为对称点。在四个选项中,没有一个能被严格“推断”出来。但若必须选择,考察的是对称点的概念,点(3,双曲线关于原点对称,也关于坐标轴对称。因此,如果(3,√)在曲线上,那么(3,√)、(3,√)、(3,√)都在曲线上。所以A和B可以推断出点(3,√)许题目是想说,已知A和B在曲线上,且它们是对称点,那么可以推断出什么。A和B是关于原点对称的。因此,双曲线的中心是原点。如果双曲线中心在原点,且A和B都正确。此题设计不佳。让我们选择一个更符合单选题逻辑的题目。例如:已知双曲线的中心在原点,且其一支经过点P(2,1),则另一支必经过点?【答案】C【解析】正确答案是C。双曲线是中心对称图形，其对称中心是原点(0,0)。根据中心对称的定义，如果点P(x,y)在双曲线上，那么它关于对称中心的对称点P'(x,y)也必定在双曲线上。点P(2,1)的坐标是(2,1),它关于原点(0,0)的对称点P'的坐标是(2,1)。因此，双曲线的另一支必经过点(2,1)。选项A是点P关于y轴的对称点，选项B是点P关于x轴的对称点，选项D是坐标互换，它们均不满足中心对称的定义。知识点：双曲线的中心对称性。易错点：混淆中心对称与轴对称。中心对称是关于一个点的对称，即(x,y)>(x,y);轴对称是关于一条直线的对称，如关于y轴对称是(x,y)>(x,y)。3、将一个双曲线图像绕其对称中心旋转180度后，得到的图像与原图像的关系是?B、得到一个关于x轴对称的新图像C、得到一个关于y轴对称的新图像D、得到一个关于原点对称的新图像【答案】A【解析】正确答案是A。中心对称图形的定义就是：一个图形绕某一个点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合。这个点就是对称中心。双曲线是典型的中心对称图形，其对称中心就是它的几何中心。因此，将双曲线绕其对称中心旋转180度后，得到的图像与原图像完全重合。选项B、C、D描述的都是旋转后可能具有的性质，但“完全重合”是最准确的描述。知识点：中心对称图形的定义和性质。易错点：不理解旋转180度与中心对称的等价关系。4、如果将一个双曲线在平面内进行平移，使其对称中心从原点移动到点(2,1),那么原来在原点双曲线上的点(3,4)将移动到哪个新位置?【答案】B【解析】正确答案是B。将图形进行平移，图形上所有的点都按照相同的方向和距离移动。对称中心从(0,0)移动到(2,1),意味着整个图形向右平移了2个单位，向下平移了1个单位。因此，双曲线上的每一个点(x,y)都将移动到新位置(x+2,y1)。将点(3,4)代入，新位置的坐标为(3+2,41),即(5,3)。知识点：坐标平移变换。易错点：平移方向和距离的确定，特别是x和y坐标的加减方向容易混淆。向右为+x,向上为+y。5、关于双曲线的对称中心与其几何要素的关系，以下描述最准确的是?A、对称中心是双曲线两条对称轴的交点B、对称中心是连接双曲线上任意两点的线段的中点C、对称中心到双曲线上任意一点的距离都相等D、对称中心是双曲线两个焦点连线的中点【答案】A【解析】正确答案是A。双曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形。它有两条对称轴(实轴和虚轴),这两条对称轴互相垂直，并且它们的交点就是双曲线的对称中心。选项B错误，只有当这两点是关于中心对称的点时，它们连线的中点才是中心。选项C错误，对称中心到曲线上各点的距离并不相等，这是圆的性质。选项D错误，对称中心确实是两个焦点连线的中点，但这只是中心的一个位置特征，选项A从对称性的角度给出了更本质的定义。知识点：双曲线的对称性，包括中心对称和轴对称。易错点：将中心对称图形的性质与圆的几何性质混淆。6、一个双曲线的方程经过平移变换后，其对称中心的坐标发生了改变。