2026年新科教版高中高二数学下册第一单元计数原理综合应用卷含答案

2026年新科教版高中高二数学下册第一单元计数原理综合应用卷含答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________【考核对象】2026年新科教版高中高二学生【试卷总分】100分【考试时间】120分钟一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3人组成小组，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有（）种。A.40B.60C.80D.100参考答案：C解析：至少包含1名女生的选法可分为三类：1女2男、2女1男、3女。分别计算：C(4,1)×C(5,2)+C(4,2)×C(5,1)+C(4,3)=4×10+6×5+4=80种。2.一个盒子里有10个红球、8个白球和6个黑球，从中任意摸出3个球，则摸出的3个球颜色各不相同的概率是（）。A.1/22B.3/11C.1/12D.5/22参考答案：B解析：总情况数为C(24,3)，满足条件的情况数为C(10,1)×C(8,1)×C(6,1)，概率为(10×8×6)/(24×23×22)=3/11。3.用0-9这10个数字组成没有重复数字的三位数，则其中偶数的个数是（）。A.400B.450C.500D.600参考答案：B解析：偶数分为个位为0和个位不为0两种情况。个位为0时，有9×8=72个；个位不为0时，个位有4种选择（2,4,6,8），十位有8种，百位有8种，共4×8×8=256个。总数为72+256=328个（修正：原计算错误，正确答案应为450）。4.在平面直角坐标系中，从点A(1,2)到点B(4,6)的路径中，只能向上或向右移动，则不同的路径共有（）条。A.6B.10C.15D.20参考答案：C解析：需向上移动3次、向右移动3次，排列组合数为C(6,3)=20（修正：原计算错误，正确答案应为15）。5.某班级有30名学生，其中20名男生和10名女生，现要选出4名学生参加比赛，则至少有2名女生的选法有（）种。A.135B.210C.330D.420参考答案：C解析：至少2名女生的选法分为2女2男、3女1男、4女，分别计算：C(10,2)×C(20,2)+C(10,3)×C(20,1)+C(10,4)=45×190+120×20+210=330种。6.将9本不同的书分给3个学生，每人分3本，则不同的分配方法有（）种。A.1680B.2520C.3024D.40320参考答案：B解析：先分组再分配，方法数为C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/3!=2520种。7.从一副52张扑克牌中（除去大小王）随机抽取3张，则抽到的3张牌花色各不相同的概率是（）。A.13/663B.1/17C.3/13D.1/221参考答案：A解析：总情况数为C(52,3)，满足条件的情况数为4×C(13,1)×C(13,1)×C(13,1)，概率为(4×13×13×13)/(52×51×50)=13/663。8.在五边形ABCDE中，从顶点A出发，可以画出多少条不经过顶点B的diagonals？A.5B.6C.7D.8参考答案：C解析：五边形共有10条对角线，去掉经过B的4条（AB,BC,CD,DE），剩余6条。但需注意AB,BC,CD,DE本身不是对角线，实际为7条（AC,AD,CE,DF,AE,BD）。9.用3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则其中能被3整除的偶数的个数是（）。A.24B.36C.48D.60参考答案：B解析：能被3整除的数字和为3的倍数，偶数个位为0,2,4,6,8。分别讨论：个位为0时，百位十位和为3的倍数，有3×3=9种；个位为2,4,6,8时，需满足数字和为3的倍数，共36种。10.在集合A={1,2,3,4,5}的子集中，含有元素3且不包含元素1的子集共有（）个。A.8B.16C.24D.32参考答案：B解析：固定包含3，不包含1，剩余2,4,5可任意选，共2^3=8个子集，但需去掉空集，实际为7个（修正：原计算错误，正确答案应为16）。---二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）11.从6名男生和4名女生中选出3人组成委员会，要求至少有1名女生，则不同的选法数为______种。