下列哪个说法是正确的?A、双曲线的形状和大小会发生改变B、双曲线的对称性会发生改变C、双曲线的离心率会发生改变D、双曲线的形状、大小和离心率均不发生改变【答案】D【解析】正确答案是D。对双曲线图像进行平移，只改变其在坐标系中的位置，即改变其对称中心的坐标。平移变换不改变图形的形状、大小、开口方向、对称性以及离心率等内在的几何性质。离心率是描述双曲线形状(开口大小)的参数，与位置无关。知识点：图形的平移变换及其对几何性质的影响。易错点：混淆图形的位置属性和形状属性。7、在探究双曲线性质时，我们发现其对称中心是一个非常重要的点。这个点在双曲线的几何构造中扮演的角色更像是?D、一个拐点【答案】C【解析】正确答案是C。双曲线的对称中心是其几何上的“中心”或“重心”。从中心对称的性质来看，整个图形围绕着这个点呈现出完美的平衡。对于双曲线上任意一点P,总存在另一点P',使得对称中心是线段PP'的中点。这体现了中心的“平衡”作用。顶点和焦点是双曲线上的特殊点，拐点通常指函数图像凹凸性改变的点，这些都不符合对称中心的本质。知识点：对对称中心概念的形象化理解。易错点：将对称中心与曲线上或曲线附近的特殊点混淆。8、已知双曲线C的中心为点M,若点A是双曲线C右支上的一点，则点A关于中心M的对称点A'位于?B、双曲线C的左支上D、坐标原点【答案】B【解析】正确答案是B。双曲线由两支构成，这两支关于其对称中心M中心对称。这意味着，如果点A在其中一支上，那么它关于中心M的对称点A'必然在另一支上。题目中点A在右支上，因此其对称点A'一定在左支上。知识点：双曲线的构成(两支)及其中心对称性。易错点：不理解双曲线两支之间的对称关系，误认为对称点仍在同一支上。9、在研究双曲线时，我们常常需要确定其对称中心。对于一个非标准位置的双曲线，确定其对称中心的最有效方法是?A、寻找双曲线的两个顶点并求其中点B、寻找双曲线的两个焦点并求其中点D、寻找双曲线上任意一点及其关于坐标轴的对称点【答案】C【解析】正确答案是C。双曲线的对称中心是其两条渐近线的交点，这是最根本和通用的定义，适用于任何位置的双曲线。选项A和B虽然也能得到中心，但前提是必须先找到顶点或焦点，这在非标准位置的双曲线中可能并不容易。选项D只能找到关于坐标轴的对称点，不能直接确定中心。知识点：确定双曲线对称中心的方法。易错点：认为只有标准双曲线才有明确的对称中心，或者混淆了确定中10、双曲线的对称中心是其几何性质的核心，理解这一点有助于我们解决许多问题。例如，当知道双曲线上一个点和其对称中心时，我们可以?A、唯一确定该双曲线的方程B、立即求出双曲线的离心率【答案】C【解析】正确答案是C。根据中心对称的定义，只要知道一个点P和对称中心0,就可以立刻找到点P关于中心0的对称点P'。连接OP并延长至P',使OP′=OP即可。选项A、B、D都需要更多的信息才能确定，例如还需要知道另一个点、焦点或渐近线的斜率等。知识点：中心对称的基本应用。易错点：高估了已知条件的充分性，认为少量信息可以确定复杂的几何图形。第二部分：多项选择题(共10题，每题2分)A、对称中心是双曲线的几何中心B、双曲线的两支关于其对称中心成中心对称C、对称中心是双曲线两条渐近线的交点D、对称中心到双曲线上任意一点的距离都相等E、对称中心是双曲线两条对称轴的交点曲线对称中心的综合性质。解题思路：逐一核对每个选项是否符合双曲线的几何定义和性质。重点关注中心对称、渐近线、对称轴等核心概念。2、如果一个双曲线的中心在点M(a,b),那么以下关于该双曲线的陈述中，正确的有?C、该双曲线的两个焦点的连线中点一定是点M(a,b)D、将该双曲线向左平移a个单位，再向上平移b个单位，可以得到一个E、该双曲线一定关于直线x=a和y=b对称【解析】正确答案是A、B、C、D。A:点P(x,y)关于中心M(a,b)点P'的坐标是(2ax,2by),根据中心对称性质，P'必在双曲线上。B:双曲线的渐近线是经过对称中心的直线。C:双曲线的两个焦点关于其对称中心对称，因此它们的连线中点就是对称中心。D:将中心为(a,b)的图形平移(a,b),即向左平移a个单位，向上平移b个单位，其中心会移动到(aa,b+b)=(0,2b)。这里应该是向左平移a个单位，再向下平移b个单位。或者向右平移a个单位，向上平移b个单位。正确的平移变换是：将图形向左平移a个单位，再向下平移b个单位，新中心为(aa,bb)=(0,0)。选项D的描述“向上平移b个单位”是错误的。因此D不选。让我们重新审视。D选项的意图是将中心移到原点。从(a,b)到(0,0)的平移向量是(a,b)。即向左平移a个单位，向下平移b个单位。选项D说“向上平移b个单位”,是错误的。E:双曲线关于其对称轴对称，但对称轴不一定就是直线x=a双曲线的对称轴是经过中心的任意两条互相垂直的直线。因此E是错误的。所以正但表述有误。如果题目为“将该双曲线平移，使其中心与原点重合”,那么这个操【解析】正确答案是A、B、C。A:点P(x,y)关于中心M(a,b)的对称点P'的坐标是(2ax,2by),根据中心对称性质，P'必在双曲线上。B:双曲线的渐近线是经过对称中心的直线。C:双曲线的两个焦点关于其对称中心对称，因此它们的连线中点就是对称中心。D选项描述的平移方式不能将中心移动到描述的对称关系只有在双曲线的对称轴平行于坐标轴时才成立，不具有普遍性。知识点：非标准位置双曲线的中心对称性质及相关几何要素的位置关系。解题思路：利用中心对称的定义和坐标变换公式进行判断。3、在探究双曲线时，我们经常利用其对称性来简化问题。以下哪些方法或结论利用了双曲线的对称中心性质?A、已知双曲线一支上的三个点，可以确定另一支上的三个对应点B、通过将双曲线中心平移至原点，可以简化其方程的推导C、计算双曲线的焦距时，可以利用中心到两个焦点的距离相等D、绘制双曲线图形时，可以先画出一支，再利用中心对称画出另一支E、判断一个点是否在双曲线上，可以检验它关于中心的对称点是否在双曲线上一确定另一支上的对称点。B:平移中心至原点是研究非标准双曲线的标准方法，这利用了中心的位置属性。D:这是绘图时常用的技巧，直接这是中心对称性质的一个直接推论，如果P在曲线上，P'也必然在曲线上。C选项描述的是对称中心与焦点的位置关系(中心是两焦点连线的中点),这个关系本身是正确的，但在“计算焦距”时，我们通常需要的是焦点的具体位置或离心率，而不仅仅是利用“中心到两焦点距离相等”这一事实。这个事实本身不提供距离的数值。因此，它不是计算焦距的直接方法。知识点：双曲线对称中心性质的应用。解题思路：分析每个选项所描述的操作或结论是否直接依赖于“图形关于中心对称”4、对于一个中心在原点的标准双曲线，下列结论中正确的有?A、其对称中心(0,0)是双曲线两条渐近线的交点B、其对称中心(0,0)是双曲线两条对称轴的交点C、其对称中心(0,0)是双曲线两个顶点连线的中点D、其对称中心(0,0)是双曲线两个焦点连线的中点双曲线对称中心性质的正确描述。A、B是普遍性质。C、D是中心在原点这一特定情况下的位置特征。E选项是错误的，点(x,y)和点(x,y)是关于y轴对称的，它们是轴对称关系。关于原点(0,0)对称的点是(x,y)和(x,y)。知识点：标准双曲线的对称中心性质。易错点：混淆中心对称与轴对称的坐标关系。解题思路：回顾标准双曲线的几何图形和性质，逐一验证选项。5、在解析几何中，对称性是研究曲线的重要工具。关于双曲线的对称中心，以下理解正确的有?A、对称中心是双曲线的一个内在属性，不随坐标系的改变而改变B、对称中心是双曲线几何形状的“平衡点”C、通过平移变换，可以将任意双曲线的对称中心移动到坐标原点D、对称中心的存在使得我们只需要研究双曲线一支的性质，即可推广到另一支E、双曲线的对称中心一定在双曲线上平移变换不改变图形的形状，只改变其位置，因此可以将中心移动到任何指定位置，包括原点。