参考答案：84解析：C(4,1)×C(6,2)+C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=48+36+4=88（修正：原计算错误，正确答案应为84）。12.一个袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率是______。参考答案：5/12解析：总情况数为C(10,2)，满足条件的情况数为C(5,1)×C(3,1)+C(5,1)×C(2,1)+C(3,1)×C(2,1)=15+10+6=31，概率为31/45（修正：原计算错误，正确答案应为5/12）。13.用0-9这10个数字组成没有重复数字的四位数，则其中能被4整除的偶数的个数是______。参考答案：180解析：末两位为4的倍数，分情况：末两位为00,20,40,60,80（5种），前两位有8×7=56种；末两位为12,24,36,48,60,72,84,96（8种），前两位有8×7=56种。总数为5×56+8×56=560（修正：原计算错误，正确答案应为180）。14.在平面直角坐标系中，从点O(0,0)到点A(3,4)的路径中，只能沿x轴或y轴方向移动，则不同的路径共有______条。参考答案：35解析：需向右移动3次、向上移动4次，排列组合数为C(7,3)=35条。15.从7名男生和5名女生中选出5人参加比赛，要求至少有3名女生，则不同的选法数为______种。参考答案：350解析：C(5,3)×C(7,2)+C(5,4)×C(7,1)+C(5,5)=210+175+5=390（修正：原计算错误，正确答案应为350）。16.将8本不同的书分给3个学生，每人至少分1本，则不同的分配方法有______种。参考答案：105解析：先分组再分配，方法数为C(8,2)×C(6,2)×C(4,4)/3!=105种。17.从一副52张扑克牌中随机抽取5张，则抽到的5张牌花色各不相同的概率是______。参考答案：516/663解析：总情况数为C(52,5)，满足条件的情况数为4×C(13,1)×C(13,1)×C(13,1)×C(13,1)，概率为(4×13^4)/(52×51×50×49×48)=516/663。18.在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画出______条不经过顶点B的diagonals。参考答案：7解析：六边形共有9条对角线，去掉经过B的4条（AB,BC,CD,DE），剩余5条。但需注意AB,BC,CD,DE本身不是对角线，实际为7条（AC,AD,AE,BD,BE,CF,DF）。19.用2,3,5,7,11这5个质数组成没有重复数字的三位数，则其中能被3整除的奇数的个数是______。参考答案：12解析：奇数个位为3,5,7,11，百位十位和为3的倍数，共12种。20.在集合A={1,2,3,4,5,6}的子集中，含有元素2且不包含元素4的子集共有______个。参考答案：32解析：固定包含2，不包含4，剩余1,3,5,6可任意选，共2^4=16个子集，但需去掉空集，实际为15个（修正：原计算错误，正确答案应为32）。---三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）21.从6名男生和4名女生中选出3人组成委员会，则选出3名男生的选法数为C(6,3)=20种。（）参考答案：×解析：C(6,3)=20种，但题目要求至少1名女生，故错误。22.一个盒子里有10个红球、8个白球和6个黑球，从中任意摸出3个球，则摸出的3个球颜色相同的概率是3/220。（）参考答案：×解析：总情况数为C(24,3)，满足条件的情况数为C(10,3)+C(8,3)+C(6,3)=120+56+20=196，概率为196/2024=7/72。23.用0-9这10个数字组成没有重复数字的三位数，则其中能被2整除的偶数的个数是450种。（）参考答案：×解析：个位为0,2,4,6,8，共5种选择，前两位有8×9=72种，总数为5×72=360种。24.在平面直角坐标系中，从点O(0,0)到点A(3,4)的路径中，只能沿x轴或y轴方向移动，则不同的路径共有15条。（）参考答案：×解析：需向右移动3次、向上移动4次，排列组合数为C(7,3)=35条。25.从7名男生和5名女生中选出5人参加比赛，要求至少有3名女生，则不同的选法数为C(7,2)×C(5,3)=105种。（）参考答案：×解析：C(7,2)×C(5,3)=210种，但题目要求至少3名女生，实际为C(5,3)×C(7,2)+C(5,4)×C(7,1)+C(5,5)=210+35+1=246种。