D:由于两支关于中心对称，它们的几何性质(如曲率、开口趋势等)是完全对应的。E选项是错误的，双曲线的对称中心(如标准双曲线的原点)不在双曲线上，它在两支之间的“空隙”区域。知识点：对称中心的本质、属性和应用。解题思路：从几何不变性、图形变换、研究方法等宏观角度理解对称中心的意义和6、给定一个双曲线和其对称中心M,我们可以进行哪些操作或得出哪些结论?B、双曲线上任意弦(连接曲线上两点的线段)若经过中心M,则该弦被中C、若已知双曲线的一个焦点F1和中心M,可以D、若已知双曲线的一条渐近线1和中心M,可以确定另一条渐近线E、若已知双曲线上的一个点P和中心M,可以唯一确定该双曲线的方程经过对称中心的弦(称为“中心弦”或“直径”)必被中心平分。C:两个焦点关于中心对称，知道F1和M,就可以找到F2。D:两条渐近线关于中心对称，且互相垂直(对于标准双曲线，更一般地是关于对称轴对称)。知道一条和中心，可以确定另一条。E选项是错误的，仅知道一个点和中心，无法确定双曲线的形状和大小，因此不能唯一确定其方程。知识点：对称中心在双曲线几何构造中的应用。解题思路：思考对称中心如何与其他几何要素(点、线)相互作用，以及需要多少信息才7、关于双曲线的对称中心与其离心率的关系，以下说法中正确的有?A、双曲线的对称中心位置影响其离心率的大小B、双曲线的离心率大小影响其对称中心的位置C、通过平移改变双曲线对称中心的位置，其离心率保持不变D、双曲线的离心率是描述其开口大小的量，与对称中心的位置无关E、对称中心和离心率是描述双曲线的两个独立属性【解析】正确答案是C、D、E。离心率是描述双曲线形状(开口扁阔程度)的参数，而对称中心是描述其位置的参数。形状和位置是两个独立的属性。因此，性。平移只改变位置，不改变形状，所以离心率不变。知识点：双曲线的几何属性分类：形状属性(如离心率)和位置属性(如对称中心)。解题思路：区分描述图形“长什么样”的参数和描述图形“在哪里”的参数。8、在解决与双曲线相关的问题时，如果能够巧妙地利用其对称中心的性质，往往可以化繁为简。以下哪些情境中可以考虑利用对称中心?A、求双曲线上一点的对称点坐标B、求过双曲线中心的弦长C、将非标准双曲线方程化为标准方程进行研究D、证明与双曲线相关的几何命题的弦被中心平分，这可以简化弦长计算。C:通过平移将中心移至原点，是化简方程的标准步骤。D:在几何证明中，利用对称性可以找到等量关系或进行图形变换。E选项，双曲线是开放的曲线，其面积是无限的，通常不讨论其面积。知识点：对称中心性质在解题中的具体应用。解题思路：思考在哪些类型的数学问题中，中心对称性可以作为一个已知条件或解题工具。9、如果一个四边形的四个顶点都在同一个双曲线上，那么关于这个四边形和双曲线的对称中心，可能的说法有?A、该四边形的对角线交点就是双曲线的对称中心B、该四边形的对边中点连线经过双曲线的对称中心C、该四边形的四个顶点可以分为两组，每组两个点关于双曲线的对称中心对称D、该四边形可能是中心对称图形，且其对称中心与双曲线的对称中心重合E、该四边形的周长一定是某个定值【解析】正确答案是B、C、D。B:对于任意内接其对边中点的连线必定经过对称中心。C:这是中心对称图形上点的一般性质，可以两两配对。D:如果四个顶点P1,P2,P3,P4满足P1和P3关于中心对称，P2和P4关于中心对称，那么这个四边形就是中心对称图形，且中心重合。A选项不一定成立，只有当这个四边形本身就是中心对称图形时，其对角线交点才是中心。E选项是错误的，双曲线是开放的，内接四边形的周长没有定值。知识点：中心对称图形的内接多边形性质。解题思路：将双曲线看作一个普通的中心对称图形，分析其内接四边形的几何性质。10、在探究双曲线的对称中心时，我们可以将其与其他中心对称图形进行类比。以下类比中合理的有?A、双曲线的对称中心类似于平行四边形的对角线交点B、双曲线的对称中心类似于圆的圆心C、双曲线的对称中心类似于椭圆的中心D、双曲线的对称中心类似于正方形的中心E、双曲线的对称中心类似于一段线段的中点椭圆、正方形都是中心对称图形，它们的几何中心(对角线交点、中心、中心)与双曲线的对称中心在定义和作用上是相似的。B选项的类比不完全恰当。圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形(绕圆心旋转任意角度都重合),并且圆心到圆上各点距离相等，这是双曲线中心所不具备的性质。E选项，线段的中点是该线段的对称中心，但双曲线是一个更复杂的无限图形，类比过于简单。知识点：中心对称图形的共性与特性。解题思路：从“绕某点旋转180度后与自身重合”这一定义出发，判断不同图形的中心是否具有可比性。第三部分：判断题(共10题，每题1分)1、任何双曲线都有且只有一个对称中心。【答案】√【解析】正确。根据双曲线的定义，它是一种中心对称图形，其对称中心是唯一的，即两条渐近线的交点。知识点：双曲线的基本几何性质。易错点：误认为某些特殊双曲线可能没有或有多个对称中心。2、双曲线的对称中心一定在双曲线上。【解析】错误。双曲线的对称中心位于其两支之间的区域，并不在双曲线上。例如，标准双曲线x²/a²y²/b²=1的中心在原点(0,0),但(0,0)不满足方程，不在双曲线上。知识点：双曲线的几何构成。易错点：将对称中心与顶点混淆，误以为中心是曲线上的一个特殊点。3、将一个双曲线平移后，其对称中心的位置会改变，但形状和离心率不【答案】√4、如果点P是双曲线上任意一点，M是其对称中心，那么向量MP与向量【答案】×向量。根据向量定义，MP=PM,它们是方向相反、大小相等的向量，而不是相等向量。知识点：向量的定义和性质。易错点：混淆向量的起点和终点，忽略向量的5、双曲线的两条渐近线关于其对称中心对称。【答案】√【解析】正确。双曲线的两条渐近线是经过其对称中心的直线。将其中一条渐近线绕对称中心旋转180度，会与另一条渐近线重合。因此，两条渐近线关于对称中心成中心对称。知识点：双曲线的渐近线性质。易错点：只注意到渐近线关于坐标轴对称，而忽略了它们关于中心的对称关系。6、一个双曲线的对称中心也是它的一个顶点。【答案】×【解析】错误。双曲线的顶点是双曲线与其对称轴(实轴)的交点，是距离中心最近的点。对称中心是两条对称轴的交点，位于两支之间，不是顶点。知识点：双曲线的顶点定义。易错点：混淆对称中心和顶点的概念。7、已知双曲线的中心M和它上面的一个点P,就可以唯一确定这个双曲线。【答案】×【解析】错误。要确定一个双曲线，除了知道其位置(由中心M确定)外，还需要知道其形状和大小(由a,b或离心率等参数确定)。仅知道一个点P,不足以提供确定形状所需的全部信息。知识点：确定双曲线的条件。易错点：低估了确定一个二次曲线所需的信息量。8、双曲线的对称中心是连接其两个焦点的线段的中点。【答案】√9、如果一个四边形的四个顶点都在双曲线上，那么这个四边形的重心(几何中心)一定与双曲线的对称中心重合。【答案】×【解析】错误。只有当这个四边形本身是中心对称图形，即四个顶点可以两两配对关于双曲线中心对称时，四边形的重心才与双曲线的对称中心重合。对于任意内接四边形，其重心不一定与双曲线的中心重合。知识点：中心对称图形的内接多边形性质。易错点：将“顶点在中心对称图形上”与“多边形本身是中心对称10、双曲线的对称中心是其两条对称轴的交点。【答案】√【解析】正确。双曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形。它有两条互相垂直的对称轴(实轴和虚轴),这两条对称轴的交点就是双曲线的对称中心。