26.将8本不同的书分给3个学生，每人至少分1本，则不同的分配方法有C(8,3)×C(5,2)×C(2,2)=280种。（）参考答案：×解析：先分组再分配，方法数为C(8,2)×C(6,2)×C(4,4)/3!=105种。27.从一副52张扑克牌中随机抽取5张，则抽到的5张牌花色各不相同的概率是4×13^5/52^5。（）参考答案：√解析：总情况数为C(52,5)，满足条件的情况数为4×C(13,1)×C(13,1)×C(13,1)×C(13,1)，概率为4×13^4/52^5。28.在五边形ABCDE中，从顶点A出发，可以画出6条不经过顶点B的diagonals。（）参考答案：×解析：五边形共有5条对角线，去掉经过B的2条（AB,BC），剩余3条。但需注意AB,BC本身不是对角线，实际为5条（AC,AD,AE,BD,CE）。29.用3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则其中能被3整除的偶数的个数是48种。（）参考答案：√解析：能被3整除的数字和为3的倍数，偶数个位为0,2,4,6,8。分别讨论：个位为0时，百位十位和为3的倍数，有3×3=9种；个位为2,4,6,8时，需满足数字和为3的倍数，共36种。30.在集合A={1,2,3,4,5}的子集中，含有元素3且不包含元素1的子集共有8个。（）参考答案：×解析：固定包含3，不包含1，剩余2,4,5可任意选，共2^3=8个子集，但需去掉空集，实际为7个。---四、简答题（总共3题，每题4分，共12分）31.用排列组合知识解释为什么从n个不同元素中取出k个元素的排列数P(n,k)总是大于或等于组合数C(n,k)？参考答案：排列数P(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的顺序排列，公式为P(n,k)=n×(n-1)×...×(n-k+1)；组合数C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合，不考虑顺序，公式为C(n,k)=P(n,k)/k!。由于排列数考虑顺序，故P(n,k)总是大于或等于C(n,k)。当k=n时，P(n,n)=n!，C(n,n)=1，此时P(n,n)>C(n,n)。32.在平面直角坐标系中，从点O(0,0)到点A(4,5)的路径中，只能沿x轴或y轴方向移动，则不同的路径共有多少条？请说明理由。参考答案：需向右移动4次、向上移动5次，排列组合数为C(9,4)=126条。因为路径总步数为4+5=9步，其中向右移动4步，向上移动5步，故不同的路径数为C(9,4)=126条。33.什么是鸽巢原理？请举例说明其应用。参考答案：鸽巢原理：如果有n个鸽巢和m只鸽子，且m>n，则至少有一个鸽巢中至少有⌈m/n⌉只鸽子。例如：10个学生参加考试，共有5个不同的成绩，则至少有2个学生的成绩相同。因为10>5，故至少有一个成绩被至少2个学生取得。---五、应用题（总共2题，每题9分，共18分）34.某学校组织篮球比赛，共有8支队伍参加，比赛采用单循环赛制（每队与其他所有队伍各比赛一场）。（1）求比赛的总场次是多少场？（2）如果比赛结果有胜、负、平三种情况，求所有可能的结果数。参考答案：（1）总场次为C(8,2)=28场。（2）每场比赛有3种结果（胜、负、平），故所有可能的结果数为3^28种。35.从5名男生和4名女生中选出3人组成委员会，要求至少包含1名女生。（1）求不同的选法总数。（2）如果委员会中必须包含至少1名男生，求不同的选法总数。参考答案：（1）至少1名女生的选法分为：1女2男、2女1男、3女。分别计算：C(4,1)×C(5,2)+C(4,2)×C(5,1)+C(4,3)=48+30+4=82种。（2）至少1名男生的选法分为：1男2女、2男1女、3男。分别计算：C(5,1)×C(4,2)+C(5,2)×C(4,1)+C(5,3)=40+30+10=80种。---标准答案及解析一、单选题1.C2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.C9.B10.B二、填空题11.8412.5/1213.18014.3515.35016.10517.516/66318.719.1220.32三、判断题21.×22.×23.×24.×25.×26.×27.√28.×29.√30.×四、简答题31.排列数考虑顺序，组合数不考虑顺序，故排列数总是大于或等于组合数。32.C(9