知识点：双曲线的对称性。易错点：在非标准位置时，可能难以直观判断对称轴，但第四部分：简答题(共5题，每题4分)【答案】a、定义：双曲线的对称中心是其几何上的中心点。双曲线是中心对称图形，即绕其对称中心旋转180度后，能与自身完全重合。这个中心也是其两条渐近线的交点。第一步：在坐标系中标出已知点P和对称中心M的位置。第三步：将线段PM延长至点P',使得线段MP'的长度等于线段PM的长度。【解析】a、知识点：中心对称的定义和双曲线的几何性质。答题思路：首先给出中心对称的普适性定义，再结合双曲线的具体特征(渐近线交点)进行说明。b、知识点：中心对称点的作图方法。解题思路：核心是利用“对称中心是连接对称点线段的中点”这一性质。操作上就是“连接、延长、相等”三个步骤。重点关注如何将几何定义转化为具体的作图步骤。【答案】所以，点P的对称点P'的坐标是(1,1)。因为点Q的坐标(1,1)与点P关于中心M的对称点P'的坐标完全相同，所以点Q就是点P的对称点。c、根据双曲线的中心对称性质，点P在双曲线上，则其关于中心M的对称点P'也一定在双曲线上。知识点：中心对称的坐标变换公式及其应用。解题思路：解题的关键是理解双曲线的中心对称性。如果点P在曲线上，那么它关于中心M的对称点P'也一定在曲线上。因此，问题转化为计算点P关于M的对称点坐标，然后与点Q的坐标进行比较。重点关注坐标变换公式P'(x',y'),其中x'=2ax,y'=2by,3、在研究双曲线时，我们为什么常常通过平移坐标系，使其对称中心位于新坐标系的原点?这样做有什么好处?【答案】a、简化方程：将对称中心移至原点，可以消除双曲线方程中的一次项，得到最简形式的方程(标准方程),使方程的结构更清晰，便于分析。b、统一研究：所有具有相同形状(即a,b值相同)但位置不同的双曲线，在将其中心平移至原点后，都具有相同的标准方程。这使得我们可以通过研究标准方程来掌握所有此类双曲线的性质。c、方便计算：在标准位置下，双曲线的顶点、焦点、渐近线等几何要素的坐标和方程都具有非常简单的形式，大大简化了相关的计算和证明过程。d、突出本质：将位置因素(中心坐标)和形状因素(a,b,c)分离，有助于我们更深刻地理解双曲线的内在几何性质，而不受其具体位置的影响。【解析】知识点：坐标变换(平移)在解析几何中的作用。解题思路：从“简化”、“统一”、“方便”、“深刻”等多个角度阐述将中心移至原点的好处。核心在于说明这种操作如何将一个复杂问题转化为一个简单、标准的问题。重点关注这种方法论在数学研究中的普遍意义。4、请描述如何利用双曲线的对称中心来辅助绘制其图像。【答案】a、确定中心和渐近线：首先确定双曲线的对称中心M,并画出经过M的两条渐近线。渐近线是双曲线的“骨架”,决定了其大致的走向和开口方向。b、绘制一支：利用其他已知条件(如顶点、一个点、离心率等),先在渐近线所限定的区域内，画出双曲线的一支。通常先画出右支或上支。c、利用中心对称复制：以对称中心M为对称中心，利用中心对称的方法，将已经画好的一支复制到另一侧。具体操作是，在已画好的一支上选取若干个关键点，分别作出它们关于中心M的对称点，然后用平滑的曲线将这些新的对称点连接起来。d、检查完善：检查所绘制的两支曲线是否关于中心M对称，以及曲线在趋近于无穷远处是否无限接近渐近线，最后对图像进行修正和完善。知识点：双曲线的绘图技巧。解题思路：将绘图过程分解为几个关键步骤：确定框架(中心和渐近线)、绘制局部(一支)、利用对称复制、检查修正。核心是说明中心对称性如何作为“复制”工具，从一支得到另一支。重点关注绘图中的逻辑顺序和对称性的应用。5、双曲线的对称中心、顶点和焦点是三个重要的几何点。请简述它们三者之间的位置关系。【答案】a、对称中心是基准点：对称中心是双曲线的几何中心，是描述顶点和焦点